因数倍数思维训练文档格式.docx

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1、把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。

2、四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？

3、把1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3张。

甲说：

“我的三个数的积是48。

”乙说：

“我的三个数的和是16。

”丙说：

“我的三个数的积是63。

”甲、乙、丙各拿了哪几张卡片？

例题3将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

2、5、14、24、27、55、56、99

分析14=2×

755=5×

1124=2×

356=2×

7

27=3×

399=3×

11可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。

因为要把这八个数分成两组，且积相等，所以，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7和一个11。

经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）。

练习三

1，下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。

□□×

□□=1288

2，有三个自然数a、b、c，已知a×

b=30，b×

c=35，c×

a=42，求a×

b×

c的积是多少？

3，把40、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组，使两组四个数的乘积相等。

例题4王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。

如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。

这个班有多少个学生？

每人植树多少棵？

分析根据每人植树棵数×

人数=539棵，把539分解质因数。

539=7×

7×

11，如果每人植7棵，这个班就有7×

11－1=76人；

如果每人植树11棵，这个班共有7×

7－1=48人。

练习四

1，3月12日是植树节，李老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。

已知李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共植了111棵树，求有多少个学生。

2，小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6。

小青买的电影票是几排几座？

3，把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是1920。

这篮苹果共有多少个？

例题5下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和。

□□=1995

分析要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和1995有相同的质因数。

1995=3×

19，可以有35×

57=1995和21×

95=1995。

因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取21×

95=1995，这四个数字的和是：

2＋1＋9＋5=17。

练习五

1，在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。

□□□×

□=1995

2，有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是39270立方厘米，求这个长方体的表面积。

3，有三个自然数a，b，c，已知a×

b=35，b×

c=55，a×

c=77，求三个数之积是多少？

分解质因数

（二）

许多题目，特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类题目，我们可以用分解质因数的方法求解。

因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题。

例题1三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？

分析三个质数相加的和是偶数，必有一个质数是2。

80－2=78，剩下两个质数的和是78，而且要使它的积最大，只能是41和37。

因此，这三个质数是2、37和41。

最大积是2×

37×

41=3034

1，有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？

2，张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是2910。

求张明的成绩、名次和年龄分别是多少？

3，写出若干个连续的自然数，使它们的积是15120。

例题2长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的和是多少米？

分析这道题如果用方程来解会比较麻烦，我们可以把375分解质因数看一看。

375=5×

3，因为5×

5比5×

3正好多10，所以，此长方形的长是5×

5=25米，宽是5×

3=15米，它们的和是40米。

1，237除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合于这个条件的所有两位数。

2，有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，这4个孩子中最大的几岁？

3，有一块长方形的场地，它是由319块1平方分米的水泥方砖铺成的，求这块长方形场地的周长。

例题3某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了1073棵，那么，平均每人种了多少棵？

分析根据每人种树棵数×

参加人数=1073，把1073分解质因数：

1073=29×

37，再根据学生恰好平均分成三组可知：

参加种树的人数是3的倍数多1，由于只有37比3的倍数多1，所以有37人，平均每人种29棵。

1，一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。

已知这个长方体的体积是9240立方厘米，那么，这个长方体的表面积是多少？

2，老师用216元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1元钱，那么他就能多买3支。

每支钢笔原价多少元？

3，王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3组。

如果师生每人擦的块数同样多，一共擦111块，那么，平均每人擦了多少块？

最大公因数

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

我们可以把自然数a、b的最公因数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。

求几个数的最大公因数可以用分解质因数和短除法等方法。

例题1一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。

现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？

如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？

分析:

7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。

因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。

75和60的公因数有1、3、5、15，所以有4种裁法。

如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公因数15作为正方形的边长，所以可以裁（75÷

15）×

（60÷

15）=20块。

1，把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？

2，一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？

3，将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？

例题2一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？

分析2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。

要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公因数。

现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公因数。

（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米

1，一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？

2，有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？

3，五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？

每班各可以分几组？

例题3有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？

分析要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200和480的公因数，而每小段要取最长，也就是求240、200和480的最大公因数。

240、200和480的最大公因数是40，所以每小段最长是40厘米。

1，有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。

如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？

2，用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？

3，工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的都同样多。

已知他们第一批共加工2100个，其中王师傅比每个工人多加工7个；

第二批__________加工1800个，其中王师傅比每个工人多加工6个；

第三批加工1600个，其中王师傅比每个工人多加工13个。

这批工人最多有多少人？

例题4一条道路由甲村经过乙村到丙村。

已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。

现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？

分析由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将360÷

2=180米、675÷

2=337.5米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。

因为（675、360）=45，而180=360÷

2，337.5=675÷

2，所以，45÷

2=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。

1，一条公路由A经B到C。

已知A、B相距300米，B、C相距215米。

现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？

2，有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？

在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？

3，甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公因数是4，乙数是多少？

例题5用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？

分析前面的例题已经告诉了我们，解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公因数就行了。

但是这题中，长和宽的数比较大，最大公因数比较难求出，这里再介绍一种求两个数的最大公因数的方法。

第一步：

1072÷

469，余134；

第二步：

469÷

134，余67；

第三步：

134÷

67，没有余数，所以用67毫米为正方形的边长来剪，正好能剪（1072÷

67）×

（469÷

67）=112个正方形，即这些正方形的边长最大是67毫米。

这种求两个较大数的最大公因数的方法叫辗转相除法。

1，用辗转相除法求568和1065的最大公因数。

2，试用辗转相除法判断1547与3135是否互质。

3，判断11111/15015是不是最简分数。

最小公倍数

（一）

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]=a×

b。

两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：

最大公因数×

最小公倍数=两数的乘积即（a、b）×

[a、b]=a×

b

要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公因数问题混淆。

例题1两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？

分析根据“两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数。

根据题意：

当a1b1分别是1和6时，a、b分别为15×

1=15，15×

6=90；

当a1b1分别是2和3时，a、b分别为15×

2=20，15×

3=45。

所以，这两个数是15和90或者30和45。

1，两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？

2，两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少？

3，两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？

例题2:

