九年级数学单元教案第二十二章二次函数.docx
《九年级数学单元教案第二十二章二次函数.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《九年级数学单元教案第二十二章二次函数.docx(44页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
九年级数学单元教案第二十二章二次函数
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
01 教学目标
1.结合具体情境体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
02 预习反馈
阅读教材P28~29,理解二次函数的意义及有关概念,完成下列内容.
1.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a,b,c.
(1)下列函数中,不是二次函数的是(D)
A.y=1-
x2B.y=(x-1)2-1
C.y=
(x+1)(x-1)D.y=(x-2)2-x2
(2)二次函数y=x2+4x中,二次项系数是1,一次项系数是4,常数项是0.
【点拨】 判断二次函数要紧扣定义.
2.现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数,它们的表达式分别是y=ax+b(a,b是常数,a≠0)、y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0).
如:
一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
解:
S表=4πr2.
03 名校讲坛
例1 (教材P28问题1)n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.
【解答】 每个球队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以比赛的场次数是m=
n(n-1)=
n2-
n.
【跟踪训练1】 (《名校课堂》22.1.1习题)某校九
(1)班共有x名学生,在毕业典礼上每两名同学都握一次手,共握手y次,试写出y与x之间的函数关系式y=
x2-
x,它是(填“是”或“不是”)二次函数.
例2 (教材P28问题2)某种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?
【解答】 这种产品的原产量是20t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t,即两年后的产量y=20(1+x)2.
【跟踪训练2】 (《名校课堂》22.1.1习题)国家决定对某药品价格分两次降价,若设平均每次降价的百分率为x,该药品原价为18元,降价后的价格为y元,则y与x的函数关系式为(C)
A.y=36(1-x)B.y=36(1+x)
C.y=18(1-x)2D.y=18(1+x2)
例3 (教材P29练习T2的变式)一个正方形的边长是12cm,若从中挖去一个长为2xcm,宽为(x+1)cm的小矩形,剩余部分的面积为ycm2.
(1)写出y与x之间的关系式,并指出y是x的什么函数?
(2)当小矩形中x的值分别为2和4时,相应的剩余部分的面积是多少?
【解答】
(1)y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144.
∴y是x的二次函数.
(2)当x=2和4时,相应的y的值分别为132和104.
【点拨】 几何图形的面积一般需画图分析,相关线段必须先用x的代数式表示出来.
【跟踪训练3】 用总长为60m的篱笆围成矩形场地,写出场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系式.
解:
S=a•
=-a2+30a.
04 巩固训练
1.下列方程是一元二次方程的是(A)
A.(5-a)2=2B.3x2+x-y2=0
C.y2=5-(2y-y3)D.x-
+1=0
2.若y=(b-1)x2+3是二次函数,则b≠1.
3.有一个人患流感,经过两轮传染后共有y人患了流感,每轮传染中,平均一个人传染了x人,则y与x之间的函数关系式为y=x2+2x+1.
4.如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为xm,则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数解析式为y=-
x2+15x(不要求写出自变量x的取值范围).
5.已知函数y=(m+1)xm2-3m-2+(m-1)x(m是常数).m为何值时,它是二次函数?
解:
m=4.
【点拨】 不要忽视m+1≠0.
05 课堂小结
1.二次函数的定义.
2.熟记二次函数y=ax2+bx+c中,a≠0,a,b,c为常数.
3.如何表示简单变量之间的二次函数关系?
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
01 教学目标
1.能够用描点法画函数y=ax2的图象,并能根据图象认识和理解其性质.
2.初步建立二次函数表达式与图象之间的联系,体会数与形的结合与转化.
02 预习反馈
阅读教材P30~32,自学“例1”“思考”“探究”“归纳”,掌握用描点法画函数y=ax2图象的方法,理解其性质,完成下列内容.
1.一般地,当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小.
2.一般地,当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最高点,a越小,抛物线的开口越小.
3.从二次函数y=ax2的图象可以看出:
如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;如果a<0,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.
4.
(1)抛物线y=2x2的开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最低点;
(2)抛物线y=-3x2的开口向下,对称轴是y轴,顶点是原点,顶点是抛物线的最高点;
(3)在抛物线y=2x2对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;
(4)在抛物线y=-3x2对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.
03 新课导入
回顾:
一次函数的图象是一条直线.
思考:
二次函数的图象是什么形状呢?
还记得如何用描点法画一个函数的图象吗?
画函数图象的一般步骤:
列表、描点、连线.
导入:
你能画出二次函数y=x2的图象吗?
第一步:
列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
第二步:
描点,在平面直角坐标系中描出表中各点,如图1.
图1
图2
第三步:
连线,用平滑的曲线顺次连接各点,就得到二次函数y=x2的图象,如图2.
