小学数学课程标准与教材分析文档格式.docx
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考
*体会代数表示运算和几何直观等方面的作用，初步建立数感、符号意识和空间观念，发展形象思维和抽象思维。
*了解数据和随机现象，体会统计方法的意义，发展数据分析和随机观念。
*在参与观察、实验、蔡祥、郑明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。
*学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
问
题
解
决
*初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识和其他知识解决简单的数学问题，发展应用意识和实践能力。
*获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。
*学会与他人合作、交流。
*初步形成评价与反思的意识。
情
感
态
度
*积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。
*体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。
*体会数学的特点，了解数学的价值。
*养成勇于质疑的习惯，形成实事求是的态度。
总体目标的四个方面，不是互相独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。
课程组织和教学活动中，应同时兼顾四个方面的目标。
这些目标的实现，使学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展，有着重要的意义。
数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。
二、数学思想方法
一般认为，数学思想和数学方法是一组既有联系又有区别的概念。
首先，数学思想和数学方法都与数学知识密切相关，两者都要以相关知识为载体，又反过来促进知识的深化以及知识向能力的转化；
数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。
其次，数学思想和数学方法也具有不同的属性和功能：
数学方法更多地被看成是解决数学问题或数学地解决问题的规则和程序，具有明确性、具体性、操作性和可仿效性；
数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识，具有概括性和普遍性的特点。
方法是体现相应思想的手段，思想则是对应方法的精神实质。
第三，数学思想和数学方法之间具有相对性。
一方面，当人们使用“数学思想”这个词时，更多的是从知识价值的角度来说的，它联系着数学理论的本质；
当人们使用“数学方法”这个词时，更多的是从解决问题策略的角度讲的，它联系着数学活动行为。
另一方面，解决任何问题都需要方法，但如果解决众多不同问题时都使用相同的方法，那么这种方法也就常常被称为数学思想或数学思想方法。
数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。
而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。
一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。
但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。
（一）小学数学中蕴涵的数学思想方法
尽管数学思想方法的内容十分丰富，但就小学数学教学而言，我们所关注的应是与小学数学知识及其形成过程密切相关的一些数学思想方法，对学生发现和提出问题、分析和解决问题以及对他们后续学习能够产生积极影响的一些数学思想方法，学生在获得数学显性知识的同时能够形成初步的感知和直觉的一些数学思想方法。
一般来说，作为小学数学教学内容的数学思想方法的选择，应该遵循以下原则：
小学生能够感悟和接受，具有合适的知识载体，与知识的学习能够相互促进，对未来的学习和发展具有重要的指导作用。
据此，我们认为，小学数学中蕴涵的数学思想方法主要包括：
抽象、分类、归纳、演绎、模型、随机、转化、数形结合、方程、函数、集合、对应，等等。
虽然这些数学思想方法并不都处于同一逻辑层面，但是，它们应该是小学生需要感悟、也是能够有所感悟的数学思想方法的主体，是组织小学数学教学活动时应该关注的重点。
考虑到方程、函数、集合、对应等数学思想方法，近二三十年来的大纲一直有所强调，我们相对比较熟悉，而随机思想将在中篇的有关章节中具体展开，这里重点对抽象、分类、归纳、演绎、转化、数形结合和模型等思想作一些较为具体的说明。
一、抽象
抽象通常是指人们在对客观事物的属性和特点进行分析、比较和综合的基础上，舍弃其非本质属性而抽取其本质属性的思维过程，是人们用来接近事物本质和形成概念的思维方法。
抽象性是数学最本质的特征之一。