两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？

分析我们把这两个自然数称为甲数和乙数。

因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的积。

根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公因数是360÷

120=3。

又因为（甲÷

3=a，乙÷

3=b）中，3×

a×

b=120，a和b一定是互质数，所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。

当a和b是1和40时，所求的数是3×

1=3和3×

40=120；

当a和b是5和8时，所求的数是3×

5=15和3×

8=24。

1，求36和24的最大公因数和最小公倍数的乘积。

2，已知两个数的积是3072，最大公因数是16，求这两个数。

3，已知两个数的最大公因数是13，最小公倍数是78，求这两个数的差。

例题3甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。

甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。

有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？

分析从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。

因为3、4、5的最小公倍数是60，所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。

1，1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。

当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？

2，甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，の丙跑一圈用100秒。

问：

再过多少时间三人第二次同时从起点出发？

3，五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的同学每6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。

如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家？

例题4一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。

要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？

分析把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。

现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。

1，用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？

2，有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？

3，一个长方体长2.7米、宽1.8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的正方体小块，不许有剩余，这些小正方体的棱长最多是多少分米？

例题5甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？

分析甲跑一圈需要600÷

3=200秒，乙跑一圈需要600÷

4=150秒，丙跑一圈需要600÷

2=300秒。

要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。

200、150和300的最小公倍数是600，所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。

1，有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇；

若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇。

已知甲比乙快，求二人的速度。

2，一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米。

至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？

3，甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米。

若三人同时从一端出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？

最小公倍数

（二）

最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。

当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。

例题1有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。

这个自然数最小是多少？

分析根据已知条件可知，假如把这个自然数增加3，所得的数就正好能被10、7和4这三个数整除，即10、7和4的最小公倍数，然后再减去3就能得到所求的数了。

[10，7，4]=140140－3=137即：

这个自然数最小是137。

1，学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。

六年级最少多少人？

2，一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。

这个数最小是多少？

3，一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都余下5块。

这袋糖至少有多少块？

例题2有一批水果，总数在1000个以内。

如果每24个装一箱，最后一箱差2个；

如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；

如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。

这批水果共有多少个？

分析根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。

我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672，再根据“总数在1000以内”确定水果总数。

[24，28，32]=672

672－2=670（个）即：

这批水果共有670个。

1，一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？

2，有一批乒乓球，总数在1000个以内。

4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。

这批乒乓球到底有多少个？

3，食堂买回一些油，用甲__________种桶装最后一桶少3千克，用乙种桶装最后一桶只装了半桶油，用丙种桶装最后一桶少7千克。

如果甲种桶每桶能装8千克，乙种桶每桶能装10千克，丙种桶每桶能装12千克，那么，食堂至少买回多少千克油？

例题3一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？

分析由已知条件可知：

这盒棋子只要增加1颗，就正好是4、6、15的公倍数。

换句话说，这盒棋子比4、6、15的最小公倍数少1。

我们可以先求4、6、15的最小公倍数，然后再根据“这盒棋子在150至200颗之间”这一条件找出这盒棋子数。

4、6、15的最小公倍数是60。

60×

3－1=179颗，即这盒棋子共179颗。

1，有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。

这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。

2，五

（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。

请你算一算，五

（1）班有多少位同学？

3，有一批水果，每箱放30个则多20个，每箱放35个则少10个。

这批水果至少有多少个？

例题4从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？

分析从学校到少年宫的这段路长50×

（37－1）=1800米，从路的一端开始，是50和60的公倍数处的那一根就不必移动。

因为50和60的最小公倍数是300，所以，从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。

1800÷

300=6，就是6根不必移动。

去掉最后一根，中途共有5根不必移动。

1，插一排红旗共26面。

原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。

如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？

2，一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。

原来每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。

如果两端不算，中间有几棵不必移动？

3，学校开运动会，在400米环形跑道边每隔16米插一面彩旗，一共插了25面。

后来增加了一些彩旗，就把彩旗间隔缩短了，起点彩旗不动，重新插完后发现一共有5面彩旗没动。

现在彩旗的间隔是多少米？

例题5在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。

如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

分析因为10、12和15的最小公倍数是60，所以，设这根木棍长60厘米。

三种颜色的标记分别把木棍分成的小段长是60÷

10=厘米，60÷

12=5厘米，60÷

15=4厘米。

因为5和6的最小公倍数是30，所以红黄两种标记重复的地方有60÷

30－1=1处，另两种情况分别有2处和4处。

因此，木棍总共被锯成（10＋12＋15－2）

－1－2－4=28段。

1，用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成12等份，第二次把棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后