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出价②/百万美元
价格/人口
纽约
26.4
无线公司
Alaacr公司
442.7
16.76
旧金山
11.9
PacTel公司
AmerPort公司
202.7
17.00
查罗特
9.8
BellSouth公司
CCI公司
70.9
7.27
达拉斯
9.7
88.4
9.12
休斯顿
5.2
普赖姆公司
82.7
15.93
新奥尔良
4.9
Powertel公司
89.5
18.17
路易斯维尔
3.6
46.6
13.10
盐湖城
2.6
GTE公司
46.2
17.95
杰克逊维尔
2.3
44.5
19.56
1单位为百万，取自1990年人口普查。
2支付30MHzB段波段权的价格，1995年3月。
资料来源：
P.Cramton,“TheFCCSpectrumAuctions,”JournalofEconomicsandmanagement
Strategy,6（3）,Fall1997,pp.431-496.
案例2（中国广州国际大厦2002年1月30日拍卖）
“63层”起拍价略有下调
几十家“准买家”均是境内外大企业
广东国际大厦（“63层”）将于明天上午再次拍卖。
昨天，联合拍卖“63层”的四家拍卖行紧急开会，就拍卖事宜进行最后商讨。
至此，“63层”拍卖的几个关键问题都有了眉目。
“63层”在去年12月18日首度拍卖时，起拍价为16亿元人民币，但无一竞买者应价。
竞买者之一、香港大地公司甚至公开表示该起拍价高得难以接受。
明天“63层”将再次拍卖，起拍价降不降是最热门的话题。
从昨天拍卖行联席会议上传来的确切消息称：
起拍价将略有下调。
有关负责人解释说，第一次拍卖不成交的标的物，在第二次拍卖时下调起拍价是业内惯例，这么做也是为了增加“63层”的成交机会。
但他同时强调，起拍价不可能降太多，绝不可能贱卖。
据透露，此次拍卖的竞买阶梯高达500至1000万元人民币，即竞买者每举一次牌，最少要比前一个人的叫价高出500至1000万元人民币，这在国内的拍卖中是相当高的。
截至目前，前来查看“63层”的准买家已有几十家，都是来自境内外的大企业。
按照拍卖公告，“63层”的竞买者应在今天下午5时前缴付拍卖保证金人民币5000万元。
到昨晚为止，5000万元保证金一笔也还没有到账。
据悉，“63层”首次拍卖时，四家竞买者都没有交纳1亿元的拍卖保证金，全部是由广州市商业银行提供担保。
据拍卖行透露，目前的准买家也会委托举牌代表来竞拍“63层”，真正的买家恐怕一个也不会露面。
这则报道见自于《北京晚报》2002年1月29日第12版，它包含了5条关键信息：
（1）该拍卖是按英国式的自下而上标价程序进行的；
起拍价太高，会产生流标，即拍卖不成交。
（2）竞价阶梯是500万至1000万元人民币。
（3）竞买者应为标的物先付拍卖保证金5000万元，但事实上，没有一笔保证金到账；
（4）拍卖方有4家拍卖行构成，说明拍卖中的出卖方可以是一个集团；
（5）竞标采用“喊价”（口头）方式，但到现场的竞标人可以不是真正的竞标者，而是委托举牌者，由他们来竞拍。
这会产生标的物可能被“神秘”人士买下的结果。
从上述两个案例中可以看出，拍卖会涉及到拍卖规则与拍卖环境。
下面，我们来介绍这两个概念。
2．拍卖规则
拍卖规则应当指明：
谁可以参加竞拍？
什么样的出标可以被接受？
应该以什么样的方式竞标（密封递交还是口头公开表达？
）？
在拍卖过程中，什么信息是公开的？
当拍卖结束时，如何决定胜者？
赢者对标的物支付什么价格？
3．拍卖环境
拍卖环境不同于拍卖规则。
拍卖环境由下列要素组成：
潜在的竞标者的人口组成结构；
