九年级数学单元教案第二十二章二次函数Word文件下载.docx

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【解答】　

（1）y＝122－2x（x＋1），即y＝－2x2－2x＋144.

∴y是x的二次函数．

（2）当x＝2和4时，相应的y的值分别为132和104.

【点拨】　几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．

【跟踪训练3】　用总长为60m的篱笆围成矩形场地，写出场地面积S（m2）与矩形一边长a（m）之间的关系式．

S＝a•

＝－a2＋30a.

04　　巩固训练

1．下列方程是一元二次方程的是（A）

A．（5－a）2＝2B．3x2＋x－y2＝0

C．y2＝5－（2y－y3）D．x－

＋1＝0

2．若y＝（b－1）x2＋3是二次函数，则b≠1．

3．有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为y＝x2＋2x＋1．

4．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为xm，则菜园的面积y（m2）与x（m）的函数解析式为y＝－

x2＋15x（不要求写出自变量x的取值范围）．

5．已知函数y＝（m＋1）xm2－3m－2＋（m－1）x（m是常数）．m为何值时，它是二次函数？

m＝4.

【点拨】　不要忽视m＋1≠0.

05　　课堂小结

1．二次函数的定义．

2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a≠0，a，b，c为常数．

3．如何表示简单变量之间的二次函数关系？

22.1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质

1．能够用描点法画函数y＝ax2的图象，并能根据图象认识和理解其性质．

2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数与形的结合与转化．

阅读教材P30～32，自学“例1”“思考”“探究”“归纳”，掌握用描点法画函数y＝ax2图象的方法，理解其性质，完成下列内容．

1．一般地，当a>

0时，抛物线y＝ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小．

2．一般地，当a<

0时，抛物线y＝ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小．

3．从二次函数y＝ax2的图象可以看出：

如果a>

0，当x<

0时，y随x的增大而减小，当x>

0时，y随x的增大而增大；

如果a<

0时，y随x的增大而增大，当x>

0时，y随x的增大而减小．

4．

（1）抛物线y＝2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；

（2）抛物线y＝－3x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；

（3）在抛物线y＝2x2对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；

（4）在抛物线y＝－3x2对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．

03　　新课导入

回顾：

一次函数的图象是一条直线．

思考：

二次函数的图象是什么形状呢？

还记得如何用描点法画一个函数的图象吗？

画函数图象的一般步骤：

列表、描点、连线．

导入：

你能画出二次函数y＝x2的图象吗？

第一步：

列表：

x

…

－3

－2

－1

1

2

3

y＝x2

9

4

　　第二步：

描点，在平面直角坐标系中描出表中各点，如图1.

图1

图2

第三步：

连线，用平滑的曲线顺次连接各点，就得到二次函数y＝x2的图象，如图2.

观察函数y＝x2的图象，它有什么特点？

总结：

（1）二次函数的图象是一条曲线，它的开口向上，这条曲线叫做抛物线；

（2）抛物线y＝x2的对称轴是y轴，抛物线与它的对称轴的交点是（0，0），它是图象的最低点，叫做抛物线的顶点；

（3）在对称轴的左侧，抛物线y＝x2从左到右下降；

在对称轴的右侧，抛物线y＝x2从左到右上升．也就是说，当x<

0时，y随x的增大而减小；

当x>

0时，y随x的增大而增大．

04　　名校讲坛

例1　（教材P30例1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝

x2，y＝2x2的图象．

【解答】　分别列表，画出它们的图象，如图．

－4

y＝

x2

8

4.5

0.5

－1.5

－0.5

1.5

y＝2x2

函数y＝

x2，y＝2x2的图象与函数y＝x2的图象相比，有什么共同点和不同点？

共同点是开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点；

不同点是开口大小不同，x2的系数越大，抛物线的开口越小．

例2　（教材P30例1的变式）在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2，y＝－

x2，y＝－2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？

【解答】　画出图象如图．

当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象有什么特点？

【点拨】　可从开口方向、对称轴、顶点、开口大小去比较和寻找规律．

【跟踪训练1】　

（1）函数y＝－

x2的图象是抛物线，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，开口方向是向下；

（2）函数y＝x2，y＝

x2和y＝－2x2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．

根据抛物线y＝ax2中a的值来判断，上面最外面的抛物线为y＝

x2，中间为y＝x2，在x轴下方的为y＝－2x2.

