第1章信号及其表述.docx

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第1章信号及其表述

学习目标

1.了解信号的分类；

2.掌握对周期性信号及非周期信号的描述；

3.掌握傅里叶变换的主要性质；

4.掌握典型信号的概率密度函数及其频谱。

学习难点

信号的时域描述和频域描述的物理意义及时域、频域描述的互相转换。

单位脉冲函数的性质及其物理意义。

内容概述

本章从不同角度说明信号的分类及其定义。

介绍周期信号和非周期信号的频域描述及其频域特征，随机信号的概念和关于随机信号幅值的若干统计参数，时域—频域转换的数学工具即傅里叶变换的概念和主要性质，若干典型函数的频谱。

1.1信号分类

为了深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必要的。

以不同的角度来看待信号，可以将信号分为

　　1.确定性信号与非确定性信号；

　　2.能量信号与功率信号；

　　3.时限信号与频限信号；

　　4.连续时间信号与离散时间信号；

　　5.物理可实现信号。

1.1.1确定性信号与非确定性信号

（1）确定性信号

　　可以用明确的数学关系式描述的信号称为确定性信号。

它可以进一步分为周期信号、非周期信号与准周期信号等，如下图所示。

图2.1-1信号的分类描述

　　周期信号是指经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件

　x（t）　=　x（t+nT）

（2.1-1）

式中T——周期，T=2π/ω0；

ω0——基频；

n=0,±1,…。

　　例如，下面是一个50Hz正弦波信号10sin（2*π*50*t）的波形，信号周期为1/50=0.02秒。

图2.1-250Hz正弦波信号波形

　　机械系统中，回转体不平衡引起的振动，往往也是一种周期性运动。

例如，下图是某钢厂减速机上测得的振动信号波形（测点3），可以近似地看作为周期信号。

图2.1-3某钢厂减速机振动测点布置图

图2.1-4某钢厂减速机测点3振动信号波形

非周期信号是不会重复出现的信号。

例如，锤子的敲击力、承载缆绳断裂时的应力变化、热电偶插入加热炉中温度的变化过程等，这些信号都属于瞬变非周期信号，并且可用数学关系式描述。

例如，下图是单自由度振动模型在脉冲力作用下的响应。

图2.1-5单自由度振动模型脉冲响应信号波形

准周期信号是非周期信号的特例，处于周期与非周期的边缘情况，是由有限个周期信号合成的，但各周期信号的频率相互间不是公倍数关系，其合成信号不满足周期条件，例如

是两个正弦信号的合成，其频率比不是有理数，不成谐波关系。

下面是其信号波形

图2.1-6准周期信号

波形

　　这种信号往往出现于通信、振动系统，应用于机械转子振动分析、齿轮噪声分析、语音分析等场合。

（2）非确定性信号

　　非确定性信号不能用数学关系式描述，其幅值、相位变化是不可预知的，所描述的物理现象是一种随机过程。

例如，汽车奔驰时所产生的振动、飞机在大气流中的浮动、树叶随风飘荡、环境噪声等。

图2.1-7加工过程中螺纹车床主轴受环境影响的振动信号波形

　　然而，必须指出的是，实际物理过程往往是很复杂的，既无理想的确定性，也无理想的非确定性，而是相互参杂的。

1.1.2连续信号和离散信号

根据时间信号的连续性可分为连续信号和离散信号。

其分类如下：

若信号的独立变量取值连续，则是连续信号

若信号的独立变量取值离散，则是离散信号

信号幅值也可分为连续的和离散的两种，若信号的幅值和独立变量均连续，则称为模拟信号；若信号幅值和独立变量均离散，则称为数字信号。

1.1.3能量信号与功率信号

（1）能量信号：

在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件

（2.1-2）

　　关于信号的能量，可作如下解释：

对于电信号，通常是电压或电流，电压在已知区间（t1，t2）内消耗在电阻上的能量

（2.1-3）

对于电流，能量

（2.1-4）

　　在上面每一种情况下，能量都是正比于信号平方的积分。

讨论消耗在电阻上的能量往往是很方便的，因为当R=1Ω时，上述两式具有相同形式，采用这种规定时，就称方程

（2.1-5）

为任意信号x（t）的“能量”。

（2）功率信号

　　有许多信号，如周期信号、随机信号等，它们在区间（-∞，∞）内能量不是有限值。

在这种情况下，研究信号的平均功率更为合适。

在区间（t1，t2）内，信号的平均功率

（2.1-6）

若区间变为无穷大时，上式仍然是一个有限值，信号具有有限的平均功率，称之为功率信号。

具体讲，功率信号满足条件

（2.1-7）

对比上式，显而易见，一个能量信号具有零平均功率，而一个功率信号具有无限大能量。

1.1.4时限信号与频限信号

时域有限信号是在有限区间（t1，t2）内有定义，而其在有限区间外恒等于零。

例如，矩形脉冲、三角脉冲、余弦脉冲等。

而周期信号、指数衰减信号、随机过程等，则称为时域无限信号。

图2.1-8时域有限信号

　　频域有限信号是指信号经过傅里叶变换，在频域内占据一定带宽（f1，f2），其外恒等于零。

例如，正弦信号、sinc（t）函数、限带白噪声等，为频域有限信号。

白噪声、理想采样信号等，则为频域无限信号。

图2.1-9频域有限信号