思考:
观察函数y=x2的图象,它有什么特点?
总结:
(1)二次函数的图象是一条曲线,它的开口向上,这条曲线叫做抛物线;
(2)抛物线y=x2的对称轴是y轴,抛物线与它的对称轴的交点是(0,0),它是图象的最低点,叫做抛物线的顶点;
(3)在对称轴的左侧,抛物线y=x2从左到右下降;在对称轴的右侧,抛物线y=x2从左到右上升.也就是说,当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.
04 名校讲坛
例1 (教材P30例1)在同一直角坐标系中,画出函数y=
x2,y=2x2的图象.
【解答】 分别列表,画出它们的图象,如图.
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=
x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=2x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
思考:
函数y=
x2,y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比,有什么共同点和不同点?
总结:
共同点是开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点;不同点是开口大小不同,x2的系数越大,抛物线的开口越小.
例2 (教材P30例1的变式)在同一直角坐标系中,画出函数y=-x2,y=-
x2,y=-2x2的图象,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点?
【解答】 画出图象如图.
思考:
当a<0时,二次函数y=ax2的图象有什么特点?
【点拨】 可从开口方向、对称轴、顶点、开口大小去比较和寻找规律.
【跟踪训练1】
(1)函数y=-
x2的图象是抛物线,顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴,开口方向是向下;
(2)函数y=x2,y=
x2和y=-2x2的图象如图所示,请指出三条抛物线的解析式.
解:
根据抛物线y=ax2中a的值来判断,上面最外面的抛物线为y=
x2,中间为y=x2,在x轴下方的为y=-2x2.
【点拨】 抛物线y=ax2,当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下,|a|越大,开口越小.
例3 (补充例题)已知函数y=(m+2)xm2+m-4是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m的值;
(2)当m为何值时,抛物线有最低点?
求这个最低点;
(3)当x为何值时,y随x的增大而增大?
当x为何值时,y随x的增大而减小?
【解答】
(1)由题意,得
解得
∴当m=2或m=-3时,函数为二次函数.
(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,
∴m+2>0,即m>-2.∴m=2.
这个最低点为抛物线的顶点,其坐标为(0,0),
(3)当x>0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小.
【点拨】 也可结合图象来分析完成此题.
【跟踪训练2】 已知函数y=(m-1)xm2-2m+2+(m-2)x是二次函数,且开口向上.求m的值及二次函数的解析式,并回答y随x的变化规律.
解:
由题意有
解得m=0(舍去),m=2.
所以二次函数的解析式为y=x2.
所以当x<0时,y随x的增大而减小,
当x>0时,y随x的增大而增大.
05 巩固训练
1.抛物线y=-
x2的开口向下,顶点坐标是(0,0),顶点是抛物线的最高(填“低”或“高”)点.
2.在同一直角坐标系中,抛物线y=
x2与抛物线y=-
x2的形状相同,开口方向相反,两条抛物线关于x轴对称.
3.当m=-2时,抛物线y=(m-1)xm2+m开口向下,对称轴为y轴,当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小.
4.二次函数y=-6x2,当x1>x2>0时,y1与y2的大小关系是y15.一个二次函数,它的图象的顶点是原点,对称轴是y轴,且经过点(-1,
).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)画出这个二次函数的图象;
(3)根据图象指出,当x>0时,若x增大,y怎样变化?
当x<0时,若x增大,y怎样变化?
解:
(1)由题意,设二次函数解析式为y=ax2,
将(-1,
)代入,得y=
x2。
(2)画出这个二次函数的图象如图.
(3)当x>0时,y随x增大而增大;当x<0时,y随x增大而减小.
06 课堂小结
1.画二次函数y=ax2的图象时,应注意些什么?
2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的?
抛物线
y=ax2(a>0)
y=ax2(a<0)
顶点坐标
(0,0)
(0,0)
对称轴
y轴
y轴
位置
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方(除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随x的增大而减小
在对称轴的右侧,y随x的增大而增大
在对称轴的左侧,y随x的增大而增大
在对称轴的右侧,y随x的增大而减小
开口大小
越大,开口越小
越大,开口越小
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
01 教学目标
1.会作函数y=ax2和y=ax2+k的图象,并能比较它们的异同;理解a,k对二次函数图象的影响,能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
2.了解抛物线y=ax2+k的平移规律.
02 预习反馈
阅读教材P32~33,自学“例2”及两个“思考”,完成下列内容.
1.抛物线y=x2+1的图象大致是(C)
2.在抛物线y=x2-4上的一个点是(C)
A.(4,4)B.(1,-4)C.(2,0)D.(0,4)
3.把抛物线y=-3x2向下平移2个单位长度,得到的抛物线是(B)
A.y=-3x2+2B.y=-3x2-2
C.y=-3(x+2)2D.y=-3(x-2)2
4.抛物线y=4x2-5的开口方向是向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,-5).
