高中立体几何教案.docx

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高中立体几何教案

高中立体几何教案第一章直线和平面两个平面平行的性质教案

教学目标

1．使学生掌握两个平面平行的性质定理及应用；

2．引导学生自己探索与研究两个平面平行的性质定理，培养和发展学生发现问题解决问题的能力．

教学重点和难点

重点：

两个平面平行的性质定理；

难点：

两个平面平行的性质定理的证明及应用．

教学过程

一、复习提问

教师简述上节课研究的主要内容（即两个平面的位置关系，平面与平面平行的定义及两个平面平行的判定定理），并让学生回答：

（1）两个平面平行的意义是什么？

（2）平面与平面的判定定理是怎样的？

并用命题的形式写出来？

（教师板书平面与平面平行的定义及用命题形式书写平面与平面平行的判定定理）

（目的：

（1）通过学生回答，来检查学生能否正确叙述学过的知识，正确理解平面与平面平行的判定定理．

（2）板书定义及定理内容，是为学生猜测并发现平面与平面平行的性质定理作准备）

二、引出命题

（教师在对上述问题讲评之后，点出本节课主题并板书，平面与平面平行的性质）

师：

从课题中，可以看出，我们这节课研究的主要对象是什么？

生：

两个平面平行能推导出哪些正确的结论．

师：

下面我们猜测一下，已知两平面平行，能得出些什么结论．

（学生议论）

师：

猜测是发现数学问题常用的方法．“没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现．”但猜想不是盲目的，有一些常用的方法，比如可以对已有的命题增加条件，或是交换已有命题的条件和结论．也可通过类比法即通过两个对象类似之处的比较而由已经获得的知识去引出新的猜想等来得到新的命题．

（不仅要引导学生猜想，同时又给学生具体的猜想方法）

师：

前面，复习了平面与平面平行的判定定理，判定定理的结论是两平面平行，这对我们猜想有何启发？

生：

由平面与平面平行的定义，我猜想：

两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个面．

师：

很好，把它写成命题形式．

（教师板书并作图，同时指出，先作猜想、再一起证明）

猜想一：

已知：

平面α∥β，直线a

α，

求证：

a∥β．

生：

由判定定理“垂直于同一条直线的两个平面平行”．我猜想：

一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．

[教师板书]

猜想二：

已知：

平面α∥β，直线l⊥α．

求证：

l⊥β．

师：

这一猜想的已知条件不仅是“α∥β”，还加上了“直线l⊥α”．下面请同学们看课本上关于判定定理“垂直于同一直线的两平面平行”的证明．在证明过程中，“平面γ∩α=a，平面γ∩β=a′”．a与a′是什么关系？

生：

a∥a′．

师：

若改为γ不是过AA′的平面，而是任意一个与α，β都相交的平面γ．同学们考虑一下是否可以得到一个猜想呢？

（学生讨论）

生：

如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，也必与另一个平面相交．”

[教师板书]

猜想三：

已知：

平面α∥β，平面γ∩α=a，求证：

γ与β一定相交．

师：

怎么作这样的猜想呢？

生：

我想起平面几何中的一个结论：

“一条直线与两条平行线中的一条相交，也必与另一条相交．”

师：

很好，这里实质用的是类比法来猜想．就是把原来的直线类似看作平面．两平行直线类似看作两个平行平面，从而得出这一猜想．大家再考虑，猜想三中，一个平面与两个平行平面相交，得到的交线有什么位置关系？

生：

平行

师：

请同学们表达出这个命题．

生：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

[教师板书]

猜想四：

已知：

平面α∥β，平面γ∩α=a，γ∩β=b．

求证：

a∥b．

[通过复习定理的证明方法，既发现了猜想三，猜想四，同时又复习了定理的证明方法，也为猜想四的证明，作了铺垫]

师：

在得到猜想三时，我们用到了类比法，实际上，在立体几何的研究中，将所要解决的问题与平面几何中的有关问题作类比，常常能给我们以启示，发现立体几何中的新问题．比如：

在平面几何中，我们有这样一条定理：

“夹在两条平行线间的平行线段相等”，请同学们用类比的方法，看能否得出一个立体几何中的猜想？

生：

把两条平行线看作两个平行平面，可得猜想：

夹在两个平行平面间的平行线段相等．

[教师板书]

猜想五：

已知：

平面α∥β，AA′∥BB′，且A，B∈α，B，B′∈β．

求证：

AA′=BB′．

[该命题，在教材中是一道练习题，但也是平面与平面平行的性质定理，为了完整体现平面与平面平行的性质定理，故尔把它放在课堂上进行分析]

三、证明猜想

师：

通过分析，我们得到了五个猜想，猜想的结论往往并不完全可靠．得到猜想，并不意谓着我们已经得到了两个平面平行的性质定理，下面主要来论证我们得到的猜想是否正确．

[师生相互交流，共同完成猜想的论证]