　　时间有限信号的频谱，在频率轴上可以延伸至无限远。

由时、频域对称性可推论，一个具有有限带宽的信号，必然在时间轴上延伸至无限远处。

显然，一个信号不能够在时域和频域都是有限的。

2.1.4连续时间信号与离散时间信号

连续时间信号：

在所讨论的时间间隔内，对于任意时间值（除若干个第一类间断点外）都可给出确定的函数值，此类信号称为连续时间信号或模拟信号。

连续信号的幅值可以是连续的也可以是不连续的。

图2.1-10

　　离散时间信号：

离散时间信号在时间上是离散的。

只是在某些不连续的规定瞬时给出函数值，而在其它时间没有定义的信号。

图2.1-11离散时间信号

1.1.5物理可实现信号

物理可实现信号又称为单边信号，满足条件t＜0时，x（t）=0，即在时刻小于零的一侧全为零，信号完全由时刻大于零的一侧确定。

　　在实际中出现的信号，大量的是物理可实现信号，因为这种信号反映了物理上的因果关系。

实际中所能测得的信号，许多都是由一个激发脉冲作用于一个物理系统之后所输出的信号。

例如，切削过程，可以把机床、刀具、工件构成的工艺系统作为一个物理系统，把工件上的硬质点或切削刀具上积屑瘤的突变等，作为振源脉冲，仅仅在该脉冲作用于系统之后，振动传感器才有描述刀具振动的输出。

图2.1-12物理可实现信号

　　所谓物理系统，具有这样一种性质，当激发脉冲作用于系统之前，系统是不会有响应的，换句话说，在零时刻之前，没有输入脉冲，则输出为零，这种性质反映了物理上的因果关系。

因此，一个信号要通过一个物理系统来实现，就必须满足x（t）=0（t＜O），这就是把满足这一条件的信号称之为物理可实现信号的原因。

同理，对于离散信号而言，满足x（n）=0（n＜0）条件的序列，即称为因果序列。

1.2信号的描述

直接检测记录到的信号一般是随时间变化的物理量，称作信号的时域描述。

这种以时间作为独立变量的方式能反映信号幅值随时间变化的关系。

而不能揭示信号的频率结构特征。

为了更加全面深入研究信号，从中获得更多有用信息，常把时域描述的信号进行变换。

以频率作为独立变量的方式，称作信号的频域描述。

频域描述可以反映信号的各频率成分的幅值和相位特征。

信号的时、频域描述是可以相互转换的，而且包含有相同的信息量。

一般将从时域数学表达式转换为频域表达式称为频谱分析。

相对应的图形分别称为时域图和频谱图。

1．2．1周期信号的描述

周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件：

　　　　　x（t）　=　x（t+nT）

从数学分析已知，任何周期函数在满足狄利克利（Dirichlet）条件下，可以展开成正交函数线性组合的无穷级数，如正交函数集是三角函数集（sinnω0t,cosnω0t）或复指数函数集（ejnω0t），则可展开成为傅里叶级数，通常有实数形式表达式：

直流分量幅值为：

各余弦分量幅值为：

各正弦分量幅值为：

利用三角函数的和差化积公式，周期信号的三角函数展开式还可以写为下面的形式：

直流分量幅值为：

A0=a0；

各频率分量幅值为：

；

各频率分量的相位为：

。

式中，T—周期，T=2π/ω0；ω0—基波圆频率；f0—基波频率；n=0,±1,…。

为信号的傅立叶系数，表示信号在频率fn处的成分大小。

工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以fn为横坐标，

为纵坐标画图，则称为时频－虚频谱图；以fn为横坐标，

为纵坐标画图，则称为幅值－相位谱；以fn为横坐标，An2为纵坐标画图，则称为功率谱，如图2-4-3所示。

图2-4-3信号的频谱表示

频谱是构成信号的各频率分量的集合，它完整地表示了信号的频率结构，即信号由哪些谐波组成，各谐波分量的幅值大小及初始相位，从而揭示了信号的频率信息。

对周期信号来说，信号的谱线只会出现在0,f1,f2,....fn,等离散频率点上，这种频谱称为离散谱。

例如，有周期方波信号：

根据公式先求出a0，an，bn，有：

其波形、幅值谱和相位谱分别如图2-4-4所示：

图2-4-4方波信号的波形、幅值谱和相位谱

周期信号强度的描述

.均值

均值E[x（t）]表示集合平均值或数学期望值．基于随机过程的各忘历经性，可用时间间隔T内的幅值平均值表示，即

（2-2-1）

均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。

均方值

信号x（t）的均方值E[x2（t）]，或称为平均功率，其表达式为：

（2-2-2）

值表达了信号的强度，其正平方根值，又称为有效值，也是信号的平均能量的一种表达。

在工程信号测量中一般仪器的表头示值显示的就是信号的均方值。

方差

信号x（t）的方差定义为：

（2-2-3）

称为均方差或标准差。

可以证明，

描述了信号的波动量；

描述了信号的静态量。

方差反映了信号绕均值的波动程度。

周期信号频谱特点

离散性

谐波性

收敛性

1.2.2非周期信号的描述

瞬变非周期信号的谱密度与傅立叶变换

信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x（t）变换为频域信号X（f），从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。