潜在的竞标者们对于标的物的价值评估；
潜在的竞价者对于风险的态度；
潜在的竞价者们所拥有的对于其竞标对手关于标的物的评估以及风险态度的信息。
4．拍卖分类
拍卖按对竞标者的资格限定可分为开放的与封闭的这两种类型。
如果任何人都可以参加竞标，则拍卖便是开放的；
如果竞标者必须由卖者的邀请或批准方可参加竞标，则拍卖就是封闭的。
一般说来，艺术品的拍卖与金融资产的拍卖，都是封闭的。
比如，路权或某种执照的拍卖，卖方就要求潜在的竞标者（准竞标人）先付一笔不能偿还的费（门票），或汇入一笔保证金。
卖方往往会对标的物持有一种“保留价格”——即若竞标人的出价达不到该价格水平就不会接受竞价，这就会出现“流标”或交易失败。
但是，“保留价格”的存在可以使卖方防御竞标者之间的勾结——即所谓的“竞标操纵”（biddingrings）。
拍卖按出价方式不同又可分为“密封拍卖”与“口头拍卖”两类。
密封拍卖是指，竞标者秘密地将自己的出价写下来交给出卖者，只有当拍卖结束并且赢者产生时，才会显示竞标人的出价。
而“口头拍卖”则不同，它是在拍卖过程中由竞价者公开喊出自己的标价，这就使大家可以看见竞标者。
但是，真正的竞标者可以在口头拍卖过程中委托别人代为举牌喊价，这就影响了竞标人的可视性。
拍卖按标价走势方向的不同又可以“上升”、“下降”或“同时”三种。
“上升”式拍卖又称英国式拍卖，即从开拍价起，按事先规定的竞价阶梯一点点上升。
而“下降式拍卖”又称荷兰式拍卖，即从某个高价开拍，竞标一点点往下降直到有竞标人接标为止。
拍卖按赢标人最后支付价的不同还可区分为“最高价拍卖”与“次高价拍卖”。
如果支付价按赢者的竞价支付，这就叫最高价拍卖。
迄今为止，最高价拍卖仍是最通行的。
另一种拍卖叫次高价拍卖，即首先确定标价最高者为胜者，而胜者支付的则是出标价中第二最高价，即支付的是所有败者中出标最高的价格。
次高价拍卖又称“维克雷拍卖”（Vickreyauction），这是由美国经济学家WilliamVickrey于1962年首先发现并证明是讲真话的拍卖机制。
第二节完全信息条件下的拍卖
完全信息是指参与拍卖的竞标者对标的物的价值是公共信息这样一种状态。
我们分三点来介绍这种条件下的拍卖过程与拍卖均衡。
一、密封最高价拍卖的策略型分析
考虑两个竞标人，L与M，他们为某一古董展开竞价。
L愿意最高支付54元，而M则只愿最高支付34元。
设这两个人的支付意愿为公共信息。
如果L赢了标的物，并且L最后的出价是bL，则L的得益（payoff）就为54元-bL，这相当于L的消费者剩余。
如果L输了，则L的得益为零。
同理，若M赢了拍卖，则M的得益为34元-bM；
如M输了，则M的得益为零。
假定拍卖是密封最高价拍卖，而竞价阶梯是10元的倍数，起拍价为10元。
如果L与M的竞价出现平局，则以掷硬币来决定胜负。
显然高于54元的出价对于L来说是严格被占优的；
这正如高于34元的出价对于M来说是严格被占优的一样。
由于这是“同时竞价”，所以可由策略型博弈来加以描述。
下表就给出了这一静态博弈的策略形式：
表1：
密封最高价拍卖的策略型
10元
20元
40元
50元
M
12，22
0，34
0，24
0，14
0，4
14，0
7，17
30元
4，0
2，12
请注意，若bL>
bM，则L以100%的概率胜出，若bL=bM，则两人都以50%的概率胜出。
上表中得益矩阵中的小格都是各人消费者剩余的期望值，如bL=bM=10元，则L的消费者剩余为54元－10元=44元，但由于平局时胜出的概率为50%，所以消费者剩余的期望值为22元。
若bL=20元，而bM=10元，则L以100%的概率胜出，L的消费者剩余的期望值就是54元－20元=34元，等等。
如果运用弱点优迭代法，我们就可以逐次消去那些弱被占优的策略，最后只剩下一个策略组合：
