常微分方程地求解与定性分析报告实验报告材料.docx
《常微分方程地求解与定性分析报告实验报告材料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程地求解与定性分析报告实验报告材料.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
常微分方程地求解与定性分析报告实验报告材料
常微分方程的求解与定性分析实验报告
一、实验综述
1、实验目的及要求
●归纳和学习求解常微分方程（组）的基本原理和方法；
●掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；
●熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；
●通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；
●通过该实验的学习，使学生掌握微分方程（组）求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。
这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。
2、实验仪器、设备或软件
电脑、matlab7.0
二、实验过程（实验步骤、记录、数据、分析）
实验内容：
根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）
1．求微分方程的解析解，并画出它们的图形。
y'=y+2x,y（0）=1,0m=dsolve（'Dy=y+2*x','y（0）=1','x'）
ezplot（m,[01]）
m=
3*exp（x）-2*x–2
1．求微分方程的数值解，要求编写求解程序。
functiondy=vdp1000（t,y）
dy=zeros（2,1）;
dy
（1）=y
（2）;
dy
（2）=-y
（1）+0.1*y
（1）^3;
[T,Y]=ode15s（'vdp1000',[010],[00]）;
plot（T,Y（:
1）,'-'）
3．Rossler微分方程组：
当固定参数b=2，c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a∈（0，0.65））而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？
functionr=rossler（t,x）
globala;
globalb;
globalc;
r=[-x
（2）-x（3）;x
（1）+a*x
（2）;b+x（3）*（x
（1）-c）];
globala;
globalb;
globalc;
b=2;
c=4;
t0=[0,200];
fora=0:
0.1:
0.6
[t,x]=ode45（'rossler',t0,[0,0,0]）;
subplot（1,2,1）;
plot（t,x（:
1）,'r',t,x（:
2）,'g',t,x（:
3）,'b'）;
title（'x（红色）,y（绿色）,z（蓝色）随t的变化情况'）;xlabel（'t'）;
subplot（1,2,2）;
plot3（x（:
1）,x（:
2）,x（:
3））
title（'相图'）;xlabel（'x'）;ylabel（'y'）;zlabel（'z'）;
pause
end
结果显示：
a=0:
a=0.1:
a=0.2:
a=0.3:
a=0.4:
a=0.5:
结果分析：
从图像可以看出，当a=0时，微分方程的解（x,y,z）收敛与（0，0.5，0.5）；当a=0.1时，（x,y,z）仍收敛与（0，0.5，0.5），只是收敛速度减慢；当a=0.2时，（x,y,z）已发散，周期性变化；随着a的增大，（x,y,z）接近其极限环的速度加快，空间曲线成混沌状。
4．炮弹发射角的确定
炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为200m/s，若要击中水平距离360m、在垂直距离160m的目标，当忽略空气阻力时，发射角应为多大？
此时炮弹的运行轨迹如何？
要求：
（1）建立在忽略空气阻力情况下的描述炮弹发射轨迹的数学模型；
（2）用Matlab软件求解方程和微分方程；
（3）结合实际对解的合理性进行分析。
进一步思考：
如果要考虑水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1（1/s），结果又如何？
此时炮弹的运行轨迹如何？
解：
（1）忽略空气阻力时，设发射角为a，炮弹的飞行时间为t
水平方向：
Vx=V0*cosa=200*cos（a）
竖直方向：
Vy=V0*sina=200*sin（a）
得到：
x=Vx*t=200*cos（a）*t=360
y=Vy*t-1/2*g*t^2=200*sin（a）*t-1/2*9.8*t^2=160
得到炮弹的路程为Y=360*tan（a）-4.9*（360/200/cos（a））.^2-160
编程为：
functionY=fun2（a）
Y=360*tan（a）-4.9*（360/200/cos（a））.^2-160;
functionY=fun3（a0,a1,n,tol）
a
（1）=a0;
a
（2）=a1;
b=1;
i=2;
while（abs（b）>eps*a（i））
a（i+1）=a（i）-fun2（a（i））*（a（i）-a（i-1））/（fun2（a（i））-fun2（a（i-1）））;
b=a（i+1）-a（i）;
i=i+1;
if（i>n）error（'nisfull'）;
end
end
disp（i-2）;
Y=a（i）;
fun3（0.5,1,100,1e-6）
结果为：
ans=
0.4633
（3）结果合理，符合实际
进一步思考：
建立模型如下：
=-0.1dx/dt
代入初始条件可以得出x=-10*200cosθ*exp（-0.1t）+10*200cosθ
建立myfun6函数如下：
functionY=fun6（a）
Y=200*sin（a）*（-10*log（1-360/2000/cos（a）））-4.9*（（-10*log（1-360/2000/cos（a）））.^2）-160
建立fun7函数如下：
functionY=fun7（a0,a1,n,tol）
a
（1）=a0;
a
（2）=a1;
b=1;
i=2;
while（abs（b）>eps*a（i））
a（i+1）=a（i）-fun6（a（i））*（a（i）-a（i-1））/（fun6（a（i））-fun6（a（i-1）））;
b=a（i+1）-a（i）;
i=i+1;
if（i>n）error（'nisfull'）;
end
end
disp（i-2）;
Y=a（i）;
输入：
>>fun7（0.5,1,100,1e-6）
结果：
ans=
0.4297
三、结论
1、实验结果
编程及实验结果分析如上
2、分析讨论
1 通过此次实验，学习了微分方程求解的方法，并学会了建立微分方程的数学模型，使用求解微分方程的基本指令；
2 实验题目中的第三四道题，综合性较强，需要考虑多方面的程序，感觉较难，通过查找相关例题以及和同学讨论得以解决；
3 微分方程的求解问题较常见，因为许多的微分方程人为解起来较难，而使用matlab可以很轻松得解答。
因此掌握使用matlab求解微分方程很重要，在今后的学习中要多练习，熟练使用matlab软件。
升级会员 