时域信号x（t）的傅氏变换为：

式中X（f）为信号的频域表示，x（t）为信号的时域表示，f为频率。

例如，50Hz正弦波信号：

x（t）=10sin（314t），其频谱函数为：

|X（f）|=0f<>50，|X（f）|=10f=50

转换过程如图2-4-1所示：

x（t）　　　　傅立叶变换　　　　X（f）

图2-4-1正弦波形的频谱转换

信号的时域描述只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除只有一个频率分量的简谐波外一般很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量的大小。

例如，下图是一受噪声干扰的多频率成分周期信号，从信号波形上很难看出其特征，但从信号的功率谱上却可以判断、并识别出信号中的四个周期分量和它们的大小。

信号的频谱X（f）代表了信号在不同频率分量处信号成分的大小，它能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。

图2-4-2受噪声干扰的多频率成分周期信号波形和频谱

非周期信号是在时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。

这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。

其表达式为：

与周期信号相似，非周期信号也可以分解为许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于非周期信号的周期

，基频

，它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为

，这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。

非周期信号x（t）的傅立叶变换X（f）是复数，所以有：

式中|X（f）|为信号在频率f处的幅值谱密度，

为信号在频率f处的相位差。

信号频谱如图2-4-5所示。

图2-4-5信号的频谱表示

与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在0,fmax的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。

傅立叶变换的性质

时域信号x（t）的傅氏变换为：

（2-4-1）

式中X（f）为信号的频域表示，x（t）为信号的时域表示，f为频率。

信号的傅立叶变换有如下性质：

1.奇偶虚实性

实函数x（t）的傅立叶变换X（f）的实部为偶函数，虚部为奇函数；X（f）的模为偶函数，相位为奇函数。

2. 线性叠加性

傅立叶变换是一种线性运算，满足线性叠加性质。

若 x1（t）←→X1（f），x2（t）←→X2（f）则：

c1x1（t）+c2x2（t）←→c1X1（f）+c2X2（f）

3. 对称性：

若 x（t）←→X（f），则 X（t）←→x（-f）

4. 时间尺度改变性：

若 x（t）←→X（f），则　

5. 时移性：

若 x（t）←→X（f），则 x（t±t0）←→e±j2πft0X（f）

6. 频移性：

若 x（t）←→X（f），则　

7. 卷积定理：

若 x1（t）←→X1（f），x2（t）←→X2（f），则：

x1（t）.x2（t）←→X1（f）*X2（f）；x1（t）*x2（t）←→X1（f）.X2（f）

频谱分析的应用

频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。

例如，在机床齿轮箱故障诊断中，可以通过测量齿轮箱上的振动信号，进行频谱分析，确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。

再例如，在螺旋浆设计中，可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。

图2-4-6频谱分析的应用

1.2.3随机信号的表述

1.随机过程的概念及分类

随机信号是工程中经常遇到的一种信号，其特点为：

1）时间函数不能用精确的数学关系式来描述；

2）不能预测它未来任何时刻的准确值；

3）对这种信号的每次观测结果都不同，但大量地重复试验可以看到它具有统计规律性，因而可用概率统计方法来描述和研究。

（了解更多>>）

产生随机信号的物理现象称为随机现象。

表示随机信号的单个时间历程

称为样本函效，某随机现象可能产生的全部样本函数的集合

（也称总体）称为随机过程。

随机过程

随机过程在任何时刻

的各统计特性采用总体平均方法来描述。

所谓总体平均就是将全部样本函数在某时刻之值

相加后再除以样本函数的个数。

即

（1.26）

随机过程在

和

两不同时刻的相关性可用相关函数表示为

（1.27）

随机过程可分为非平稳随机过程和平稳随机过程两类。

平稳随机过程又分为各态历经（又叫遍历性）和非各态历经两类。

若

的所有统计平均特性和其样函数所有相应的时间平均特性以概率为一相等,则称

为严遍历过程或窄义遍历过程.本章仅限于研究宽遍历过程.如果不加特别说明,遍历过程即指宽遍历过程.不难看出,遍历过程必定是平稳过程,但平稳过程不一定是遍历过程。

各态历经过程是平稳随机过程中最为重要的一类。

如果平稳随机过程中集合的平均值可以由样本的时间平均值来代替，也就是说，其中任意一条样本曲线基本上包含了该随机过程所具有的所有统计特性，这时就说它是个态历历经过程。

2.随机过程的主要统计参数

通常用于描述各态历经随机信号的主要统计参数有：

均值

均方值

均方根值

方差

标准差

概率密度函数

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