03 名校讲坛
例1 (教材P32例2)在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2+1,y=2x2-1的图象.
【解答】 先列表:
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=2x2+1
…
9
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5
9
…
y=2x2-1
…
7
3.5
1
-0.5
-1
-0.5
1
3.5
7
…
再描点、连线,画出图形如图.
思考:
(1)抛物线y=2x2+1和y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么?
(2)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系?
解:
(1)由图象可知,抛物线y=2x2+1和y=2x2-1的开口方向都向上,对称轴都是y轴,顶点分别是(0,1)和(0,-1).
(2)把抛物线y=2x2向上平移1个单位长度,就得到抛物线y=2x2+1,把抛物线y=2x2向下平移1个单位长度,就得到抛物线y=2x2-1.
想一想:
(1)若把抛物线y=2x2向上平移2个单位长度,或向下平移2个单位长度,又能得到哪些抛物线?
(2)抛物线y=ax2±k与抛物线y=ax2有什么关系?
解:
(1)y=2x2+2,y=2x2-2.
(2)①抛物线y=ax2±k的形状与y=ax2的形状完全相同,只是位置不同;
②抛物线y=ax2
y=ax2+k;抛物线y=ax2
y=ax2-k.
【跟踪训练1】 抛物线y=ax2+k与y=-5x2的形状大小,开口方向都相同,且其顶点坐标是(0,3),则其表达式为y=-5x2+3,它是由抛物线y=-5x2向上平移3个单位长度得到的.
【点拨】
(1)解这类题,必须根据二次函数y=ax2+k的图象与性质来解,a值确定抛物线的形状大小及开口方向,k值确定顶点的位置;
(2)抛物线平移多少个单位长度,主要看两顶点坐标,确定两顶点相隔的距离,从而确定平移的方向与单位长度.(有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离,从而确定平移的方向与单位长度)
例2 (补充例题)已知抛物线y=ax2+k向下平移2个单位长度后,所得抛物线为y=-3x2+2.
(1)试求a,k的值;
(2)分别指出两条抛物线的开口方向、对称轴和顶点.
【解答】
(1)因为抛物线y=ax2+k向下平移2个单位长度后,所得抛物线为y=ax2+k-2.
所以根据题意,得
解得
(2)抛物线y=-3x2+2的开口方向向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,2);
抛物线y=-3x2+4的开口方向向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,4).
【点拨】
(1)可根据平移规律直接求出a,k;
(2)可根据抛物线y=-3x2+2,y=-3x2+4与抛物线y=-3x2的关系,求得它们的开口方向、对称轴和顶点.
【跟踪训练2】 (《名校课堂》22.1.3第1课时习题)能否通过适当地上下平移二次函数y=
x2的图象,使得到的新的函数图象过点(3,-3),若能,说出平移的方向和距离;若不能,说明理由.
解:
设平移后的函数关系式为y=
x2+k,
把(3,-3)代入,得-3=
×32+k,解得k=-6.
∴把y=
x2的图象向下平移6个单位长度,新的图象经过点(3,-3).
04 巩固训练
1.把抛物线y=-2x2+3向下平移2个单位长度,就得到抛物线y=-2x2+1.
2.抛物线y=-3x2+6的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,6),当x<0时,y随x的增大而增大.
3.设A(-1,y1),B(-2,y2)是抛物线y=x2+m上的两点,则y1,y2的大小关系为y14.已知函数y=ax2+k的图象与函数y=-3x2-2的图象关于x轴对称,则a=3,k=2.
5.分别求出符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数关系式.
(1)经过点(-3,2);
(2)与y=
x2的开口大小相同,方向相反.
解:
(1)把点(-3,2)代入y=ax2-1,得a(-3)2-1=2,解得a=
.所以抛物线解析式为y=
x2-1.
(2)由条件知a=-
,所以抛物线解析式为y=-
x2-1.
05 课堂小结
1.本节课所学的知识:
函数y=ax2+k的图象与性质以及抛物线y=ax2上下平移规律.
2.所学的思想方法:
图象法、数形结合.
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
01 教学目标
1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤,会作函数y=a(x-h)2的图象.
2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
3.掌握抛物线y=a(x-h)2的平移规律.
02 预习反馈
阅读教材P33~35,自学“探究”和两个“思考”,掌握y=a(x-h)2与y=ax2之间的关系,理解并掌握y=a(x-h)2的相关性质,完成下列内容.
1.抛物线y=ax2向左平移h个单位长度得抛物线y=a(x+h)2(h>0),抛物线y=ax2向右平移h个单位长度得抛物线y=a(x-h)2(h>0).
【点拨】 注意y=a(x-h)2中h常表示非负数.