L出价40元，M出价30元。
这便是该博弈唯一的一个均衡。
步骤是：
L先消去50元的竞价策略；
然后M消去10元的竞价策略；
然后L消去10元、20元的竞价策略；
然后M再消去20元的竞价策略；
最后，L消去30元的竞价策略。
只剩下（30元，40元）这一个策略组合，这便是均衡。
当然，竞价阶梯为10元这是任意规定的。
如果竞价阶梯为1元，则最后的均衡就是M出价34元，而L出价35元，L赢下该标的物。
如果竞价阶梯为0.1元，则M出价为34元，而L出价为34.1元。
……如竞价阶梯趋于零，则我们会有下列结果：
拍卖中的胜者必为对标的物估值最高者（L），而赢者的支付价必为输者（M）的评估值（34元）。
二、密封次高价拍卖
按密封次高价拍卖规则，如L出价40元，M出价30元，则L胜出，其支付价为M的出价（相当于30元）。
但这样一来，博弈会有多个均衡结果。
我们将博弈的得益矩阵表述如下：
表2：
密封次高价拍卖的策略型博弈形式
0，44
24，0
这里的得益不同于密封最高价拍卖。
此如，当M出价为20元，而L出价为10元时，M胜出，L输掉，而M的支付价为L的出价（=10元），M的得益就是:
100%×
（34元－10元）=24元，而L的得益为零，只有出现平局时，双方的得益才等同于密封最高价拍卖下的得益。
上表中有多个均衡，比如，（30元，50元）便是一个均衡；
而（30元，40元）同样是一个均衡。
密封次高价拍卖有一个很好的性质，这便是它会使老实标价——竞价人按自己对标的物的真实估价出价。
原因在于：
老实标价在这种拍卖机制下会成为弱占优策略，尽管每个竞标者可以不知道别的竞标者心中对标的物的评价。
当竞价阶梯趋于零时，纳什均衡会导致与密封最高价拍卖一样的结果：
拍卖的胜者一定是对标的物估值最高者（L），而赢者的支付价正是输方（M）对标的物的真实评价（=34元）。
三、英国式拍卖的广延型博弈
（现场价为10元）
现在我们来讨论英国式拍卖，即竞价逐步攀升的拍卖过程。
在每一轮竞价过程中，每个竞价人都会同时决定“接受”或“出局”这两种选择中的一种。
我们假定，一旦竞价者在某一轮竞价过程中出局，他就再也不能返回拍卖博弈。
这样，若两个竞价者竞争一个标的物，当一方出局，而另一方选择接受，则拍卖便告结束，接受方就为胜出者，而按现场接受价支付。
如果两位竞价者都选择“接受”，则拍卖方就将竞价按阶梯上升一个台阶，使拍卖进入下一轮，……。
全部过程如下图所描述：
出局
接受
L
（0,0）
（24,0）
（现场价为20元）
（0,44）
（拍卖继续）
图1：
英式拍卖的广延型博弈图示
在这个动态博弈中，每个竞标者的策略集其实只有两个元素组成：
接受或出局。
但是，决策可以表达为一个无穷系列形式：
（D1，D2，…Dn，…），这里，Dn表示在第n轮拍卖时，竞标人的策略选择，而在第n次拍卖，拍卖价为n·
10元。
如果一个竞标人面临拍卖价为10元、20元、30元时，他都选择“接受”，而一旦拍卖价升至40元时，他便选择“出局”，则该竞标者的决策序列就可表为：
（接受，接受，接受，出局，出局，……）。
按子博弈完善均衡的定义，前面那两个竞标人（L与M）之间的竞价过程会导致一个唯一的子博弈完善均衡：
这便是L赢下标的物，他的支付价等于40元。
若竞价阶梯趋于零，则L的支付价恰好为M对标的物的评价（=34元）。
子博弈完善均衡表可表述如下：
表3：
英式拍卖的子博弈完善均衡
现价
L的策略
M的策略
60元
为什么M的策略为（接受，接受，接受，出局，……）呢？
因为，一旦竞价达到40元，则M就不会有消费者剩余，他一定会放弃竞价。
而L的气就会长久一些。
四、荷兰式拍卖
在荷式拍卖中，拍卖从某一高价位，比如说100元起拍，然后按10元一级的阶梯下跌。
