平行四边形文档格式.docx
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2•在以平行四边形为载体为证明线段（或角）相等的问题中，？
通常证明这些线段（或
角）所在的四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质来证明，而不要仅仅停留在证三角形全等上.在复习时，应熟练掌握平行四边形的性质及判别方法，注意图形变换的一些特征，善于从折叠、旋转等几何变换中寻求已知条件.
♦考点链接
1.平行四边形的性质
（1）平行四边形对边，对角;
角平分线;
邻角.
（2）平行四边形两个邻角的平分线互相,两个对角的平分线互相.（填“平行”
或“垂直”）
（3）平行四边形的面积公式.
2•平行四边形的判定
（1）定义法：
.
（2）边：
或.
（3）角：
（4）对角线：
♦典例精析
例1（湖北襄樊）如图，在匚ABCD中，AE丄BC于E,AE=EB=EC=a,且a是一元二次方程x2+2x—3=0的根，则「ABCD的周长为（）
A.42.2B.1262C.22.2D.2迁或126、2
【答案】A
【解析】本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，•/a是一元二次方程
X22X-3=0的根，•••a=1,•••AE=EB=EC=1,二AB=2,长为422，故选A.
例2（四川达州）如图，一个四边形花坛ABCD被两
条线段MNEF?
分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四
种花卉，种植面积依次是Si,S2,S3,S,若MNAB//DC/
EF//DA//CB则有（）
A.Si=SB.Si+S=S+SC.SS4=SS3D.都不对
【答案】C
【解析】由于平行线间的距离处处相等，则红、黄、紫、白的面积比便等于高的比，此时红、紫的高相等，黄、白的高相等.
拓展变式若例1中，MN与EF的交点在AC上，贝ySi,S2,S3,S4,还有何更进一步的关系？
答案S1=S3S2=S4
例3如图，E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF请你猜想：
BE?
与DF有怎样的位置关系和数量关系？
并对你的猜想加以证明.
BC=2,•
ABCD的周
圈1图2
解析猜想：
BE//DF,BE=DF.
证法一：
如图1,•••四边形ABCD是平行四边形,
•BC=ADZ仁/2.
又•CE=AF
•••BE=DF/3=Z4,
•••BE//DF.
证法二：
如图2,连结BD交AC于点O连结DEBF.
•••四边形ABCD是平行四边形，
•BO=ODAO=CO
又•••AF=CE
•AE=CF
•EO=FO
•四边形BEDF是平行四边形，
•BE//DF.
点评从近几年的中考试题来看，平行四边形这一节不会出现很复杂的证明题，试题主
要考查平行四边形的特征和识别，也有很多地方涉及全等和相似的知识，传统的计算和证明
所占的比例较小，大多数以探索和开放题的形式出现.
♦迎考精练
一、选择题
1.（山东威海）如图，在四边形ABCDhE是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，AB二BF•添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形•你认为下面四个条件中可选择的是（）
A.AD=BCB.CD=BFC..A—CD..F"
CDE
2.（甘肃白银）如图，四边形ABCDhAB=BC/ABC=ZCDA=90°
BELAD于点E且
四边形ABC啲面积为8，则BE=（）
AEI）
3.（山东日照）如图，在口ABCD中，已知AD=8cm,AB=6cm,DE平分/ADC交BC边于点E,则BE等于（）
二、填空题
1.（广西钦州）如图，在口ABCD中，/A=120°
则/D=
2.（辽宁本溪）如图所示，在LABCD中，对角线AC、BD相交于点0，过点0的直线分别交AD、BC于点M、N，若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则△AOB的
面积为
3.（黑龙江哈尔滨）如图，在口ABCD中,BD为对角线，E、F分别是AD.BD的中点，连接
EF.若EF=3，贝UCD的长为.
4.（山西省）如图，口ABCD勺对角线AC、BD相交于点0,点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm,则△DOE的周长是cm.
5.（湖南郴州）如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，再添加一个条件
（写出一个即可），则四边形ABCD是平行四边形.（图形中不再添加辅助线）
连结CE过点E作
ACEf是平行四边形.
三、解答题
1.（湖北黄冈）如图，在△ABC中,ZACB=90°
，点E为AB中点,
EDLBC于点D,在DE的延长线上取一点F,使AF=CE求证：
四边形
BE//DF，求证:
2.（湖南长沙）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,
AF=CE•
3.（贵州黔东南州）如图，丨1、丨2、丨3、丨4是同一平面内的四条平行直线,
1、
2、
3、
且每相邻的两条
平行直线间的距离为h,正方形ABCD勺四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD勺面
积是25.