【点拨】　抛物线y＝ax2，当a>

0时，开口向上；

当a<

0时，开口向下，|a|越大，开口越小．

例3　（补充例题）已知函数y＝（m＋2）xm2＋m－4是关于x的二次函数．

（1）求满足条件的m的值；

（2）当m为何值时，抛物线有最低点？

求这个最低点；

（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？

当x为何值时，y随x的增大而减小？

【解答】　

（1）由题意，得

解得

∴当m＝2或m＝－3时，函数为二次函数．

（2）若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，

∴m＋2>

0，即m>

－2.∴m＝2.

这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为（0，0），

（3）当x>

【点拨】　也可结合图象来分析完成此题．

【跟踪训练2】　已知函数y＝（m－1）xm2－2m＋2＋（m－2）x是二次函数，且开口向上．求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律．

由题意有

解得m＝0（舍去），m＝2.

所以二次函数的解析式为y＝x2.

所以当x<

0时，y随x的增大而减小，

05　　巩固训练

1．抛物线y＝－

x2的开口向下，顶点坐标是（0，0），顶点是抛物线的最高（填“低”或“高”）点．

2．在同一直角坐标系中，抛物线y＝

x2与抛物线y＝－

x2的形状相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称．

3．当m＝－2时，抛物线y＝（m－1）xm2＋m开口向下，对称轴为y轴，当x<

4．二次函数y＝－6x2，当x1>

x2>

0时，y1与y2的大小关系是y1<

y2．

5．一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点（－1，

）．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）画出这个二次函数的图象；

（3）根据图象指出，当x＞0时，若x增大，y怎样变化？

当x＜0时，若x增大，y怎样变化？

（1）由题意，设二次函数解析式为y＝ax2，

将（－1，

）代入，得y＝

x2。

（2）画出这个二次函数的图象如图．

（3）当x＞0时，y随x增大而增大；

当x＜0时，y随x增大而减小．

06　　课堂小结

1．画二次函数y＝ax2的图象时，应注意些什么？

2．你是如何理解并熟记抛物线y＝ax2的性质的？

抛物线

y＝ax2（a>

0）

y＝ax2（a<

顶点坐标

（0，0）

对称轴

y轴

位置

在x轴的上方（除顶点外）

在x轴的下方（除顶点外）

开口方向

向上

向下

增减性

在对称轴的左侧，y随x的增大而减小

在对称轴的右侧，y随x的增大而增大

在对称轴的左侧，y随x的增大而增大

在对称轴的右侧，y随x的增大而减小

开口大小

越大，开口越小

22．1.3　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质

第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质

1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，并能比较它们的异同；

理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

2．了解抛物线y＝ax2＋k的平移规律．

阅读教材P32～33，自学“例2”及两个“思考”，完成下列内容．

1．抛物线y＝x2＋1的图象大致是（C）

2．在抛物线y＝x2－4上的一个点是（C）

A．（4，4）B．（1，－4）C．（2，0）D．（0，4）

3．把抛物线y＝－3x2向下平移2个单位长度，得到的抛物线是（B）

A．y＝－3x2＋2B．y＝－3x2－2

C．y＝－3（x＋2）2D．y＝－3（x－2）2

4．抛物线y＝4x2－5的开口方向是向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，－5）．

例1　（教材P32例2）在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2＋1，y＝2x2－1的图象．

【解答】　先列表：

y＝2x2＋1

5.5

y＝2x2－1

7

3.5

　　再描点、连线，画出图形如图．

（1）抛物线y＝2x2＋1和y＝2x2－1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？

（2）抛物线y＝2x2＋1，y＝2x2－1与抛物线y＝2x2有什么关系？

（1）由图象可知，抛物线y＝2x2＋1和y＝2x2－1的开口方向都向上，对称轴都是y轴，顶点分别是（0，1）和（0，－1）．

（2）把抛物线y＝2x2向上平移1个单位长度，就得到抛物线y＝2x2＋1，把抛物线y＝2x2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y＝2x2－1.

