北师大版七年级数学上册学习笔记Word文档下载推荐.docx
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解法3 按有无顶点划分：
（2）、（6）是一类，它们无顶点，
（1）（3）（4）（5）（6）是一类，它们都有顶点．
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 把图形问题中的多边形与探索规律综合，可提高学生分析问题、解决问题的能力．
【例3】 从一个六边形的一个顶点出发，分别连结其余各顶点，可以把这个六边形分割成多少个三角形？
如果是十边形呢？
是二十边形呢？
是n边形呢？
解析 先从简单的四边形、五边形入手．四边形从一个顶点出发能连结1条对角线（这一顶点与它本身和相邻的两个顶点都不能连对角线），通过观察，分割成的三角形数比边数少2．
解 六边形可分割成4个三角形．
十边形可分割成8个三角形．
二十边形可分割成18个三角形．
n边形可分割成n－2个三角形．
2 展开与折叠
Ⅰ 学法导引
重视课前的模型准备工作，如把一个长方体药盒展开，就轻松知道怎样剪纸才能折成长方体（正方体），遇到问题时，先判断，再通过动手操作，验证判断的结果是否正确，如平面图形通过折叠能否围成规定的几何体，几何体沿某些棱剪开能否展成规定的平面图形，多与同学交流．
解析重点 1．棱柱、圆柱、圆锥的展开图．
棱柱的展开图由两个相同的多边形（形状、大小均相同）和一个长方形（由多个长方形）组成，两个多边形边数与组成长方形的小长方形个数相同，且两个多边形在长方形两侧；
圆柱展开图由两个圆（大小一样）和一个长方形组成，且两个圆在长方形两侧，不能在同一侧；
圆锥展开图由一个扇形和一个圆组成，且圆与扇形的弧相连．
【例1】 哪个几何体的表面能展开成图1－2－1中的图形？
请把名称填在横线上．
解析 第一个展开图中有两个圆和一个长方形，且两个圆在长方形两侧，∴ 它为圆柱；
第二个展开图是一个扇形和一个圆，∴ 它为圆锥；
第三个展开图大长方形由六个小长方形组成，且大长方形两侧各有一个六边形，∴ 它为六棱柱；
第四个展开图中有两个形状相同的三角形，且有三个长方形，∴ 它为三棱柱．
解 圆柱、圆锥、六棱柱、三棱柱
2．经历正方体的展开与折叠活动，画出正方体表面展开后的一个图形．
【例2】 请画出正方体展开后的一个图形．
解
点拨 由一个图中，适当的移动一些正方形即可得到．
剖析难点 能根据展开图判断原几何体、制作立体模型．
【例3】 如图1－2－6，哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？
先想一想，再折一折．
解析 ①底面是四边形，侧面有3个，显然与三棱柱，四棱柱的特点都不符，故①不能围成棱柱．③的两个底面在侧面同侧，折叠面不能围成棱柱．②④动手折叠后可以围成长方体．
解 ②④经过折叠可以围成棱柱．
点击易错点 根据展开图判断立体模型或由立体模型得到展开图是容易错的地方，动手操作一下，就可以避免错误．
【例4】 将图1－2－7中左边的图形
（1）折叠起来，围成一个正方体，应该得到右图
（2）中的 （ ）
错解 C
错解分析 由平面展开图可知，“●”所在的正方形和“○”所在的正方形是相对的两个面，故排除A、B，但由于对正方体和它的展开图面与面的对应关系掌握得不够好，故错选为C．
正解 D
［想一想］ 如图1－2－8，在正方体两个相距最远的顶点处有一只苍蝇B和一只蜘蛛A，蜘蛛可从哪条最短的路径爬到苍蝇处？
试说明你的理由．
解析 本题的解答借助了正方体的展开图找到了解决问题的途径．由于作展开图有各种不同的方法，因而从A到B可用6种不同的方法选取最短的路径，但每条路径都通过连结正方体2个顶点的棱的中点．
