高一数学必修一易错题集锦答案.docx
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高一数学必修一易错题集锦答案
高一数学必修一易错题集锦答案
2
1.已知集合M=y|y=x+1,x€R},N={y|y=x+1,x€R}，贝UMAN=（）
2
解：
M={y|y=x+1,x€R}={y|y>1},N={y|y=x+1,x€R}={y|y€R}.
•••MAN={y|y>1}A{y|（y€R）}={y|y>1},
注：
集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2+1}、y|y=x2
2
+1,x€R}、{（x,y）|y=x+1,x€R}，这三个集合是不同的.
2.已知A={x|x2—3x+2=0},B={x|ax—2=0}且AUB=A求实数a组成的集合C.
解：
•••AUB=A•圧A又A={x|x2—3x+2=0}={1,2}•B#或1或2•C={0,1,2}
3。
已知mA,nB,且集合A=x|x2a,aZ,B=x|x2a1,aZ，又C=x|x4a1,aZ，则有：
m+n（填A,B,C中的一个）
解：
TmA,•••设m=2a1,a1Z,又tnB,•n=2a2+1,a2Z,
•n+n=2（a1+a2）+1,而a1+a2Z,•n+nB。
4已知集合A={x|x2—3x—10W0},集合B={x|p+1的取值范围.
解：
①当BM*时，即p+K2p—1='p》2.由吐A得：
一2②当B==时，即p+1>2p—1=pv2.
由①、②得：
pW3.
点评：
从以上解答应看到：
解决有关AAB=±、AUB=±,心B等集合问题易忽视空集
的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.
2
5已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac}.若A=B求c的值.
分析：
要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式.
解：
分两种情况进行讨论.
（1）若a+b=ac且a+2b=ac2，消去b得：
a+ac2—2ac=0,
a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故0.
•c2—2c+仁0,即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解.
（2）若a+b=ac且a+2b=ac,消去b得：
2ac—ac—a=0,
2
-aM0,..2c—c—仁0,
1
即（c—1）（2c+1）=0，又cm1,故c=—
2
点评：
解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.
1
6设A是实数集，满足若a€A,则——A,a1且1A.
1a
⑴若2€A,则A中至少还有几个元素？
求出这几个元素⑵A能否为单元素集合？
请说明
理由•
1一
⑶若a€A,证明：
1—€A.⑷求证：
集合A中至少含有三个不同的兀素
a
解：
⑴2€A—1€A
•••A中至少还有两个元素：
-€A2€A
点评：
⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨
（2）从M到N的映射满足f（a）>f（b）>f（c）,试确定这样的映射f的种数•
解：
（1）由于M={a,b,c},N={
—2,0,2}
，结合映射的概念,
有
一共有27个映射
a
0a
2a2
a
2
（2）符合条件的映射共有4个，b
2,b
2,b0,
b
0,
c
2c
2c2
c
0
8.已知函数f（x）的定义域为［0,1］
，求函数
f（x1）的定义域
解：
由于函数f（x）的定义域为［0,
1］，即0
x1•f（x1）满足
0x11
7设M={a,b,c},N={—2,0,2},求
（1）从M到N的映射种数;
1x0,•f（x1）的定义域是[—1,0]
9根据条件求下列各函数的解析式：
（1）已知f（x）是二次函数，若f（0）0,f（x1）
（2）已知f（,x1）x2、x，求f（x）
f（x）x1,求f（x）.
⑵如果A为单元素集合，则
1
（3）若f（x）满足f（x）2f（—）ax,求f（x）
x
解：
（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解
设f（x）=
2ax
bx
c
（a
0）由于f（0）
0得f（x）
ax2bx
又由
[f（x1）
f（x）
x
1,
--a
（x1）2b（x
1）ax2
bxx1
即
ax2（2a
b）x
a
b
2ax
（b1）x1
2abb
1
f（x）=^x2^x
a0
a
b
1
因此：
2
2
2
ab1
⑵
本题属于复合函数解析式
:
问题,
可采用换兀法求解
设
ux
1
（x
0）,
u1（u
1）
f（u）（u1）22（u1）u21（u1）•••f（x）=x21（x1）
（3）由于f（x）为抽象函数，可以用消参法求解
用1代x可得：
f（l）2f（x）a1,与f（x）2f』）ax
xxxx
联列可消去f（$得：
f（x）=空空.