想一想：

（1）若把抛物线y＝2x2向上平移2个单位长度，或向下平移2个单位长度，又能得到哪些抛物线？

（2）抛物线y＝ax2±

k与抛物线y＝ax2有什么关系？

（1）y＝2x2＋2，y＝2x2－2.

（2）①抛物线y＝ax2±

k的形状与y＝ax2的形状完全相同，只是位置不同；

②抛物线y＝ax2

y＝ax2＋k；

抛物线y＝ax2

y＝ax2－k.

【跟踪训练1】　抛物线y＝ax2＋k与y＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是（0，3），则其表达式为y＝－5x2＋3，它是由抛物线y＝－5x2向上平移3个单位长度得到的．

【点拨】　

（1）解这类题，必须根据二次函数y＝ax2＋k的图象与性质来解，a值确定抛物线的形状大小及开口方向，k值确定顶点的位置；

（2）抛物线平移多少个单位长度，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长度．（有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长度）

例2　（补充例题）已知抛物线y＝ax2＋k向下平移2个单位长度后，所得抛物线为y＝－3x2＋2.

（1）试求a，k的值；

（2）分别指出两条抛物线的开口方向、对称轴和顶点．

【解答】　

（1）因为抛物线y＝ax2＋k向下平移2个单位长度后，所得抛物线为y＝ax2＋k－2.

所以根据题意，得

（2）抛物线y＝－3x2＋2的开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2）；

抛物线y＝－3x2＋4的开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，4）．

【点拨】　

（1）可根据平移规律直接求出a，k；

（2）可根据抛物线y＝－3x2＋2，y＝－3x2＋4与抛物线y＝－3x2的关系，求得它们的开口方向、对称轴和顶点．

【跟踪训练2】　（《名校课堂》22.1.3第1课时习题）能否通过适当地上下平移二次函数y＝

x2的图象，使得到的新的函数图象过点（3，－3），若能，说出平移的方向和距离；

若不能，说明理由．

设平移后的函数关系式为y＝

x2＋k，

把（3，－3）代入，得－3＝

×

32＋k，解得k＝－6.

∴把y＝

x2的图象向下平移6个单位长度，新的图象经过点（3，－3）．

1．把抛物线y＝－2x2＋3向下平移2个单位长度，就得到抛物线y＝－2x2＋1．

2．抛物线y＝－3x2＋6的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，6），当x<

3．设A（－1，y1），B（－2，y2）是抛物线y＝x2＋m上的两点，则y1，y2的大小关系为y1<

4．已知函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，则a＝3，k＝2．

5．分别求出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式．

（1）经过点（－3，2）；

（2）与y＝

x2的开口大小相同，方向相反．

（1）把点（－3，2）代入y＝ax2－1，得a（－3）2－1＝2，解得a＝

.所以抛物线解析式为y＝

x2－1.

（2）由条件知a＝－

，所以抛物线解析式为y＝－

1．本节课所学的知识：

函数y＝ax2＋k的图象与性质以及抛物线y＝ax2上下平移规律．

2．所学的思想方法：

图象法、数形结合．

第2课时　二次函数y＝a（x－h）2的图象和性质

1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a（x－h）2的图象．

2．能正确说出y＝a（x－h）2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

3．掌握抛物线y＝a（x－h）2的平移规律．

阅读教材P33～35，自学“探究”和两个“思考”，掌握y＝a（x－h）2与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a（x－h）2的相关性质，完成下列内容．

1．抛物线y＝ax2向左平移h个单位长度得抛物线y＝a（x＋h）2（h>

0），抛物线y＝ax2向右平移h个单位长度得抛物线y＝a（x－h）2（h>

0）．

【点拨】　注意y＝a（x－h）2中h常表示非负数．

2．抛物线y＝a（x－h）2的顶点坐标为（h，0），对称轴为直线x＝h__．

3．抛物线y＝－

（x－1）2的开口向下__，顶点坐标是（1，0），对称轴是直线__x＝1，通过向左平移1个单位长度后，得到抛物线y＝－

x2.