解 因为蜘蛛只能在正方体的表面爬行，所以只要找出这个正方体的展开图，应用“两点之间，线段最短”的常识就可确定最短路径．如图1－2－9．
综合能力升级 正方体的平面展开图与语文知识中的反义词结合，可提高学生的学习兴趣，培养学生的动手能力、空间想像力．
【例5】 如图1－2－10，在正方体的平面展开图中的正方形内填上适当的字，使之与相对的面的字具有相反意义．
解析 根据正方体的平面展开图，想像一下，“上”做前面则“东”做左面，“北”做上面，相对的面随之确定，然后动手操作进行验证．
解 如图1－2－11．
创新能力升级 动手操作，从第1、2次实验中试着找出答案，再多次进行实验验证找到的答案是否正确，能否成为规律，从中体会创造的快乐，提高创新能力．
【例6】 要将一正方体模型展成平面图形，需要剪断多少棱？
你的结论可以作为一条规律来用吗？
解析 动手操作一下，不管怎么剪，总是需要7刀才能把正方体展成平面图形，少一刀也不行．也只能剪7刀，多剪一刀就会有一个正方形被剪下．
解 需剪断7条棱．因为正方体有六个面，两个面有1条棱相连，六个面就有5条棱相连，所以剪断7条，规律是正方体的平面展开图只能有5条棱相连；
反之有5条棱连接的6个正方形图形，不一定是正方体的平面展开图．
_3 截一个几何体
截面是几何体被平面所截得到的一个平面图形（像球一样的西瓜被刀切，切出的两个圆就是截面），注意先想一想截面图形形状及图形名称，再动手操作，验证想像的结果是否正确．
Ⅱ 思维整合
解析重点 经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化．
【例1】 如图1-3-1，观察下列图中各个图形，回答符合下列条件的截面形状．
（1）截面与上、下底面平行；
（2）截面与上、下底面不平行，且不过底面．
解析 一定要亲自动手操作后再下结论
解
（1）①圆，②正方形，③圆，④三角形；
（2）①椭圆，②长方形，③椭圆，④三角形．
剖析难点 在活动过程中，正确判断和切截截面．
【例2】 用平面去截一个几何体，截面是三角形，则原几何体是什么？
错解 原几何体可能是正方体，长方体，三棱锥，三棱柱，圆柱，圆锥．
错解分析 圆柱不能截出三角形，从底面与侧面的交线上一点往下切，所得截面看似一个三角形，其实不是．两边为弧线而不是直线．棱柱中不只是三棱柱能截出三角形，所有的棱柱都能截出三角形．因为棱柱的每个顶点是三个面的交点．棱锥也是如此，所有的棱锥都能截出三角形．
正解 原几何体可能是正方体，长方体，棱锥，棱柱，圆锥．
［想一想］ 用平面去截一个几何体，如果截面是正方形，你能想像出原来的几何体可能是什么吗？
如果截面是圆呢？
解析 符合题意的答案有多种可能情形．
解 正方体，长方体等几何体可截出的截面是正方形；
圆柱，圆锥等几何体可截出截面为圆．
综合能力升级 截一个几何体与圆的有关计算综合，通过想像用一个平面截圆锥的过程．结合题中问题，找到解决问题的方法，提高学生分析问题的能力．
解析 先通过想像，截面是与底面平行的一个圆．根据面积计算出半径为2cm，底面直径至少为4cm，则高至少为4cm．
∴ 底面直径至少为4cm，高至少为4cm．
应用能力升级 数学来源于生活，又反过来应用于生活．把截面知识运用于最普通的日常活动——做饭上，既学到了知识，又培养了学生爱劳动的习惯．
【例4】 到菜市场买一块长方体形状的豆腐，你能只用三刀将其切成八块吗？
试试看．
解 能．将豆腐块放在菜板上，用刀从上往下交叉切两刀，得到四块豆腐，再从侧面横着从右往左切过去，原来的四块豆腐就变成了八块．
4 从不同方向看
自己动手搭建几何体，观察你所搭建的几何体，体会从不同方向看到不同的结果，从而画出简单组合体的主视图、左视图和俯视图．
