简单的逻辑联结词全称量词与存在量词B重点Word下载.docx

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进一步体会数形结合的重要方法，增强对事物间普遍联系规律的认识，树立辩证唯物主义思想。

教学重点

复合命题真假的判断及应用

教学难点

全称命题与存在性命题真假的判断

教学过程

一.课程导入：

在大量的数学实例的基础上，思考、探究、分析、发现，最后总结概括出相关概念和知识，是本章内容的突出特色。

本章内容，重在让学生通过对常用逻辑用语的学习，体会运用逻辑用语在表述和论证中的作用，能用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。

为此，教科书在安排内容时，就突出了让学生领会这些常用逻辑用语的含义，从而更好的运用这些常用逻辑用语的这一目的。

本章内容与学生日常生活中的某些概念有一定关联，但就在数学上的运用和含义还有一定差别，因此数学中如何正确理解和运用这些常用逻辑用语，是本章的关键也是较难处理的，为此，教科书是从大量的丰富数学实例出发，来帮助学生认识数学中的这些常用逻辑用语的含义的。

例如，对“命题”概念的阐述，就是通过总结6个数学例子的基础上概括得出的；

对于四种命题及其关系，也是通过对命题“若f（x）是正弦函数，则f（x）是周期函数”的条件与结论的互换及否定等具体例子的讨论，达到对四种命题及其关系的认识；

逻辑联结词“或”“且”“非”含义和用法的介绍，也是通过学生熟悉的数学实例讲授的；

学习完命题及命题的否定后，教科书又安排了丰富的实例，使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词（全称量词和存在量词），并通过例子说明如何对含有一个量词的命题进行正确地否定。

二、复习预习

复习时应紧扣概念，理清相似概念间的异同点，准确把握逻辑联结词的含义和用法，熟练掌握对含有量词命题的否定的方法．本讲常与其他知识结合，在知识的交汇处命题，试题难度中档偏下

三、知识讲解

考点1、简单的逻辑联结词

（1）命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．

（2）简单复合命题的真值表：

p

q

p∧q

p∨q

¬

真

假

考点2、全称量词与存在量词

（1）常见的全称量词有：

“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．

（2）常见的存在量词有：

“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．

（3）全称量词用符号“∀”表示；

存在量词用符号“∃”表示．

考点3、全称命题与特称命题

（1）含有全称量词的命题叫全称命题．

（2）含有存在量词的命题叫特称命题

考点4、命题的否定

（1）全称命题的否定是特称命题；

特称命题的否定是全称命题．

（2）p或q的否定为：

非p且非q；

p且q的否定为：

非p或非q.

四、例题精析

【例题1】

【题干】下列命题中的假命题是（　　）．

A．∃x0∈R，lgx0＝0B．∃x0∈R，tanx0＝1

C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0

【答案】C

【解析】对于A，当x0＝1时，lgx0＝0正确；

对于B，当x0＝

时，tanx0＝1，正确；

对于C，当x＜0时，x3＜0错误；

对于D，∀x∈R,2x＞0，正确．

【例题2】

【题干】命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是（　　）．

A．∃x0＞0，x20＋x0＞0B．∃x0＞0，x20＋x0≤0

C．∀x＞0，x2＋x≤0D．∀x≤0，x2＋x＞0

【答案】B

【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：

∃x0＞0，x20＋x0≤0.

【例题3】

【题干】ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是（　　）．

A．0＜a≤1B．a＜1

C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0

【解析】　（筛选法）当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；

当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C.

【例题4】

【题干】已知p：

|x－a|＜4；

q：

（x－2）（3－x）＞0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为（　　）．

A．a＜－1或a＞6B．a≤－1或a≥6

C．－1≤a≤6D．－1＜a＜6

【解析】解不等式可得p：

－4＋a＜x＜4＋a，q：

2＜x＜3，因此綈p：

x≤－4＋a或x≥4＋a，綈q：

x≤2或x≥3，于是由綈p是綈q的充分不必要条件，可知2≥－4＋a且4＋a≥3，解得－1≤a≤6.