在每一轮拍卖中，拍卖方喊出一个新价，两个竞标者同时亮出接受或放弃的信号。
首先表示接受的竞标人为胜出者，拍卖就到此告终，胜出者支付价便是自己所接受的价格。
这个动态博弈如图2所示：
图2：
荷兰式拍卖的广延型博弈
放弃
（0,-46）
（现价为90元）
（-66,0）
宇宙
M赢
L赢
（－66,0）
（0,－46）
这里，第n轮拍卖中的现价为（11-n）×
而每一个竞价者的决策序列为（D1，D2，…，D10）。
表4给出了荷式拍卖的子博弈完善均衡。
表4：
荷式拍卖的子博弈完善均衡
100元
90元
80元
70元
为什么当拍卖价为50元时，L仍要选择放弃呢？
因为L知道M对标的物的最高价为34元，所以即使拍卖价降至40元，M仍不会买下。
这样，L若选择在竞价等于40元时接受，就可以使消费者剩余等于14元。
为什么L在拍卖价等于40元时必选择接受，而不是到现价再降至30元时才选择接受呢？
因为到价格降至30元时，M也会选择接受，而在这种平局中，是由掷硬币来决出胜负，L胜出的概率只为50%，其消费者剩余的期望值为50%×
（54元－30元）=12元。
L不如在价格等于40元时接受竞价来得合算。
所以，当竞价阶梯为10元时，结果必定是：
L胜出，其支付价为40元。
但是，若竞价阶梯趋近于零，则拍卖的均衡结果一定与前面相同：
标的物一定由对它评价最高的竞价者（L）买下，而赢者的支付价恰好是输者对标的物的评价（为34元）。
以上我们分别介绍了信息完全条件下的四种拍卖方式：
密封最高价拍卖、密封次高价拍卖，英式拍卖与荷式拍卖。
我们发现，结果是相同的，这就是，对标的物评价最高的竞价者必定胜出，他们支付的一定是次高价，即输者中的最高价。
这样，无论按哪种方式来拍卖，在信息完全条件下，拍卖方的收益一定是相同的。
这个结果，叫做“收益等值定理”。
以后我们若研究更高深的拍卖理论，还会发现，即使“信息完全”这个假定不成立，但如果竞价者的评价都是独立决定的，并且竞价人都是风险中立的，则“收益等值定理”仍然成立。
第三节独立私人估值条件下密封拍卖
现在我们来分析竞价者对标的物的估值是独立且私人决定条件下的拍卖结果。
独立私人估值（independentprivatevalues（IPV））是指这样的拍卖环境：
竞价者人数固定，每个竞标者对标的物的价值都有自己的评价，但他只知道自己的评价，而不知道别的竞标者对标的物的评价。
什么是投标人的得益呢？
这取决于拍卖机制。
如果是密封最高价拍卖，设投票人i对标的物的真实评价为Vi，又设他的竞价函数（biddingfunction）为bi（Vi），事后若他胜出，则其事后的得益为：
Vi－bi（Vi）。
若i竞标败了，则得益为零。
如果是密封次高价拍卖，则事后胜出的那个竞标者i的得益为；
Vi－b
（2）。
这里，b
（2）为拍卖的次高价，而一旦在拍卖竞标中败出，则得益为零。
由于Vi是私人独立决定的，Vi便是随机变量，这里就有不确定与风险。
为了讨论的深入，我们假定竞价人都是风险中立的。
因此，他们追求期望效用极大化的目标就等同于追求期望得益的极大化。
有了这一假定，往下我们就会看到，“收益等值定理”仍然会成立。
一、私人独立估值条件下的密封最高价拍卖
我们从一个具体例子开始。
设有一拍卖者要拍卖掉一堆书，有两个竞标人A与B来参与竞标。
规则是密封最高价拍卖，在平局出现时，按掷硬币来决胜负。
设投标人A对标的物（书）的私人评价为VA，又设投标人B对投的物私人评价为VB。
但VA与VB现在都只有A或B本人知道，别人只能猜VA与VB，并且知道VA会均匀分布于[0,1000元]区域内，VB也均匀分布于[0,1000元]区域内。
这可以看作VA与VB均匀分布于[0,1]之间。