解析重点 画出简单组合体（立方体）的三视图．
【例1】 画出如图1－4－1
（1）所示几何体的主视图、左视图和俯视图．
解析
（1）主视图有3列，每列方块的个数是2、1、1；
（2）左视图有2列，每列方块的个数是2、1；
（3）俯视图有3列，每列方块的个数是1、1、2．
解 几何体的主视图、左视图和俯视图如下所示：
剖析难点 根据俯视图中每个位置的小立方块的个数，画出另外两种视图，并能清晰地向同伴表达自己的思维过程．
【例2】 图1－4－2是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中间的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图、左视图．
解析 本题可先用小立方体摆一下，再画图．也可根据所示数字确定主视图、左视图有几列，每列有几块来确定．本题主视图有3列，每列方块数为2、1、2；
左视图有3列，每列方块数为1、2、1．
解 如图1－4－3，这个几何体的主视图、左视图为：
点拨 这类题型一定要注意每列、每层的最大数字，这是答对题的关键．
点击易错点 三视图均为从某一方向所看到的平面图，当用小立方块搭建成几何体后，由于要把看到的某侧的一个面都画出来，常有遗漏一小块或多出一小块的现象．
综合能力升级 无论是正方体、长方体，还是其他立方体图形，都可以从不同方向看，得到不同结果，空间想像力、综合判断力是解决这些问题的思维基础．
【例3】 有一个正方体，在它的各个面上分别标上字母A、B、C、D、E、F，甲、乙、丙三位同学从不同的方向去观察此正方体，观察结果如图1－4－5所示．问这个正方体各个面上的字母对面各是什么字母？
解析 由图
（1）知A的相邻面为D、F，由图
（2）知A的相邻面为B、C．因此A的对面为E；
由图
（2）、图（3）知C与A、B、D、E相邻．∴ C的对面为F，D的对面为B．
解 A的对面为E，C的对面为F，D的对面为B．
应用能力升级 数学来源于生活，又反过来服务于生产生活，应用三视图、发挥空间想像力解决实际问题．
【例4】 在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，在搬运这些箱子之前，需要仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：
将这堆货物的三种视图画了出来，你能根据三视图（如图1－4－6），帮他清点一下箱子的数量吗？
解析 一种方法是先摆一下，数出总数，另一种方法根据左视图和主视图可在俯视图中每一个小正方形处标出货箱个数，如图1－4－7．
解 一共有8个箱子．
_5 生活中的平面图形
在具体的情境中认识最常见的而有规则的平面图形，如多边形的扇形，并正确区分生活中的平面图形和立体图形，多与生活实际联系，在丰富的活动中发挥有条理的思考．
解析重点 经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩．
【例１】 同学们，你渴望成为一名共青团员吗？
让我们先来认识中国共产主义青年团团旗吧！
如图1－5－1是一面团旗，你能找出哪些熟悉的图形．
解 可以找到长方形、圆、三角形、五角星．
剖析难点 在丰富的活动中，发展有条理的思考．
【例2】
（1）从四边形的一个顶点出发，分别与不相邻的顶点相连，可以把五边形分割成几个三角形？
（2）如果从五边形的一个顶点出发，分别与不相邻的顶点相连，可以把五边形分割成几个三角形？
（3）如果是六边形呢？
请你推出是n边形（n≥3），可以把n边形分割成多少个三角形．
解析 本题首先要根据题意作图1—5—2，然后再寻找规律．
由图可知：
四边形,2个三角形;
每个多边形可分割成比它边数2个的三角形.
