微分几何Word文档格式.docx

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周学时4，总学时72

5．学分分配：

4学分

（二）开设目的

微分几何是一门历史悠久的学科，它对数学中其它分支的影响越来越深刻，对自然科学中其它学科的影响范围也越来越扩大，例如在机械工程、力学、引力理论及理论物理等其它领域都有广泛应用。

微分几何课的目的是使学生学好作为数学基础的微分几何课，提高学生在几何方面的理论水平和综合应用能力，为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；

另一方面，通过本课程的学习，提高学生的数学素养，扩大学生的数学知识面。

（三）基本要求

掌握经典微分几何中曲线论与曲面论的基本知识，培养直观能力，以及应用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，深刻理解微分几何研究中所涉及的各种数学思想，充分体会对于一种数学对象从多种不同角度去认识、去理解、去研究的意义与价值。

（四）主要内容

三维欧氏空间中经典的曲线和曲面的几何理论和曲面的内蕴几何学。

（五）先修课程

数学分析、空间解析几何

（六）后继课程

微分流形，黎曼几何等有关研究生课程等

（七）考核方式

闭卷考试

（八）使用教材

梅向明,黄敬之编：

《微分几何》，北京：

高等教育出版社，2003年第三版.

（九）参考书目

（1）彭家贵,陈卿编《微分几何》，北京：

高等教育出版社，2002年.

（2）苏步青等编《微分几何》，北京：

高等教育出版社，1980年.

（3）ManfredoP.doCarmo著,田畴,忻元龙,姜国英,彭家贵,潘养廉译,胡和生,姜国英校《曲线与曲面的微分几何》，北京：

机械工业出版社，2005年第1版.

（4）WilhelmKlingenberg编DavidHoffman译《ACourseinDifferentialGeometry》，北京：

世界图书出版公司，2001年.

（5）陈维桓编《微分几何》，北京：

北京大学出版社，2006年.

二、教学内容

第一章向量函数

教学目的

引入向量函数的定义，并使学生掌握向量分析的有关概念，为曲线论和曲面论的展开打下基础。

主要内容

第一节向量函数的极限

第二节向量函数的连续性

第三节向量函数的微商

第四节向量函数的泰勒（Taylor）公式

第五节向量函数的积分

教学要求

掌握：

向量函数的极限、连续、微分及积分的概念；

向量函数的微积分运算；

向量函数具有固定长的充要条件。

第二章曲线的概念

引入参数曲线，切向量，切线，正则参数曲线，参数变换的有关概念，使学生掌握正则曲线能选取弧长作为参数，体会参数是弧长参数的便利。

第一节曲线的概念

第二节光滑曲线曲线的正常点

第三节曲线的切线和法面

第四节曲线的弧长自然参数

了解：

切线、法面的几何意义。

曲线的基本概念；

切线和法面的求法；

曲线弧长的计算；

自然参数的引进。

第三章空间曲线

具体了解刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量，以及找出决定空间曲线在一点邻近形状的的条件。

第一节空间曲线的密切平面

第二节空间曲线的基本三棱形

第三节空间曲线的曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式

第四节空间曲线在一点邻近的结构

第五节空间曲线论的基本定理

第六节一般螺线

理解：

空间曲线论的基本定理。

曲线的密切面、基本三棱形、曲率、挠率等概念及其求法；

Frenet公式的用法；

曲线在一点邻近的结构。

第四章曲面的概念

引入正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法线，单位法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。