设A与B的竞价函数分别为bA（VA）与bB（VB）。
我们要证明，这个密封最高价拍卖的唯一的对称的纯策略纳什均衡是：
这就是说，竞标人的最优出价各为自己对标的物的真实评价V的一半。
如何证明这一点呢？
假定
，我们只需证：
在这一前提下，A的最优反应是
。
在
时，竞标人A出价为b，A的期望收益（记为
）就可写为：
在上式右端，第一项是当A的出价b小于
VB从而败出时的收益（等于零）；
第二项是当A的出价大于
VB从而胜出时的收益；
第三项是平局时A的收益。
但是，由于
是VB在某一点的积分，而由于VB是一个连续随机变量，所以在某一点的定积分必为零，又知上式左端第一项为零，于是，
（1）
由于
=
，但VB在[0，1]上服从均匀分布，所以：
（2）
这要求2b<
1；
若2b≥1，则
必为1。
于是
（3）
ΠA（b）就相应地可以写为
（4）
在（4）式中，如b已经大于
，则竞价人A再提高竞价不会提高获胜概率，例反而会降低（VA－b）这一项。
所以b若已大于
，A不应提高b。
于是我们只考虑b小于
这一区域，于是（4）式便变为（
式）。
（
）
让（
）式对b求一阶导，再令一阶导为零，可以解出
（5）
即：
同理可证：
当
时，则竞价人B的最优标价
综合以上讨论，我们得到下述定理：
定理1：
当竞价者是风险中立时，若竞价者对标的物的评价是独立地私人决定的，那么，在密封最高价拍卖中，竞价必定是严格低于竞价者对标的物的真实评价。
那么，出卖方在密封最高价拍卖中的期望收入为多少呢？
初一看，由于
，
，说明
与
都会在[0，
]上服从均均分布，似乎拍卖方的收益均值应为
其实不然！
VA大于VB时的值VB大于VA时的值
（6）
所以，拍卖方在
的条件下的收入均值为：
（7）
（只要把a=0,b=1代入（6）式即可）。
可见，拍卖方的收入均值不是
元，而应为
元=333元！
二、私人独立估值条件下的密封次高价拍卖
这里有两个重要结论：
第一，在这种拍卖机制下，每个竞价人都会如实表出自己对标的物的真实评价。
为什么？
我们从竞价者B的角度出发来加以论证。
如果B胜出，他最后支付给出卖方的价钱不是其本人出标的钱数，而是其对手A出标的钱数，因这是次高价拍卖。
而A的标价无非有两个可能：
一是bA≥VB,即A的标价大于或等于B对标的物的真实评价。
这时，B的标价若大于bA，即是bB>
bA，则使B胜出，其收益仍为负数，因为他的收益为：
VB－bA<
0；
反而不如老实出标：
bB=VB，结果或为败出（因bA>
VB=bB），得益为零；
或为平局（bA=VB=bA）,得益仍为零。
可见，当bA≥VB时，B老实标价比不老实出标好。
再看bA<
VB这种情形。
这时，若bB<
VB，有可能败出；
但若bB=VB，则稳操胜券，得益为正：
VB－bA>
0。
可见，在bA<
VB时，B老实标价也会优于不老实出标。
B有没有动力使bB>
VB呢？
没有，因VB已经大于bA了，只要bB=VB就稳操胜券了，让自己过分标高价钱，使bB>
VB，并不会使胜率再上升，也不会增加自己的所得，因B的所得在胜出时始终等于VB－bA。
上述论证也完全适用于出标人A。
由此我们可以得下述定理：
定理2：
在私人独立估值条件下，如果竞标者们都是风险中立的，则对每个又竞标人来说，老实出标是一个弱占优策略。
以上便是私人独立估值条件下密封次高价拍卖的第一个重要结论。
第二个结论是关于出卖者的收益期望的，我们要证明：
在私人独立估值条件下，无论是密封最高价拍卖，还是密封次高价拍卖，拍卖方的收益期望值都是相等的，即R=
这便是“收益等值定理”！
证明这个结论需要下列公式：
（8
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