四边形,3个三角形;
四边形,4个三角形;
由此可知n边形被分割成了（n－2）个三角形．
解
（1）把四边形分割成了2个三角形；
（2）把五边形分割成了3个三角形；
（3）把六边形分割成了4个三角形；
把n边形分成了（n－2）个三角形．
点击易错点 在归纳、总结规律时，思考缺乏条理性，导致结果错误．
【例3】 在一个圆中任意画四条半径，可以把这个圆分成____个扇形．
错解 4
正解 12
____第二章 有理数及其运算
1 数怎么不够用了
学习时首先理解正数、负数产生的意义，通过实际生活中的问题，准确把握正数与负数的实质是规定其中一个为正，那么另一个具有相反意义的量为负；
同时准确理解有理数的概念及分类标准，分类标准不同，分类结果也不同，注意分类结果应做到不重不漏．
解析重点 1．正数与负数的应用．
正数、负数通常表示具有相反意义的量，如运进3吨，记作＋3吨，那么运出5吨记作－5吨，若正数表示具有某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量．
【例1】 某人原地不动记作0m，－9m表示某人向北走9m，那么＋4m表示什么？
解析 “向北”与“向南”是一对具有相反意义的量，向北记作负，则向南记作正．
解 ＋4m表示某人向南走4m．
点拨 习惯上，人们经常把零上的温度、上升的高度、收入的钱数、向南的行程等定为正的，用正数表示；
而把零下的温度、下降的高度、支出的钱数、向北的行程等与前面意义相反的量规定为负的．
2．有理数的分类
解析 首先明确各集合的意义，正数集合包括所有的正整数、正分数；
非负整数集合包括所有的正整数和0；
整数集合包括所有的正整数、负整数和0；
负分数集合包括所有的负分数（包括负小数，因任意有限小数和无限循环小数都可转化为分数）
点拨
（1）正与整的区别，正数是相对负数而言的，而整数是相对于分数而言的；
（2）任意有限小数和无限循环小数都可转化为分数，因此－2.5，3.14等都是分数．
剖析难点 对负号的相反意义的理解：
这个相反是针对原意而言的，而正负表示的意义是人为的规定．
【例3】 若将低于海平面11022米的太平洋最深处记作：
－11022米，则高出海平面8848米的珠穆朗玛峰应记作多少米？
解析 此题中低于海平面与高出海平面两个的意义相反，当低于海平面11022米记为米时，高出海平面8848米就应记作＋8848米．
解 记作＋8848米．
点击易错点 分不清零是不是正数，是不是整数．
错解分析
（1）把不含“－”号的都当成正数；
（2）把“整”与“正”混淆，正是相对负而言，整数是相对分数而言（小数和分数可以互化）．
［想一想］
（1）上述数中，有奇数和偶数吗？
各是哪些数？
（2）上述数中，有既是整数也是负数的数吗？
有既是正数也是偶数的数吗？
（3）按数的正负性质，你能将有理数怎样分类？
解
（1）奇数有：
5，－17；
偶数有：
－2，0，102；
（2）既是整数也是负数的数即负整数：
－2，－17，即是正数也是偶数的数即正偶数：
102；
综合能力升级 “大于0”是正数的本质特征，对于用字母表示的数，不能看表面是否有负号，－a是正数还是负数，取决于a是什么数．
【例5】 字母a可以表示数，如果数a表示正数，那么－a表示什么数？
如果a表示负数，那么－a表示什么数？
字母a除了可以表示正数和负数外，还可以表示哪些有理数？
解析 意义完全相反的量，分别用正数和负数来表示，当数a表示正数时，－a表示负数，a表示负数时，－a表示正数；
对于正数和负数的概念不能简单地理解为：
带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数．
解 如果a表示正数，那么－a表示负数；
如果a表示负数，那么－a表示正数，字母a除了表示正数和负数外，还可以表示0．
应用能力升级 正、负数的表示常应用于实际问题中，如：
比赛中的得分、失分，足球守门员的折返跑，出租车在一条笔直的公路上往返运营等．
【例6】 七年级举行足球比赛，规则为：
胜一场得3分，平一场得0分，负一场得－2分，比赛结果七（3）班2胜1平3负，问七（3）班得多少分？
解 七（3）班胜2场得6分，平一场得0分，负3场得－6分，故七（3）班共得0分．
点拨 要分别算出平1场、胜2场、负3场的得分，求总分．
创新能力升级 对于某个问题，善于从多角度、多方面思考，寻找解题的不同方法，培养创新意识．
【例7】 课桌的高度比标准高度高2毫米记作＋2毫米，那么比标准高度低3毫米记作什么？
现在有5张课桌，量得它们的尺寸比标准尺寸长＋1毫米，－1毫米，0毫米，＋3毫米，－1.5毫米，若规定课桌的高度比标准高度最高不能超过2毫米，最低不能少于2毫米就算合格．问上述5张课桌中有几张合格？
解析 用正、负数表示两种相反意义的量，把比标准高度高记为正，则比标准高度低应记为负；
规定课桌的高度比标准高度最高不能超过2毫米，最低不能少于2毫米，就算合格，也就是量得尺寸比标准尺寸高、低在＋2毫米与－2毫米之间算合格，知＋1毫米、－1毫米、0毫米、－1.5毫米的均为合格．也可画图找到答案．
解 －3毫米，4张．
2 数 轴
