一元二次方程竞赛训练题Word文件下载.docx

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一元二次方程竞赛训练题Word文件下载.docx

4x22

19的值等于()

7•如果方程(x1)(x22xm)0的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m

(A)4;

(B)8;

(C)6;

(D)0..

11.已知且,则=

的值为()

(A)23(B)

23

(C)

(D)

13

15.如果x和y是非零实数,使得

xy

3和xy

x30,

那么x+y等于(

).

(A)3(B)

v'

1晁

16.已知实数a

、b、

x、

y满足

abx

y2,

ax

by5,则

2222

(ab)xyab(xy)

17.实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,则z的最大值是.

18.已知a,b是实数,关于x,y的方程组

yxaxbx,

yaxb

有整数解(x,y),求a,b满足的关系式.

19.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)的一个实数根,则ab的取值范围为()

ab

1

1

(A)

-(B)

ab一

8

20.

RtVABC中

AB=5,

而直角边

BC,

AC之长是一元二次方程

x2(2m1)x4(m1)0的两根,贝Um的值是()

A、4B、-1C、4或-1D、-4或1

21•已知a为实数,且使关于x的二次方程x2a2xa0有实根,该方程的根x所能

取至y的最大值是。

22.设a,b,c为互不相等的实数,且满足关系式

b2c22a216a14①

及bca24a5,②

求a的取值范围.

(答案):

1.解:

记f(x)

»

7x2(k13)xk

2k2

f(0)

k2k20

由f

(1)

k22k80

3k

4或2k1

f

(2)

k23k0

2.8.

x(a8)x8a1

原方程整理为设

X1,X2为方程的两个整数根,由

X1+x2=a+8,

知a为整数,因此,x-a和x-8

都是整数。

故由原方程知x-a=x-8(=±

1)•••

所以a=8

3.(D)

设X。

是方程的解,则一X。

也是方程的解,

排除(A)、

(B);

(D)的两值必是方程的解,

否则方程的解也不是(C).

将一(15)代入方程,左边工0,排除(C).

4.6

设甲将a看为a'

由韦达定理得

于是

由于一次项系数

a'

由①②得a

b

5.

(B)

6.

b的符号不改变判别式的值,因此,乙只能是看错a或c的符号.

3.所以

设xo是方程的根,则ax

所以(2ax0b)2

设x2

程的四个根为

4.

6126.

4a2x°

4a(ax02

b24ac

y,原方程变为y2

由韦达定理

7.(C)

bx0c0.

4abx0

bxoc)

5y4

b2

k0.设此方程有根,(0

.由于它们在数轴上对应的四个点等距排列,

5,得

9

4,

),则原方

x21.1m,x3

x1x221m1

(D)

X1,X2是二次方程x2

x12x13

即x123为,

由根与系数的关系知X1X21,从而有

x124x2219x1(3xj4(3x2)19

3x-|x14x273x-|(3x1)4x27

因为mn为有理数,方程一根

52,那么另一个根为

52,由韦达定理。

4(x1x2)44

(1)40.

9.3

得m=4,n=-1,/•m+n=3

10.设两整数根为x,y(xey)

则xya°

xy4a0

—ya,4x8.可推出x4,a—X.由于x为整数

2x4

x=5时,a=25时,y=20时;

x=6时,a=18时,y=12;

x=7时,a不是整数,x=8时;

a=16,y=8;

于是a=25或18或16均为所求。

12.由方程组得:

a、b是方程x2-8x+c2-8..2c+48=0的两根

△=-4(c-82)2》0,c=42a=b=4

所以原方程为x+...2x-1=0

1=

、2..6

~2

m的不等式,

13.解:

这是一个二次方程的区间根问题,可根据二次函数图象的特点建立关于先求出m的取值范围,再由m是整数确定m的根.

设f(x)=3x2+mx-2,由二次函数的图象,得

f(-5)

5

f(7)

-m

7

m

193门0

25

710

49

解得3

21

4至

45

•/m是整数,

•••只有

m=4.

14.答:

选(B)

a、b是关于x的方程

13(x1)3

的两个根,整理此方程,得

x5x10,

2540,

b5,ab1.

故a、

b均为负数.因此

a.abab

aab

22

ab22ab

、ab23

3x代入

xy

x3

得x3x2

3x

0.

(1)

当x>

0时,

x2

0,方程x2

30无实根;

(2)

当x<

0时,x3

0,得方程x2

解得

」,正根舍去,从而x

713

.13.

因此,结论(

D)是在正确的.

16•答:

5

解:

xy2,得(a

b)(xy)axbyaybx4,

by

•••ay

bx

因而,

(a2

b)xyab(x

y2)(ay

bx)(axby)

17.答:

txy5z,xy

3z(x

y)

3z(5z)

z25z3,

x、y是关于t

的一元二次方程

t2(5

z)t

z25z3

的两实根.

(5z)2

4(z2

5z

3)

3z2

10z

(3z13)(z

1)0.

故z的最大值为

xy,

(5分)

若x+1=0,即x

(x1)yx3.

1,则上式左边为0,右边为1不可能.所以x+1m0,于是

ax0有实根,于是V14x0

X2x1

因为X、

y都是整数,所以x

1,即x

2或x

0,进而y=8或y

0.故

x2

x

••(10分)

y8

y

tx

时,代入yax

b得,

2a

b8

0;

b得,

综上所述,a、b满足关系式是2a

0,

或者b

0,a是任意实数

•-(15

19.

B

20.

设方程的根为

人兀,

依题意

X1冷

%X2

2x1x2=2m18m1

m23m4

解得m=4或-1

但x-i,x2>

0,2m-1>

0

所以m>

0故m=4选A

X

n

当a=0时,

x=0

综上,

32

22.解法

1:

由①—

2X②得

(bc)

224(a

1)0,

所以a

1.

当a

1时,

.22

bc

2a2

16a14

2(a1)(a7)0

21.a为实数,当a

0时,关于a的二次方程xa2

10分

又当a=b时,由①,②得

e2a216a14,

aea24a5,

将④两边平方,

结合③得

2222aa16a14a4a5,

化简得

32

24a38a240a250,

(6a5)(4a22a5)0,

解得a5

,或a

21

64

所以,

a的取值范围为

1且a

,a

、21

6

15分

解法2

:

因为b2e2

2a2

16a

14,

be

2a

4a

5,所以

(be)2a

14

2(a2

5)

=4a2

8a4=4(a1),

bc2(a1).

所以

又bea4a5,所以b,c为一元二次方程

x22(a1)xa24a50

的两个不相等实数根,故

4(a1)

4(a2

0,

所以a1.

当a1时,

b2e2

2(a

1)(a7)0

另外,当a=b时,由⑤式有

\—/

X—

o

5a

所以,a的取值范围为a1且a

1,21

15分

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