师：

猜想一是由平面与平面平行的定义得到的，因此在证明过程中要注意应用定义．

[猜想一证明]

证明：

因为α∥β，

所以α与β无公共点．

又 因为a

α，

所以 a与β无公共点．

故 a∥β．

师：

利用平面与平面平行的定义及线面平行的定义，论证了猜想一的正确性．这便是平面与平面平行的性质定理一．简言之，“面面平行，则线面平行．”

[教师擦掉“猜想一”，板书“性质定理一”]

[论证完猜想一之后，教师与学生共同研究了“猜想二”，发现，若论证了“猜想四”的正确性质，“猜想二”就容易证了，因而首先讨论“猜想三，猜想四”]

师：

“猜想三”是类比平面几何中的结论得到的，还记得初中时，是怎么证明的？

[学生回答：

反证法]

师：

那么，大家可否类比初中的证明方法来证明“猜想三”呢？

生：

用反证法：

假设γ与β不相交，则γ∥β．这样过直线a有两个平面α和γ与β平行．与“过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”矛盾．故γ与β相交．

师：

很好．由此可知：

不只是发现问题时可用类比法，就是证明方法也可用类比方法．不过猜想三，虽已证明为正确的命题，但教材中并把它作为平面与平面平行的性质定理，大家在今后应用中要注意．

[猜想四的证明]

师：

猜想四要证明的是直线a∥b，显然a，b共面于平面γ，只需推导出a与b无公共点即可．

生：

（证法一）

因为 a∥β，

所以 a与β无公共点．

又因为 a

α，b

β．

所以 a与b无公共点．

又因为 a

γ，b

γ，

所以 a∥b．

师：

我们来探讨其它的证明方法．要证线线平行，可以转化为线面平行．

生：

（证法二）

因为 a

α，又因为 α∥β，

所以 a∥β．

又因为 a

γ，且γ∩β=b，

所以 a∥b．

师：

用两种不同证法得出了“猜想四”是正确的．这是平面和平面平行的性质定理二．

[教师擦掉“猜想四”，板书“性质定理二”]

师：

平面与平面平行的性质定理二给出了在两个平行平面内找一对平行线的方法．即：

“作一平面，交两面，得交线，则线线平行．”同时也给我们证明两条直线平行的又一方法．简言之，“面面平行，则线线平行”．

[猜想二的证明]

师：

猜想二要证明的是直线l⊥β，根据线面垂直的判定定理，就要证明l和平面β内的两条相交直线垂直．那么如何在平面β内作两条相交直线呢？

[引导学生回忆：

“垂直于同一直线的两个平面平行”的定理的证明]

生：

（证法一）

设l∩α=A，l∩β=B．

过AB作平面γ∩α=a，γ∩β=a′．

因为 α∥β，所以a∥a′．

再过AB作平面δ∩α=b，δ∩β=b′．

同理b∥b′．

又因为l⊥α，所以l⊥a，l⊥b，

所以 l⊥a′，l⊥b′，又a′∩b′=β，

故 l⊥β．

师：

要证明l⊥β，根据线面垂直的定义，就是要证明l和平面β内任何一条直线垂直．

生：

（证法二）

在β内任取一条直线b，经过b作一平面γ，使γ∩α=a，

因为 α∥β，所以a∥b，

因此 l⊥α，a

α，

故 l⊥a，所以 l⊥b．

又因为b为β内任意一条直线，

所以 l⊥β．

[教师擦掉“猜想二”，板书“性质定理三”]

[猜想五的证明]

证明：

因为 AA′∥BB′，

所以过AA′，BB′有一个平面γ，且γ∩α=AB，γ∩β=A′B′．

因为 α∥β，

所以AB∥A′B′，

因此 AA′B′B为平行四边形．

故 AA′=BB′．

[教师擦掉“猜想五”，板书“性质定理四”]

师：

性质定理四，是类比两条平行线的性质得到的．平行线的性质有许多，大家还能类比得出哪些有关平行平面的猜想呢？

你能证明吗？

请大家课下思考．

[因类比法是重要的方法，但平行性质定理已得出，故留作课下思考]