类比温度计认识数轴，数轴上的点可以表示有理数，知道数轴的正方向是规定的不能改变的，而单位长度、原点的选定是根据需要选定的．利用数轴，把数和形结合起来，学习新知识．
解析重点 1．数轴的定义．
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴，规定向右的方向为正，单位长度据实际情况可长可短，但同一数轴的单位长度不变，数轴上的点表示有理数，原点表示０，原点右边的点表示正数，左边的点表示负数．
【例1】 如图2－2－1中，表示数轴的是 （ ）
解析 因为A中的单位长度不统一，应排除；
B中负方向的单位长度的刻度应从原点向左依次排列为－1，－2，－3，…，而不是向右排，所以应排除B；
D中没有确定正方向，所以不是数轴，C是正确数轴．
解 C
解析 相反数的几何意义：
在数轴上原点的两旁，离原点距离相等的两个点所表示的数．相反数的代数意义：
只有符号不同的两个数，其中一个数是另一个数的相反数，特别地，0的相反数是0．“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同以外完全相同，不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数．例如－2和＋3符号不同，但它们不互为相反数．
点拨 （4）中的a＋2的相反数必须加括号即－（a＋2），（5）中的2a是一整体．
剖析难点 比较两个负数的大小，把两个负数在数轴上的对应点找出来，然后依据“数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大”判断．
【例3】 比较下列每组数的大小：
（1）－10与－7；
（2）－2.5与－3．
解
（1）如图2－2－2所示，在数轴上－10对应的点在－7对应的点的左侧．
所以，－10＜－7；
（2）如图2—2—3所示，数轴上－2.5对应的点在－3对应的点的右侧．
所以－2.5＞－3．
点击易错点 弄不明白相反数的代数意义．
【例4】 填空：
a－b的相反数是________．
错解 －a－b
错解分析 没有弄明白相反数的代数意义，应把a－b看成一个整体．
正解 －（a－b）
［想一想］ 化简下列各数的符号，得到一个什么样的数？
（1）－（－5）；
（2）＋［－（＋2）］．
解析－（－5）表示－5的相反数即＋5，因此－（－5）＝＋5．
－（＋2）表示＋2的相反数－2，＋［－（＋2）］表示－（＋2）本身，
即－2本身，因此＋［－（＋2）］＝－2．
解
（1）－（－5）＝5；
（2）＋［－（＋2）］＝－2．
综合能力升级 本节学习的有关内容都是数形结合的基础，常见的是数轴、相反数、有理数大小比较的综合运用．
解析
（1）首先画出数轴（按三要素），第二步把这些数轴上对应的点找出来，找时从原点出发，负数在左边，正数在右边．
（2）把所有的数（包括0，在原点）标出后，根据这些数在数轴上点的位置顺序（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）大小关系一目了然，只需要用“＞”连接起来即可．
应用能力升级 应用数轴上右边的数总比左边的数大，解决点的移动问题．
【例6】 在数轴上，点A到原点的距离为2，把点A向右移动3个单位后为点B.则点B表示的数是多少？
解析 在数轴点A到原点的距离为2，这样的点有2个一个在原点左侧，另一个在原点右侧，所以A为2或－2，当把A向右移动3个单位后，点B表示的数也有两个，当A为2时B为5；
当A为－2时B为1．
解 B为5或1．
点拨 要考虑到数轴上的点表示的数向右移即增大．
创新能力升级 具有实际意义的量也可看作数轴上的点，常见的有小虫沿直线来回爬，消防队员沿云梯上下移动，还有同学们喜爱的拔河比赛等都可以看作数轴上的点的移动．
【例7】 工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？
如果工作台由5个改为6个，那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短？
解析 把流水线看作数轴，工作台、工具箱看作数轴上的点，这样就找到解决本题的模式——数轴．
解 C台，C、D两台之间．
_3 绝对值
利用数轴，并把有理数与数轴结合，理解绝对值的概念，一个数的绝对值不可能是负数，利用求绝对值的方法比较两个负有理数的大小，方法更简单．在今后的学习中，有理数的运算，二次根式等内容都是以绝对值的知识为基础，因此，一定要学好本节内容．
解析重点 绝对值的概念．几何意义：
一个数的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作｜a｜，代数意义：
一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0式子表示为
【例2】
（1）当｜x－3｜＝x－3时，求x的取值范围；
（2）当｜x－3｜＝3－x时，求x的取值范围．
解析 任意有理数的绝对值都是非负
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