大学物理力学答案2.docx

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大学物理力学答案2

第二章基本知识小结

⒈基本概念

（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：

）

⒉直角坐标系与x,y,z轴夹角的余弦分别为.

与x,y,z轴夹角的余弦分别为.

yy'

V

oxo'x'

zz'

与x,y,z轴夹角的余弦分别为

⒊自然坐标系

⒋极坐标系

⒌相对运动对于两个相对平动的参考系

（时空变换）

（速度变换）

（加速度变换）

若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有：

2.1.1质点运动学方程为：

求质点轨迹并用图表示.

解：

⑴轨迹方程为的直线.

⑵，消去参数t得轨迹方程

2.1.2质点运动学方程为.⑴求质点轨迹；⑵求自t=-1到t=1质点的位移。

解：

⑴由运动学方程可知：

，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。

⑵

。

所以，位移大小：

2.1.3质点运动学方程为.⑴求质点轨迹；⑵求质点自t=0至t=1的位移.

解：

⑴，消去参数t得：

⑵

2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为

0.75s后测得，R1,R2均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）

解：

，在图示的矢量三角形中，应用余弦定理，可求得：

据正弦定理：

2.2.2一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为y=x2/200（长度：

毫米）。

第一次观察到圆柱体在x=249mm处，经过时间2ms后，圆柱体移到x=234mm处。

求圆柱体瞬时速度的近似值。

解：

由于Δt很小，所以，，

其中，

。

其大小

；与x轴夹角

2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m；另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km，收听者离收音机2m，问谁先听到声音？

声速为340m/s，电磁波传播的速率为3.0×108m/s.

解：

声音传播情况如图所示，

北京人听到演奏声音所需时间：

广州人听到演奏声音所需时间：

2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h速率行驶，3min后以70km/h速率向北偏西30°方向行驶，求列车的平均加速度。

解：

对矢量三角形应用余弦定理：

，由正弦定理：

2.2.6⑴，R为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。

⑵，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。

解：

⑴

⑵；

2.3.1图中a、b和c表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）

解：

质点直线运动的速度

，在x-t图像中为曲线斜率。

由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线与x轴正向夹角为α，则速度

对于a种运动：

对于b种运动：

对于c种运动：

2.3.2质点直线运动的运动学方程为x=acost,a为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）

解：

显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：

2.3.3跳伞运动员的速度为，v铅直向下，β,q为正常量，求其加速度，讨论时间足够长时（即t→∞）速度、加速度的变化趋势。

解：

因为v>0，a>0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当t→∞时，v→β，a→0，说明经过较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。

2.3.4直线运行的高速列车在电子计算机控制下减速进站。

列车原运行速率为v0=180km/h，其速率变化规律如图所示。

求列车行至x=1.5km时的加速度。

解：

，将v0=180km/h,x=1.5km代入

2.3.5在水平桌面上放置A、B两物体，用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来，C点与桌面固定，已知物体A的加速度aA=0.5g，求物体B的加速度。

解：

设整个绳长为L，取图示坐标o-x，则3xA+（-4xB）=L

对时间求两次导数，3aA=4aB，所以aB=3aA/4=3×0.5g/4=3g/8

2.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t2.⑴将坐标原点沿o-x正方向移动2m，运动学方程如何？

初速度有无变化？

⑵将计时起点前移1s，运动学方程如何？

初始坐标和初速度发生怎样的变化？

加速度变不变？

解：

x=10t+3t2，v=dx/dt=10+6t，a=dv/dt=6，t=0时，x=0,v=10

⑴将坐标原点向x轴正向移动2m，即令x'=x-2，x=x'+2，则运动学方程为：

x'=10t+3t2-2，∵v'=dx'/dt=10+6t，∴v'=v

⑵将计时起点前移1s，即令t'=t+1，t=t'-1，则运动学方程变为：

x=10（t'-1）+3（t'-1）2=10t'–10+3t'2-6t'+3=4t'+3t'2–7

v'=dx/dt'=4+6t'，t'=0时，x=-7，v'=4，加速度a不变。

2.4.1质点从坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度ax=2t（cms-2），求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。

⑴初速度v0=0；⑵初速度v0的大小为9cm/s，方向与加速度方向相反。

解：

⑴

⑵

令vx=0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x轴反向运动，3秒后质点沿x轴正向运动，所以路程：

2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为：

vx=-3sint，求t1=3至t2=5时间内的位移。

解：

2.4.3一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为

ax=-Aω2cosωt.在t=0时，vx=0,x=A，其中A,ω均为正常数。

求此质点的运动学方程。

解：

，

2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0时速度为v0，且坐标x=0，假设其加速度为ax=-bvx2，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。

解：

2.4.5在195m长的坡道上，一人骑自行车以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡，问：

⑴经多长时间两人相遇？

⑵两人相遇时各走过多长的路程？

解：

以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标o-x，用脚标1表示上坡者，用脚标2表示下坡者。

两人的加速度实际上是相同的：

根据匀变速直线运动公式：

⑴令x1=x2，可求得相遇时间：

5t=195-1.5t,t=195/6.5=30s

⑵对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：

v1=5-0.2t，令v1=0，求得对应时刻t=25s，所以，上坡者在25s前是在上坡，但25s后却再下坡。

因此，上坡者在30s内走过的路程：

对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s内走过的路程：

2.4.6站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面，火车开动后经过Δt=24s，火车第一节车厢的末尾从此人的前面通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?