四、定理应用

师：

以上我们通过探索一猜想一论证，得出了平面与平面平行的四个性质定理，下面来作简单的应用．

例 已知平面α∥β，AB，CD为夹在α，β间的异面线段，E、F分别为AB，CD的中点．

求证：

EF∥α，EF∥β．

师：

要证EF∥β，根据直线与平面平行的判定定理，就是要在β内找一条直线与EF平行．

证法一：

连接AF并延长交β于G．

因为 AG∩CD=F，

所以 AG，CD确定平面γ，且γ∩α=AC，γ∩β=DG．

因为 α∥β，所以AC∥DG，

所以 ∠ACF=∠GDF，

又 ∠AFC=∠DFG，CF=DF，

所以 △ACF≌△DFG．

所以 AF=FG．

又 AE=BE，

所以 EF∥BG，BG

β．

故 EF∥β．

同理：

EF∥α．

师：

要证明EF∥β，只须过EF作一平面，使该平面与β平行，则根据平面与平面平行性质定理即可证．

证法二：

因为AB与CD为异面直线，所以A

CD．

在A，CD确定的平面内过A作AG∥CD，交β于G，取AG中点H，连结AC，HF．

因为 α∥β，

所以 AC∥DG∥EF．

因为 DG

β，所以HF∥β．

又因为 E为AB的中点，

因此 EH∥BG，所以EH∥β．

又EH∩FH=H，

因此 平面EFH∥β，EF

平面EFH，

所以 EF∥β．

同理，EF∥α．

师：

从以上两种证明方法可以看出，虽然是解决立体几何问题，但都是通过转化为平面几何的问题来解决的．这是解决立体几何问题的一种技能，只是依据的不同，转化的方式也不同．

五、平行平面间的距离

师：

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段．两个平行平面有几条公垂线？

这些公垂线的位置关系是什么？

生：

两个平行平面有无数条公垂线，它们都是平行直线．

师：

夹在两平行平面之间的公垂线段有什么数量关系？

根据是什么？

生：

相等，根据“夹在两个平行平面间的平行线段相等．”

师：

可见夹在两个平行平面的公垂线段长度是唯一的．而且是夹在两个平行平面间的所有线段中最短的．因此我们把这公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．显然两个平行平面的距离等于其中一个平面上的任一点到另一个平面的垂线段的长度．

六、小结

1．由学生用文字语言和符号语言来叙述两个平面平行的性质定理．

教师总结本节课是由发现与论证两个过程组成的．简单的说就是：

由具体问题具体素材用类比等方法猜想命题，并由转化等方法论证猜想的正确性，得到结论．

2．在应用定理解决立体几何问题时，要注意转化为平面图形的问题来处理．大家在今后学习中一定要注意掌握这一基本技能．

3．线线平行、线面平行与面面平行的判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系．在学习中应发现其内在的科学规律：

低一级位置关系判定着高一级位置关系；高一级位置关系一定能推导低一级位置关系．下面以三种位置关系为纲应用转化的思想整理如下：

七、布置作业

课本：

p．38，习题五5，6，7，8．

课堂教学设计说明

1．本节课的中心是两个平行平面的性质定理．定理较多，若采取平铺直叙，直接地给出命题，那样就绕开了发现、探索问题的过程，虽然比较省事，但对发展学生的思维能力是不利的．

在设计本教案时，充分考虑到教学研究活动是由发现与论证这样两个过程组成的．因而把“如何引出命题”和“如何猜想”作为本节课的重要活动内容．在教师的启发下，让学生利用具体问题；运用具体素材，通过类比等具体方法，发现命题，完成猜想．然后在教师的引导下，让学生一一完成对猜想的证明，得到两个平面平行的性质定理．也就在这一“探索”、“发现”、“论证”的过程中，培养了学生发现问题，解决问题的能力．

在实施过程中，让学生处在主体地位，教师始终处于引导者的位置．特别是在用类比法发现猜想时，学生根据两条平行线的性质类比得出许多猜想．比如：

根据“平行于同一条直线的两条直线平行”得到“平行于同一个平面的两个平面平行．”根据“两条直线平行，同位角相等”等，得到“与两个平行平面都相交的直线与两个平面所成的角相等”等等，当然在这些猜想中，有的是正确的，有的是错误的，这里不一一叙述．这就要求教师在教学过程中，注意变化，作适当处理．学生在整节课中，思维活跃，沉浸在“探索、发现”的思维乐趣中，也正是在这种乐趣中，提高了学生的思维能力．

2．在对定理的证明过程中，课上不仅要求证出来，而且还考虑多种证法．对于定理的证明，是解决问题的一些常用方法，也可以说是常规方法，是要学生认真掌握的．因此教师要把定理的证明方法，作为教学的重点内容进行必要的讲解，培养学生解决问题的能力．

3．转化是重要的数学思想及数学思维方法．它在立体几何中处处体现．实质上处理空间图形问题的基本思想方法就是把它转化为平面图形的问题，化繁为简．特别是在线线平行，线面平行，面面平行三种平行的关系上转化的思想也有较充分的体现，因而在小结中列出三个平行关系相互转让的关系图，一方面便于学生理解，记忆，同时通过此表，能马上发现三者相互推导的关系，能打开思路，发现线索，得到最佳的解题方案．