4．画出二次函数y＝－2（x－1）2的图象，观察图象后填空：

当x<

1时，y随x的增大而增大；

1时，y随x的增大而减小．

例1　（教材P33探究）在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝－

（x＋1）2，y＝－

（x－1）2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．

【解答】　先分别列表：

y＝－

（x＋1）2

－4.5

（x－1）2

　　然后描点、连线，得二次函数y＝－

（x－1）2的图象，如图．

由图象可以看出，抛物线y＝－

（x＋1）2的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，把它记作直线x＝－1，顶点是（－1，0）；

抛物线y＝－

（x－1）2的开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点是（1，0）．

例1中两条抛物线y＝－

（x－1）2与抛物线y＝－

x2有什么关系？

【点拨】　观察图象移动过程，要特别注意特殊点（如顶点）的移动情况．

抛物线y＝a（x－h）2与抛物线y＝ax2有什么关系？

y＝ax2

y＝a（x－h）2

【跟踪训练1】　（《名校课堂》22.1.3第2课时习题，教材P35练习的变式）在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝（x＋2）2，y＝（x－2）2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．

图象如图：

抛物线y＝x2的对称轴是直线x＝0，顶点坐标为（0，0）．

抛物线y＝（x＋2）2的对称轴是直线x＝－2，顶点坐标为（－2，0）．

抛物线y＝（x－2）2的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，0）．

例2　（补充例题）在直角坐标系中画出函数y＝

（x＋3）2的图象．

（1）指出函数图象的对称轴和顶点坐标；

（2）根据图象回答：

当x取何值时，y随x的增大而减小？

当x取何值时，y随x的增大而增大？

（3）怎样平移函数y＝

x2的图象得到函数y＝

（x＋3）2的图象？

【解答】　

（1）如图所示，函数图象的对称轴是直线x＝－3，顶点坐标为（－3，0）．

（2）当x<

－3时，y随x的增大而减小；

－3时，y随x的增大而增大．

（3）将函数y＝

x2的图象沿x轴向左平移3个单位长度得到函数y＝

【点拨】　二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．

【跟踪训练2】　将抛物线y＝－

（x－4）2向左平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为y＝－

（x－2）2，新抛物线的开口方向向下，对称轴为x＝2__，顶点为（2，0）__，为抛物线的最__高__点；

当x__<

2__时，y随x的增大而增大，当x>

2时，y随x的增大而减小.

1．若抛物线y＝a（x－h）2的顶点是（－3，0），且它是由抛物线y＝－2x2通过平移而得到的，则a＝－2，h＝－3．

2．指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）y＝2（x－3）2－5；

（2）y＝－0.5（x＋1）2；

（3）y＝－

x2－1；

（4）y＝2（x－2）2＋5.

（1）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标（3，－5）．

（2）开口向下，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标（－1，0）．

（3）开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标（0，－1）

（4）开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标（2，5）．

3．不画图象，回答下列问题．

（1）函数y＝2（x＋1）2的图象可以看成是由函数y＝2x2的图象作怎样的平移得到的？

（2）说出函数y＝2（x＋1）2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；

（3）函数y＝2（x＋1）2有哪些性质？

（4）若将函数y＝2（x＋1）2的图象向左平移3个单位长度得到哪个函数图象？

（1）向左平移1个单位长度．

（2）开口向上，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标为（－1，0）．

－1时，y随x的增大而增大；

－1时，y随x的增大而减小．

（4）y＝2（x＋4）2.

1．抛物线y＝ax2与y＝ax2＋c和抛物线y＝ax2与y＝a（x－h）2有哪些共同点，又有哪些不同点？

2．将抛物线y＝ax2上下平移与左右平移所得到的表达式在形式上有何区别？

第3课时　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质

1．会作函数y＝a（x－h）2＋k的图象．

2．能正确说出y＝a（x－h）2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

3．掌握抛物线y＝a（x－h）2＋k的平移规律．

阅读教材P35～37，自学“例3”与“例4”，掌握y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a（x－h）2＋k的相关性质，完成下列内容．

1．一般地，抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2的形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a（x－h）2＋k，平移的方向、距离要根据h、k的值来决定：

（1）当h>

0，k>

0时，把抛物线y＝ax