（1）连结EF,证明△ABE△FBE△EDF△CDF的面积相等.
（2）求h的值.
4.（新疆）如图，EF是四边形ABCD勺对角线AC上两点，AF=CE,DF=BE,DF//BE.
求证：
（1）△AFDCEB.
（2）四边形ABCD是平行四边形.
5.（广东广州）如图，在△ABC中，DE、F分别为边ABBCCA的中点.
6.（浙江温州）在所给的9X9方格中，每个小正方形的边长都是1.按要求画平行四边形,
使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上.
（1）在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；
（注：
图甲、图乙在答题纸上）
（2）在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数.
7.（福建宁德）如图：
点A.D.B.E在同一直线上，AD=BE,AGDF,AC//DF,请从图中找出一个与/E相等的角，并加以证明.（不再添加其他的字母与线段）
【参考答案】选择题
1.D
3.B
填空题
1.60
2.6
3.6因为EF是厶ABD的中位线，贝UAB=6，又AB=CD,所以CD=6.
4.8
AB//CD或AD=BC
5.或？
A?
D180°
或？
B?
C180°
等
解答题
1.证明：
•••点E为Rt△ABC勺斜边中点,
EC=EA=EB
•••/EAC=ZECA
TAF=CECE=EA
•AF=AE
•••/AFE=ZAEF
•/ZACB=ZEDB=90
•FD//BC
•ZAEF=ZEAC
•ZEAC=ZECA=ZAFE=ZAEF
•
EAC-ZECA=ZAEC
AD=BC,
ZEAF=180°
—ZAFE-ZAEF=180°
—
•AF/CE
又•••AF=CE
•四边形ACEF是平行四边形•
2.证明：
平行四边形ABCD中，AD//BC,
•ACB二CAD•
又BE//DF，
BEC—DFA,
△BECDFA,
CE二AF
3.解：
连结EF
•/l1//12//13//|4，且四边形ABCD是正方形
•BE//FD,BF/ED
•四边形EBFD为平行四边形
•BE=FD
又•/l1、丨2、|3和|4之间的距离为h
△ABE=
】BE・h,
2
Safbe=BE•h,
Saedf=
^FD-h,Sacdf=1FD-h
22
•SAABE=Safbe=Saedf=Sacdf
过A点作AHLBE于H点。
方法一:
VS△ABE=S△FBE=S4EDF=S△CDF
又•••正方形ABCD的面积是25
二SABE
25口
，且AB=AD=5
4
又V|1//
l2/13/l4
•••E、F分别是AD与BC的中点
•AE=1AD=5
•••在Rt△ABE中,
又VAB-AE=BE-AH
•ah=A^E
BE
又V正方形ABCD的面积是25,
又V/BAE=90°
AHLBE
•Rt△ABE^Rt△HAE
AH
AB
AEhx2-52bE，即齐—T—
变形得：
（hx）2=25（x2-52）②
252
把①两边平方后代入②得：
=25（x2_52）③
解方程③得x二5^（x二-出舍去）
5^5f-
把x代入①得：
h=5
4.证明：
（1）：
DF//BE,..DFE二.BEF.
:
NAFD+NDFE=180°
ZCEB+NBEF=180°
AFD—CEB.
又：
"
AF-CE,DF=BE,
.△AFDCEB（SAS）.
（2）由
（1）知△AFDCEB,..DAC=/BCA,AD=BC,AD//BC.
■四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
5.证明：
•/DE、F分别为AB.BC.CA的中点，
•••DF//BCDE//AC
•••四边形DECF是平行四边形•
6.解：
（1）
图甲（周长是整数、
图甲（周长是整数1
图乙（周长不是整数）图乙（周丘不雄載数、
7.解法1图中/CBAfZE
证明：
•••AD=BE
•••AD~DB=BE+DB即AB=DE
•/AC//DF•••/A=ZFDE
又•••AC=DF
ABC^ADEF
丄CBA=ZE
解法2：
图中/FCB=ZE
•••AC=DF,AC//DF
•四边形ADFd平行四边形
•CF//ADCF=AD
•••AD=BE•CF=BECF//BE
•四边形BEFC是平行四边形
丄FCB=ZE
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