第一节简单曲面及其参数表示

第二节光滑曲面曲面的切平面和法线

第三节曲面上的曲线族和曲线网

简单曲面的参数表示；

简单曲面及其上面曲线族（网）的特征；

曲面的法线、切面的求法。

第五章曲面的第一基本形式

理解曲面各种不同的描述形式，充分体会曲面的第一基本形式是刻画曲面的内蕴性质的。

第一节曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长

第二节曲面上两方向的交角

第三节正交曲线族和正交轨线

第四节曲面域的面积

第五节等距变换

第六节保角变换

第一基本形式的几何意义。

曲面的第一基本形式的，曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角、曲面域面积的计算；

等距（角）变换。

第六章曲面的第二基本形式

使学生具体了解第二基本形式的在研究曲面在空间中的弯曲性时所发挥的作用。

第一节曲面的第二基本形式

第二节曲面上曲线的曲率

第三节杜邦（Dupin）指标线

第四节曲面的渐进方向和共轭方向

第五节曲面的主方向和曲率线

第六节曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率

第七节曲面在一点邻近的结构

第八节高斯曲率的几何意义

领会：

理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义。

曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念及它们的相关运算。

第七章直纹面和可展曲面

使学生进一步了解曲线论和曲面论内容和思想，与其于实际问题中的灵活应用。

第一节直纹面

第二节可展曲面

包络线（面）的求法。

直纹面和可展曲面的判定定理。

直纹面和可展曲面的定义与基本特征。

第八章曲面论的基本定理

理解曲面论唯一性定理，从而了解曲面第一基本形式和第二基本形式的重要性。

第一节曲面的基本方程和克里斯托费尔（Christoffel）符号

第二节曲面的黎曼（Riemann）曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳洱迪（Gauss-Codazzi

-Mainardi）公式

第三节曲面论的基本定理

理解曲面论基本定理的内容及相关概念。

第九章曲面上的测地线

理解测地线的几何意义，重要性及其内在性质。

第一节曲面上曲线的测地曲率

第二节曲面上的测地线

第三节曲面上的半测地坐标网

第四节曲面上测地线的短程性

第五节高斯-波涅（Gauss-Bonnet）公式

第六节曲面上向量的平行移动

基本要求

测地曲率和测地线、半测地坐标网的定义及其几何意义。

Gauss-Bonnet公式及曲面上向量的平行移动，极小曲面的特征等。

第十章常高斯曲率的曲面

了解常高斯曲率的曲面的特点

第一节常高斯曲率的曲面

第二节伪球面

第三节罗氏几何

罗氏几何学的思想。

掌握常Gauss曲率曲面的求法。

注：

根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。

三、课时分配及其它

（一）课时分配

课程总教学时数为72学时，每周4学时，上课18周。

具体分配如下：

第一章向量函数4学时

第二章曲线的概念4学时

第三章空间曲线12学时

第四章曲面的概念4学时

第五章曲面的第一基本形式8学时

第六章曲面的第二基本形式12学时

第七章直纹面和可展曲面6学时

第八章曲面论的基本定理8学时

第九章曲面上的测地线10学时

第十章常高斯曲率的曲面4学时

如果总课时数少于70，可以只讲授第一至第八章。

（二）考核要求

1.成绩评价

平时成绩（含考勤、作业与测验）占30%，期末（卷面）成绩占70%。

2．命题说明

题型应多样化，设计适当的开放性问题。

基本题（主要考查学生对微分几何基本概念、理论与方法的一般理解）、计算题（主要考查学生对微分几何基本方法的具体、灵活应用）、证明题（主要考查学生对微分几何基本理论、基本方法的综合运用能力）各占约1/3。

难易比例控制在15％难、50％适中、35％易之间。

涉及教材章的100％，节的85％，知识点的70％左右。

试卷末设置难度系数在0.7～0.9、分值为30分的附加题，目的在于筛选基础知识扎实、探索精神强烈、创新意识浓厚的同学。

试卷采用A、B卷。

200×

-200×

学年第×

学期期末考试Ａ卷

课程微分几何年级姓名成绩

一、判断题（每小题2分，共6分）

（）1.曲面上抛物点对应的杜邦指标线是一条抛物线。

（）2.曲面上的曲纹坐标网为渐进网的充要条件为

。

（）3.一个曲面为可展曲面的充要条件为单参数曲面族的包络。

二、填空题（每空2分，共20分）

1.向量函数

具有固定方向的充要条件是。

2.曲面上圆点的第一、第二类基本量满足关系。

3.曲面上一条曲线的曲率

、法曲率

、测地曲率

的关系是。

4.可展曲面只有柱面、、某一曲线的切线曲面三种。

5.曲线

在

之间的弧长为。

三、问答题：

（每小题4分，共8分）

1.设两条曲线的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应点的主法线总是互相平行，试问它们在对应点的切线有什么关系?

说明理由。

四、计算题（三题任选二题，每题15分，共30分）

1.计算悬链面

的第一、第二类基本量。

五、证明题（四题任选三题，每题12分，共36分）

附加题以综合性证明题为主，试题采用阶梯式，难度由浅入深。

写明各学期教学总时数及各周学时数。