数学中的数、运算、概念、公式、定理等等无一不是抽象的产物，就连最简单的数字1也是如此：
一个人、一棵树、一幢建筑，去掉其中具体的质的内容，只留下“量”的外衣，即可抽象出数量“l”，并用数字“1”把它表示出来。
抽象是数学活动中基本的思维方法，也是数学化活动的一般思想方法。
作为一种数学思想方法的抽象，其要旨是：
对有关数量关系和空间形式的直观背景材料进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工和提炼，以实现建立数学概念、构造数学模型、组织数学体系的目的。
数学抽象的对象可以是某种现实原型，但更多的则是已经得到并且为人们熟知的一些数学概念或结构。
也就是说，数学抽象是递进的，抽象的结果可以成为更高一级抽象的研究对象。
例如，自然数是对一类等价集合元素个数抽象的结果，但在“摆一个三角形用3根小棒，摆a个三角形要用3a根小棒”。
这个情境中，a则可以看成是任意一个自然数，显然，它比任何一个自然数都具有更高的抽象性。
就小学数学而言，抽象方法主要体现在数学概念、原理的形成过程以及解决实际问题的过程中。
对数学抽象方法的初步体会，不仅有助于培养学生的数学意识、数学眼光，而且有助于逐步提高他们的抽象思维水平以及分析和解决问题的能力。
比如，图1-1所示的例题中，单位“1”是对“一个物体”、“一个计量单位”、“一个整体”抽象的结果；
“平均分成若干份”是对“平均分成4份”、“平均分成5份”、“平均分成3份”抽象的结果；
“表示这样的一份或几份”则是对“表示这样的1份”、“表示这样的3份”、“表示这样的5份”抽象的结果。
而上述抽象结论的综合就是所谓分数的意义了。
通过这样的数学活动过程，学生所获得的就不仅是一个已由前人经抽象概括而形成的数学知识，而且还能体会到形成这个知识的数学抽象方法。
以上的例子是在概念认知过程中的一种抽象。
其实，在数学学习中，符号化本身就是一种抽象。
除了方程中使用抽象符号，在解答小学数学问题过程中，这种符号化的过程，也体现了抽象的过程。
比如下面的几个题目：
（1）一个圆柱侧面展开是一个正方形，如果它的底面积是15平方厘米，那么这个圆柱的侧面积是多少平方厘米？
（2）把一个横截面是正方形的长方体木料切削成一个最大的圆柱体，此圆柱的表面积是32.97平方厘米，底面直径与高的比是是1：
3，原长方体的表面积是多少平方厘米?
（3）有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面时，所得到的新的六位数是原数的4倍，那么这个六位数是多少？
（4）小丁在他1995年过了生日后，发现他当时的实际年龄是他出生年份的四个数字之和，小丁是________年出生的．（吉林省第八届小学数学邀请赛）
（5）在右面的竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，那么代表________．（2002年重庆市沙坪坝区小学数学竞赛）
在解答这几个问题的过程中，均要设法将已知条件以数学符号表示出来，这种以数学符号表达相关已知条件，并利用这种方法解题的过程，本质上是将实际问题抽象成数学问题，再加以解决。
而小学生能够达到熟练应用此方法，需要在数学学习过程中教师逐步引导才可以，绝非一日之功。
再看下面两例，此问题的解决则是更高层次的一种抽象，即通过对已知条件的分析，获得为我所用的结论。
（6）一只小狗遇到了一只豹子，撒腿就跑，豹子紧紧追赶，眼看就要抓住小狗的时候，小狗逃到了一个圆形池塘的旁边，连忙跳进水里，豹子扑了个空，豹子并不甘心，它仅仅地盯着小狗，在池边跟着小狗跑动，准备在小狗游上岸时抓住它。
已知豹子奔跑的速度是小狗游水速度的2.5倍，问小狗有没有办法在它游上岸时，不被豹子抓住？
请说明理由。
（7）李明夫妇参加了一次聚会，同时出席的还有另外3对夫妇，一见面时大家互相握手，当然夫妇之间不握手，也没有人与同一个人握2次手，握手完毕后，李明统计了包括妻子在内7个人握手的次数，发现握手的次数互不相同，请问李明的妻子握了几次手?
二、分类的思想：
分类通常是指一种揭示概念外延的逻辑方法，也就是以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归入不同类别的过程。
分类也称为划分。
当人们遇到一件事情不能按同一标准统一处理时，常常会把这件事情先分成几种不同的情形或种类，再制定不同情形或种类的处理规则或办法，然后分别加以解决。
这个过程中所蕴涵的就是分类讨论（处理）思想，而基于这一思想所形成的数学方法就是分类讨论（处理）方法。
显然，分类讨论方法是建立在分类这一基本逻辑方法基础之上的。
无论是作为逻辑方法的分类，还是作为数学思想方法的分类讨论，它们在数学学习以及解决数学问题的过程中都有十分广泛的应用。
实践表明，经历分类过程、应用分类方法有助于学生更好地建立认知结构，有助于他们全面地、合乎逻辑地进行思考。
我们可以通过下面的若干个问题，初步了解分类的思想在小学数学中的应用。
例题1用125块体积相等的黑、白两种小正方体，黑白相间地拼成一个大正方体（如下图）。
那么露在表面上的黑色正方体的个数是多少个?