五、课堂运用

【基础】

1.若函数f（x）＝x2＋

（a∈R），则下列结论正确的是（　　）．

A．∀a∈R，f（x）在（0，＋∞）上是增函数

B．∀a∈R，f（x）在（0，＋∞）上是减函数

C．∃a∈R，f（x）是偶函数

D．∃a∈R，f（x）是奇函数

【解析】对于A只有在a≤0时f（x）在（0，＋∞）上是增函数，否则不成立；

对于B，如果a≤0就不成立；

对于D若a＝0，则f（x）为偶函数了，因此只有C是正确的，即对于a＝0时有f（x）＝x2是一个偶函数，因此存在这样的a，使f（x）是偶函数．

2.若命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

【答案】见解析

【解析】因为“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×

2×

9≤0，故－2

≤a≤2

.

3.已知命题p：

x2＋2x－3＞0；

命题q：

＞1，若綈q且p为真，则x的取值范围是________．

【答案】见解析

【解析】因为q且p为真，即q假p真，而q为真命题时，

＜0，即2＜x＜3，所以q假时有x≥3或x≤2；

p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，

由

得x≥3或1＜x≤2或x＜－3，

所以x的取值范围是x≥3或1＜x≤2或x＜－3.

故填（－∞，－3）∪（1,2]∪[3，＋∞）．

4.令p（x）：

ax2＋2x＋a＞0，若对∀x∈R，p（x）是真命题，则实数a的取值范围是________．

【解析】∵对∀x∈R，p（x）是真命题．

∴对∀x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立，

当a＝0时，不等式为2x＞0不恒成立，

当a≠0时，若不等式恒成立，

则

∴a＞1.

【巩固】

5.已知命题p：

∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：

∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

【解析】　由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．

p：

x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤（x2）min＝1，

所以命题p：

a≤1；

设f（x）＝x2＋2ax＋2－a，存在x0∈R使f（x0）＝0，

只需Δ＝4a2－4（2－a）≥0，

即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，

所以命题q：

a≥1或a≤－2.

得a＝1或a≤－2

∴实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.

6.下列命题错误的是（　　）．

A．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：

“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”

B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件

C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

D．对于命题p：

∃x0∈R，使得x20＋x0＋1＜0，则綈p：

∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0

【解析】依次判断各选项，易知只有C是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．

7.已知p：

∃x0∈R，mx

＋2≤0.q：

∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是（　　）．

A．[1，＋∞）B．（－∞，－1]

C．（－∞，－2]D．[－1,1]

【答案】A

【解析】

（直接法）∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：

＋2≤0为假，得∀x∈R，mx2＋2＞0，∴m≥0.①

由q：

∀x∈R，x2－2mx＋1＞0为假，得∃x0∈R，x

－2mx0＋1≤0，∴Δ＝（－2m）2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②

由①和②得m≥1.

【拔高】

8.命题“∃x0∈R，x0≤1或x20＞4”的否定是______________．

【答案】∀x∈R，x＞1且x2≤4

【解析】已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题．

9.已知命题“∀x∈R，x2－5x＋

a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．

【解析】由“∀x∈R，x2－5x＋

a＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x∈R，x2－5x＋

a＞0”必为真命题，即不等式x2－5x＋

a＞0对任意实数x恒成立．

设f（x）＝x2－5x＋

a，则其图象恒在x轴的上方．

故Δ＝25－4×

a＜0，解得a＞

，即实数a的取值范围为

10.已知c＞0，设命题p：

函数y＝cx为减函数．命题q：

当x∈

时，函数f（x）＝x＋

＞

恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围．

【解析】由命题p知：

0＜c＜1.由命题q知：

2≤x＋

≤

要使此式恒成立，则2＞

，即c＞

又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，

当p为真，q为假时，c的取值范围为0＜c≤

当p为假，q为真时，c≥1.

综上，c的取值范围为

六、课堂小结

逻辑联结词与集合的关系

“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．

两类否定

1．含有一个量词的命题的否定

（1）全称命题的否定是特称命题

全称命题p：

∀x∈M，p（x），它的否定¬

∃x0∈M，¬

p（x0）．

（2）特称命题的否定是全称命题

特称命题p：

∃x0∈M，p（x0），它的否定¬

∀x∈M，¬

p（x）．

2．复合命题的否定

（1）﹃（p∧q）⇔（¬

p）∨（¬

q）；

（2）﹃（p∨q）⇔（¬

p）∧（¬

q）．

三条规律

（1）对于“p∧q”命题：

一假则假；

（2）对“p∨q”命题：

一真则真；

（3）对“¬

p”命题：

与“p”命题真假相反．