X3x3
点评：
求函数解析式
（1）若已知函数f（x）的类型，常采用待定系数法；
（2）若已知f[g（x）]表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.
10已知3x22y26x，试求x2y2的最大值.
3x.
22232129
xyxx3x（x3）,
222
229
当x3时，xy取最大值，最大值为-
2
这种解法由于忽略了y20这一条件，致使计算结果出现错误•因此，要注意审题，不仅能
从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件,
又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..
x,y都有
11设f（x）是R上的函数，且满足f（0）1,并且对任意的实数
f（xy）f（x）y（2xy1），求f（x）的表达式.
点评：
所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相
等代入，再用已知条件，可求出未知的函数•具体取什么特殊值，根据题目特征而定•
12判断函数f（X）（1x）的奇偶性.
解：
f（x）（1x）；x有意义时必须满足右一x01x1
即函数的定义域是{x|1x1},由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是
函数也不是偶函数
13判断f（x）log2（xx21）的奇偶性.
正解：
方法一：
•••f（x）log2（x.（x）21）log2（xx21）
14函数y=J54xx2的单调增区间是.
解：
y=,54xx2的定义域是［5,1］,又g（x）54xx2在区间［5,2］上增函数，
在区间［2,1］是减函数，所以y=「54xx2的增区间是［5,2］
15已知奇函数f（x）是定义在（—3,3）上的减函数，且满足不等式f（x—3）+f（x2—3）<0,求x
的取值范围
3x233V6x辰
又・f（x）是奇函数，••f（x—3）<—f（x—3）=f（3—x）,又f（x）在（一3,3）上是减函数，
x—3>3—X2,即x2+x—6>0,解得x>2或x<—3,综上得216作出下列函数的图像
（1）y=|x-2|（x+1）;
（2）y10|lg.
分析：
显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还
应想到对已知解析式进行等价变形•在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思
想.
解：
（1）当x>2时，即x-2>0时，
19
y=-2）（^+1）二/_?
?
-2二（si迈］空-才¥号
当XV2时，即x-2v0时，_一
⑵当x>1时，lgx>0,y=10lgx=x;
当0vxv1时，lgxv0,
X,宴》1,
yo所以［签
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.（见图）
点评：
作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意X,y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：
一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像
17若f（x）=
ax
1
1在区间
（—2,
+）上是增函数，求a的取值范围
X
2
解：
设2
X1
X2,f（X1）
f（X2）
ax11ax21
x12x22
（a^
1）（X22）
（ax2
1）（X12）
（X2）（X22）
（axix22a%屜2）（a^x22ax2x2）
（Xi2）（X22）
2a^x12ax2x2（2a1）（x1x2）
（Xi2）（X22）（Xi2）（X22）
axi
由f（x）=在区间（一2,+）上是增函数得
x2
1
f（xjf（x2）02a10-^a>
2
点评：
有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上
去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉
1
18已知函数f（x）在（一1,1）上有定义，f（-）=—1,当且仅当02
y€（—1,1）都有f（x）+f（y）=f（），试证明：
1xy
（1）f（x）为奇函数；
（2）f（x）在（—1,1）上单调递减
解：
证明：
（1）由f（x）+f（y）=f（丄丄）,令x=y=0,得f（0）=0,令y=—x,得f（x）+f（—1xy
Xx
x）=f
（2）=f（0）=0.•••f（x）=—f（—x）.•••f（x）为奇函数•
1x2
（2）先证f（x）在（0,1）上单调递减.
令01X1X2
•/00,1—XiX2>0,.・.__>0,
1X1X2
又（
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