例题2下图中有多少个带有“△”的长方形？
例题3正方形ABCD的面积为16平方厘米，求
注：
例题3和下面的习题
（1）中，既有分类的思想方法，也有转化的思想方法。
思考题
（1）图中大圆直径为20厘米，求
（2）已知右图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米.求阴影部分的面积.
（3）在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？
（4）1，2，3，4，5，6，7，8，9每个数字只用一次，同时写出两个含有因数9的三位数，使得它们的和尽可能地大？
尽可能地小？
（5）三边均为整数，且最大边为2009的三角形共有多少个？
A.1008016B.1009020C.1010025D.2019045
三、整体的思想：
对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握化零为整，往往不失为一种更便捷更省时的方法
例题1食堂运来一批大米，第一天吃了全部的
，第二天吃了余下的
，第三天吃了又余下的
，这时还剩下60千克．食堂共运来大米多少千克?
例题2李林喝了一杯牛奶的
，然后用水加满，又喝了一杯水的
，再倒满水后又喝了半杯，又加满水，最后把一杯都喝了，李林喝的牛奶多，还是水多？
（1）任意调换五位数12345的各位数上数字的位置，所得5位数中质数的个数是（）
A4；
B8；
C12；
D0
（2）有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面时，所得的新的六位数是原数的4倍，那么这个六位数是多少？
（3）甲乙两人相距100千米，两人同时出发，相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米；
甲带的一只狗，同甲一起出发，每小时走10千米，碰到乙时它往甲方向走，碰到甲时它又往乙方向走，如此继续往返，这只狗一共走了多少千米？
（4）一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：
一共可以剪成多少个三角形？
如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀？
四、不变量的思想
在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问了就迎刃而解。
例题1某班—次集会，请假人数是出席人数的
，中途又有2人请假离开，这样一来，请假人数是出席人数的
，那么这个班共有多少人？
例题2有一个分数，分母加上1，则为
，分母减去2为
，这个分数是多少？
（1）教室里有若干学生，走了10名女生后，男生人数是女生的1.5倍，又走了10名女生后，男生人数是女生的4倍。
求教室里原有学生多少名。
（2）甲的钱数是乙钱数的4倍，若甲给乙110元，则乙的钱数是甲钱数的3倍，求甲、乙原来各有多少元钱？
（3）甲乙两车在一条长10千米的环形公路上从同一地点沿相反方向同时开出，甲车行4千米与乙车相遇，相遇后两车速度各加10％继续前进，按此规律每次相遇后速度都增加10％，第三次相遇时甲车离出发点多少千米？
（4）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图所示．它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米，瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米，则瓶内酒精体积是多少立方厘米？
五、假设的思想方法
假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
例题1鸡与兔共有30只，共有脚70只，鸡与兔各有多少只?
例题2数学竞赛共有20道题，规定做对一道得5分，做错或不做倒扣3分，赵天在这次数学竞赛中得了60分，他做对了几道题？
（1）一张数学试卷，只有25道选择题．做对一题得4分，做错一题倒扣1分；
如不做，不得分也不扣分．若小明得了78分，那么他做对、做错、没做各有几道题？
（2）铅笔、圆珠笔、橡皮的单价分别为3角、8角、5角，一共110个，总价62元，其中铅笔的个数是橡皮的2倍，求三种学习用具分别有多少个？
（3）甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20％的利润定价，乙商品按15％的利润定价。
后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元。
甲种商品的成本是多少元?
（4）一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。
这件工作先由甲做了若于天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用14天。
这件工作由甲先做了几天?