2.抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标为(h,0),对称轴为直线x=h__.
3.抛物线y=-
(x-1)2的开口向下__,顶点坐标是(1,0),对称轴是直线__x=1,通过向左平移1个单位长度后,得到抛物线y=-
x2.
4.画出二次函数y=-2(x-1)2的图象,观察图象后填空:
当x<1时,y随x的增大而增大;当x>1时,y随x的增大而减小.
03 名校讲坛
例1 (教材P33探究)在同一直角坐标系中,画出二次函数y=-
(x+1)2,y=-
(x-1)2的图象,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
【解答】 先分别列表:
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
y=-
(x+1)2
…
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
…
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=-
(x-1)2
…
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
…
然后描点、连线,得二次函数y=-
(x+1)2,y=-
(x-1)2的图象,如图.
由图象可以看出,抛物线y=-
(x+1)2的开口向下,对称轴是经过点(-1,0)且与x轴垂直的直线,把它记作直线x=-1,顶点是(-1,0);抛物线y=-
(x-1)2的开口向下,对称轴是直线x=1,顶点是(1,0).
思考:
例1中两条抛物线y=-
(x+1)2,y=-
(x-1)2与抛物线y=-
x2有什么关系?
【点拨】 观察图象移动过程,要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况.
思考:
抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系?
总结:
y=ax2
y=a(x-h)2
【跟踪训练1】 (《名校课堂》22.1.3第2课时习题,教材P35练习的变式)在同一平面直角坐标系中,画出函数y=x2,y=(x+2)2,y=(x-2)2的图象,并写出对称轴及顶点坐标.
解:
图象如图:
抛物线y=x2的对称轴是直线x=0,顶点坐标为(0,0).
抛物线y=(x+2)2的对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,0).
抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,0).
例2 (补充例题)在直角坐标系中画出函数y=
(x+3)2的图象.
(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标;
(2)根据图象回答:
当x取何值时,y随x的增大而减小?
当x取何值时,y随x的增大而增大?
(3)怎样平移函数y=
x2的图象得到函数y=
(x+3)2的图象?
【解答】
(1)如图所示,函数图象的对称轴是直线x=-3,顶点坐标为(-3,0).
(2)当x<-3时,y随x的增大而减小;当x>-3时,y随x的增大而增大.
(3)将函数y=
x2的图象沿x轴向左平移3个单位长度得到函数y=
(x+3)2的图象.
【点拨】 二次函数的增减性以对称轴为分界,画图象取点时以顶点为分界对称取点.
【跟踪训练2】 将抛物线y=-
(x-4)2向左平移2个单位长度,得到的新抛物线的解析式为y=-
(x-2)2,新抛物线的开口方向向下,对称轴为x=2__,顶点为(2,0)__,为抛物线的最__高__点;当x__<2__时,y随x的增大而增大,当x>2时,y随x的增大而减小.
04 巩固训练
1.若抛物线y=a(x-h)2的顶点是(-3,0),且它是由抛物线y=-2x2通过平移而得到的,则a=-2,h=-3.
2.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:
(1)y=2(x-3)2-5;
(2)y=-0.5(x+1)2;
(3)y=-
x2-1;(4)y=2(x-2)2+5.
解:
(1)开口向上,对称轴是直线x=3,顶点坐标(3,-5).
(2)开口向下,对称轴是直线x=-1,顶点坐标(-1,0).
(3)开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标(0,-1)
(4)开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标(2,5).
3.不画图象,回答下列问题.
(1)函数y=2(x+1)2的图象可以看成是由函数y=2x2的图象作怎样的平移得到的?
(2)说出函数y=2(x+1)2的图象的开口方向,对称轴和顶点坐标;
(3)函数y=2(x+1)2有哪些性质?
(4)若将函数y=2(x+1)2的图象向左平移3个单位长度得到哪个函数图象?
解:
(1)向左平移1个单位长度.
(2)开口向上,对称轴是直线x=-1,顶点坐标为(-1,0).
(3)当x>-1时,y随x的增大而增大;当x<-1时,y随x的增大而减小.
(4)y=2(x+4)2.
05 课堂小结
1.抛物线y=ax2与y=ax2+c和抛物线y=ax2与y=a(x-h)2有哪些共同点,又有哪些不同点?
2.将抛物线y=ax2上下平移与左右平移所得到的表达式在形式上有何区别?
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
01 教学目标
1.会作函数y=a(x-h)2+k的图象.
2.能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
3.掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律.
02 预习反馈
阅读教材P35~37,自学“例3”与“例4”,掌握y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的关系,理解并掌握y=a(x-h)2+k的相关性质,完成下列内容.
1.一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k,平移的方向、距离要根据h、k的值来决定:
(1)当h>0,k>0时,把抛物线y=ax