火车做匀加速运动。

解：

设每节车厢长为L，以地为参考系，以人所在点为原点建立图示坐标o-x，以第一节车厢的前端点为研究对象，t=0时，前端点的坐标x=0，速度v=0，据匀加速运动公式：

，令x=L，求得：

，∴

令x=6L，可求得第6节车厢尾端通过人时所需时间t6：

令x=7L，可求得第7节车厢尾端通过人时所需时间t7：

因此，第7节车厢通过人所需时间：

2.4.7在同一铅直线上相隔h的两点以同样速率v0上抛二石子，但在高处的石子早t0秒被抛出，求此二石子何时何处相遇？

解：

以地为参考系，建立图示坐标o-y。

据题意，设t=0时，上面石子坐标y1=h,速度v1=v0；t=t0时，下面石子坐标y2=0，v2=v0

解法1：

根据匀变速直线运动的规律，可知

解法2：

可根据速度、加速度的导数定义和初始条件，通过积分得到⑴、⑵，然后求解。

2.4.8电梯以1.0m/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？

解：

以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的2倍。

由自由落体运动公式：

，可求得从最高出落到地板所需时间：

，所以小孩做竖直上抛所需时间为0.64s，在此时间内电梯对地下落距离：

L=1.0×0.64=0.64m

2.5.1质点在o-xy平面内运动,其加速度为，位置和速度的初始条件为：

t=0时，，求质点的运动学方程并画出轨迹。

解：

2.5.2在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点分别以30º、60º为发射角同时抛出两球，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A、B两点间的距离。

已知小球在A点的发射速度vA=9.8米/秒。

YvAO

vBO

30º60º

ASBx

解：

以A点为原点建立图示坐标系，取发射时刻为计时起点，两点间距离为S，初始条件如图所示。

据斜抛规律有：

满足题中条件，在最高点相遇，必有vAy=vBy=0,xA=xB

2.5.3迫击炮的发射角为60°发射速率150m/s，炮弹击中倾角为30°的山坡上的目标，发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离OA.

解：

以发射点为原点，建立图示坐标o-x，斜抛物体的轨迹方程为（见教材）：

本题，α=60°，v0=150m/s，A点坐标xA,yA应满足轨迹方程，所以：

①

另外，根据图中几何关系，可知：

，代入①中，有：

2.5.4轰炸机沿与铅直方向成53°俯冲时，在763m的高度投放炸弹，炸弹在离开飞机5.0s时击中目标，不计空气阻力：

⑴轰炸机的速率是多少？

⑵炸弹在飞行中通过的水平距离是多少？

⑶炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？

解：

以投放点为原点，建立图示坐标o-xy,设炸弹初速度（即轰炸机速度）为v0.由于炸弹在飞行过程中的加速度，所以炸弹在x方向做匀速直线运动，在y方向做竖直下抛运动，有

⑴令t=5.0s，y=763m，由④可求得轰炸机的速率：

⑵将v0代入①中，可求得炸弹击中目标时速度的水平分量：

令t=5，由②可求得炸弹击中目标时速度的竖直分量：

2.5.5雷达监测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，他给出这样的信息：

⑴抛射体达到最大高度且正以速率v沿水平方向运动；⑵观测员到抛射体的直线距离是l；⑶观测员观测抛体的视线与水平方向成θ角。

问：

⑴抛射体命中点到观测者的距离D等于多少？

⑵何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才命中目标？

何种情况下抛体在未达到观察员以前就命中目标？

解：

以抛体所达最大高度处为计时起点和坐标原点，建立图示坐标o-xy，抛体以速度v做平抛运动.

设命中时间为t1，由自由落体公式：

命中点x坐标为：

，由图中几何关系，观测者的x坐标：

。

所以，观测者与命中点间的距离：

当x1

当x1>x2，即时，则抛体在飞越观察员后才命中目标。

2.6.1列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为S=80t-t2（m,s），t=0时，列车在图中O点，此圆弧形轨道的半径r=1500m，求列车驶过O点以后前进至1200m处的速率及加速度。

解：

S=80t-t2①v=dS/dt=80-2t②

令S=1200，由①可求得对应时间：

将t=60代入②中，v=-40，不合题意，舍去；将t=20代入②中，v=40m/s，此即