六、模型的思想方法
所谓数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。
培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。
广义的模型，比如，速度、路程、时间之间的关系，效率、时间、工作量的关系等，在行程问题、工程问题中普遍适用，可以看成是广义的数学模型。
（1）八年级数学中也有类似的问题，买东西，是每次买相同的斤数合算，还是每次买相同的钱数合算？
（2）买鸡蛋问题：
数学老师张老师去买10斤鸡蛋，她拎了一个重0.5斤的篮子。
当商贩把鸡蛋在托盘称上称好后，张老师从盘子中往篮子中拣鸡蛋（鸡蛋一般来说，大约8个是一斤），可是张老师发现鸡蛋只用70个，于是她断定商贩缺斤少两了，她向商贩提出了质疑，商贩把篮子放到托盘上称重，结果是10.55斤。
于是商贩辩解没有缺斤少两。
但张老师用数学方法指出了商贩的问题，要回了一斤鸡蛋钱，请你用数学的方法说一说，张老师是如何要回一斤鸡蛋钱的？
（3）王奶奶带了一篮子土豆去换苹果，每1千克土豆换0.5千克苹果，当她把一篮子土豆放到托盘称上称重好后，卖苹果的商人说：
“就单独称篮子了，一会称苹果时候也带篮子称不就一样了吗。
”请你用数学方法对这件事进行一下分析。
这样做到底谁合适？
（4）一只小狗遇到了一只豹子，撒腿就跑，豹子赶紧追赶，眼看要抓住小狗的时候，小狗逃到了一个圆形池塘的旁边，连忙跳进水里，豹子扑了个空，豹子并不甘心，它紧盯着小狗，在池边跟着小狗跑动，准备在小狗上岸时抓住它，豹子奔跑的速度是小狗游水速度的2.5倍。
问小狗有没有办法在它上岸时，不被豹子抓住，并说明理由。
七、归纳的思想方法
归纳通常是指一种由特殊到一般的推理方法，也就是由一系列具体事实概括出一般原理的过程。
归纳分为完全归纳和不完全归纳：
完全归纳法是根据一类事物中的每个事物或每个子类事物都具有某种性质，从而推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的方法；
不完全归纳是通过观察一类事物中的部分对象，并由它们所具有的某些相同性质而推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的方法。
完全归纳法考察的是一类事物中的所有特殊对象，所得出的结论是可靠的；
不完全归纳法考察的是一类事物中的部分对象，所得出的结论可能为真也可能为假，因此需要通过证明进一步确认其可靠性。
归纳也被看做数学探索和发现过程中一种特别重要的方法。
大数学家高斯曾经说过，“许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是补行的手续”。
事实上，受小学生知识经验和认知水平的限制，小学数学中大部分知识的形成和建立都离不开归纳（主要是不完全归纳）。
这其中包括概念的抽象、计算方法的概括、数学规律和数学关系的发现，等等。
不完全归纳法在小学数学的教学中应用比较广泛。
小学数学中很多运算法则、公式、定律等的推导，都是在例举几个特殊例子的基础上得出的。
如根据40+56=56+40，28+37=37+28，120+80=80+120等几个有限的例子，得出加法交换律。
数学课程标准特别强调培养学生探索图形和数的排列规律，探索规律的过程就是一个应用不完全归纳法的过程。
例题1加法交换律的获得
例题2数线段公式的获得
例题3平面上有10个点，没有任何三个点在一条直线上。
现在连接任意两个点可以形成一条直线。
那么一共可以组成多少条直线？
请解答该题目，并归纳出一般的公式。
例题4有一个数学运算符号“○”,使下列算式成立:
2○4=10,5○3=18,3○5=14,9○7=34.求7○3=?
例题5观察下面的一组算式，你能发现什么规律？
14+41=55,34+43=77,27+72=99,46+64=110,38+83=121
分析：
通过观察算式，能够发现这样一些规律：
所有的算式都是两位数加两位数，每个算式的两个加数中的一个加数的个位和十位数互换，变成另一个加数。
再进一步观察，所有算式的得数有两位数也有三位数，它们有什么共同的规律呢？
把它们分别分解质因数发现，每个数都是11的倍数。
这样就可以大胆猜想并归纳结论：
两个互换个位数和十位数的两位数相加，结果是11的倍数。
再举例验证：
57+75=132＝11
×
12，69+96=165=11×
15，初步验证猜想是正确的。
那么如何进行严密的数学证明呢？
可设任意一个两位数是ab（a和b是1～9的自然数），那么
ab+ba=（10a+b）+（10b+a）=10a+b+10b+a=11a+11b=11（a+b），从而证明了结论的正确。
例题6a表示顺时针旋转90°
，b表示顺时针旋转180°
，c表示逆时针旋转90°
，d表示不转。
定义运算“◎”表示“接着做”。
求：
a◎b；
b◎c；
c◎a。
分析与解：
a◎b表示先顺时针转90°
，再顺时针转180°
，等于顺时针转270°
，也等于逆时针转90°
，所以a◎b=c。
b◎c表示先顺时针转180°
，再逆时针转90°
，等于顺时针转90°
，所以b◎c=a。
c◎a表示先逆时针转90°
，再顺时针转90°
，等于没转动，所以c◎a=d。
对于a，b，c，d四种运动，可以做一个关于“◎”的运算表（见下表）。
比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉处a就是c◎b的结果。
因为运算◎符合交换律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。
1、下图中有多少个长方形？
请你给出解答过程并归纳出公式
2、下图中有多少个带有“△”的长方形？
请你归出此类问题的公式。
3、下图中含有“*”的长方形有几个？
（有1个或2个*都可以），请你解答并归纳出此类问题的一般解法。
4、已知两个数的和是38，差是6，那么这两个数分别是多少？
请你给出此题的解答，并归纳出此类问题的一般公式。
5、已知两个数的和是20，一个数是另一个数的4倍，求这两个数分别是多少？
请你解答此题并归纳出此类问题的一般公式。
6、已知两个数的差是30，一个数是另一个数的6倍，求这两个数，请你解答此题目，并归纳出此类问题的一般公式。
7、归纳规律并解决问题：
13+23+33+…+993除以4余数是______。
8、归纳规律并解答问题：
有70个数排成一行，除两头的两个数以外，每个数的3倍恰好都等于它前后两个数之和。
这一行数最左边的几个是：
0，1，3，8，21，…那么，最右边的一个数被6除的余数是______。
9、从下题中归纳出规律，在解决该问题：
将自然数列从小到大如图排成螺旋数阵，在2处拐第1个弯，在3处拐第2个弯，在5处拐第3个弯，……，那么，在______处拐第20个弯。
10、规定4◎2=48,2◎3=246,1◎4=1234，求3◎5=？
11、练习一：
用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：
a表示顺时针旋转240°
，
b表示顺时针旋转120°
c表示不旋转。
运算“∨”表示“接着做”。
试以a，b，c为运算对象做运算表。
八、演绎的思想方法
与归纳相反，演绎通常是指一种由一般到特殊的推理方法，也就是从普遍性结论或一般性前提出发，推出个别或特殊结论的过程。
演绎推理的形式主要有三段论、关系推理、假言推理和选言推理等。
由于演绎推理的前提和结论之间具有蕴涵关系，因而演绎与归纳、类比不同，它属于必然性推理。
逻辑演绎方法在数学中的运用是十分广泛。
一般认为，数学论证只允许运用演绎逻辑（尽管其标准因时代而不同），而不承认不完全的归纳论证、类比论证、实验论证等等。
就小学数学而言，尽管很少涉及数学证明这样严格规范的演绎推理，但一些数学结论的推导过程以及大部分数学知识的应用过程都蕴涵了极为丰富的演绎思想。
对演绎思想的感受和体会，不仅有助于建立对数学结论确定性的信念，培养合乎逻辑的表达能力，而且有助于增进对数学内容的理解，有助于提高分析和解决问题的能力。
三段论，有两个前提和一个结论的演绎推理，叫做三段论。
三段论是演绎推理的一般模式，包括：
大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。
例如：
一切奇数都不能被２整除，（２3＋１）是奇数，所以（２3＋１）不能被２整除。
在人们的传统观念中，小学几何是实验几何，很难在演绎推理证明方面有所渗透。
同时，在初中阶段，培养学生的演绎推理能力是重要
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