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1、2 在以平行四边形为载体为证明线段（或角）相等的问题中， ？通常证明这些线段（或角）所在的四边形是平行四边形， 再由平行四边形的性质来证明， 而不要仅仅停留在证三角 形全等上.在复习时，应熟练掌握平行四边形的性质及判别方法， 注意图形变换的一些特征， 善于从折叠、旋转等几何变换中寻求已知条件.考点链接1.平行四边形的性质（1） 平行四边形对边 ，对角 ;角平分线 ;邻角 .（2） 平行四边形两个邻角的平分线互相 ,两个对角的平分线互相 .（填“平行”或“垂直”）（3 ）平行四边形的面积公式 .2 平行四边形的判定（1 ）定义法： .（2） 边： 或 .（3） 角：（4 ）对角线：典例精析例1

2、（湖北襄樊）如图，在匚ABCD中，AE丄BC于E, AE = EB = EC = a,且a是 一元二次方程x2 +2x3 =0的根，则ABCD的周长为（ ）A. 4 2.2 B . 12 6 2 C . 2 2.2 D . 2 迁或 12 6、2【答案】A【解析】本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，/ a是一元二次方程X2 2X-3 =0 的根， a =1 , AE=EB= EC= 1 ,二 AB= 2 , 长为4 2 2，故选A.例2 （四川达州）如图，一个四边形花坛 ABCD被两条线段MN EF?分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是 Si, S2, S3,

3、S,若MN AB / DC /EF/ DA/ CB 则有（ ）A. Si=S B . Si+S=S+S C . SS4=SS3 D .都不对【答案】 C【解析】 由于平行线间的距离处处相 等，则红、黄、紫、白的面积比便等于高的比，此时 红、紫的高相等，黄、白的高相等.拓展变式 若例1中，MN与EF的交点在AC上，贝y Si, S2, S3, S4,还有何更进一步的 关系？ 答案 S 1 = S3 S 2=S4例3如图，E, F是平行四边形 ABCD的对角线AC上的点，CE=AF请你猜想：BE?与DF 有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明.BC= 2, ABCD的周圈1 图2解析 猜

4、想：BE/ DF, BE=DF.证法一：如图1 ,四边形ABCD是平行四边形, BC=ADZ 仁/ 2.又 CE=AF BE=DF / 3=Z 4, BE/ DF.证法二：如图2,连结BD交AC于点O 连结DE BF.四边形ABCD是平行四边形，BO=OD AO=CO又 AF=CEAE=CFEO=FO四边形BEDF是平行四边形，BE/ DF.点评 从近几年的中考试题来看， 平行四边形这一节不会出现很复杂的证明题， 试题主要考查平行四边形的特征和识别， 也有很多地方涉及全等和相似的知识， 传统的计算和证明所占的比例较小，大多数以探索和开放题的形式出现.迎考精练一、选择题1.（山东威海）如图，在四

5、边形 ABCDh E是BC边的中点，连结 DE并延长，交AB的延长 线于F点，AB二BF 添加一个条件，使四边形 ABCD是平行四边形你认为下面四个条 件中可选择的是（ ）A. AD =BC B . CD =BF C . . A C D . . F CDE2.（甘肃白银） 如图，四边形 ABCDh AB= BC / ABC=Z CDA= 90, BEL AD于点E且四边形ABC啲面积为8，则BE=（ ）A E I）3.（山东日照） 如图，在 口ABCD中，已知 AD= 8 cm, AB= 6 cm, DE平分/ ADC交BC边于 点E,则BE等于（ ）二、填空题1.（广西钦州） 如图，在 口A

6、BCD中，/ A= 120,则/ D= 2.（辽宁本溪）如图所示，在L ABCD中，对角线 AC、BD相交于点0，过点0的直线分 别交AD、BC于点M、N，若 CON的面积为2, DOM的面积为4,则 AOB的面积为 3.（黑龙江哈尔滨） 如图，在口ABCD中, BD为对角线，E、F分别是AD. BD的中点，连接EF.若EF= 3，贝U CD的长为 .4.（山西省）如图，口 ABCD勺对角线AC、BD相交于点0,点E是CD的中点， ABD 的周长为16cm,则 DOE的周长是 cm .5.（湖南郴州）如图，在四边形 ABCD中，已知AB= CD，再添加一个条件（写出一个即可），则四边形 ABC

7、D是平行四边形.（图形中不再添加辅助线）连结CE过点E作ACEf是平行四边形.三、解答题1.（湖北黄冈）如图，在 ABC中, Z ACB= 90，点E为AB中点,EDL BC于点D,在DE的延长线上取一点 F,使AF= CE求证：四边形BE / DF，求证:2.（湖南长沙）如图，E、F是平行四边形 ABCD对角线AC上两点,AF =CE 3.（贵州黔东南州） 如图，丨1、丨2、丨3、丨4是同一平面内的四条平行直线,1、2、3、且每相邻的两条平行直线间的距离为 h,正方形ABCD勺四个顶点分别在这四条直线上，且正方形 ABCD勺面积是25.（1）连结EF,证明 ABE FBE EDF CDF的面

8、积相等.（2 ）求h的值.4.（新疆）如图，E F是四边形ABCD勺对角线AC上两点，AF = CE, DF =BE, DF / BE.求证：（1） AFD CEB .（2）四边形ABCD是平行四边形.5.（广东广州）如图，在 ABC中，D E、F分别为边 AB BC CA的中点.6.（浙江温州）在所给的9X9方格中，每个小正方形的边长都是 1.按要求画平行四边形,使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上.（1） 在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；（注：图甲、图乙在答题纸上 ）（2） 在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数.7.（福建宁德）如图：点A. D. B. E在同一

9、直线上，AD= BE, AG DF, AC/ DF,请从图中找 出一个与/ E相等的角，并加以证明.（不再添加其他的字母与线段）【参考答案】 选择题1.D3.B填空题1. 602.63.6 因为EF是厶ABD的中位线，贝U AB= 6，又AB= CD,所以CD= 6.4.8AB / CD或AD = BC5.或？A ?D 180或？B ?C 180 等解答题1.证明：点E为Rt ABC勺斜边中点,EC= EA= EB/ EAC=Z ECAT AF= CE CE= EA AF= AE/ AFE=Z AEF/ Z ACB= Z EDB= 90FD/ BCZ AEF=ZE ACZ EAC=Z ECA=

10、Z AFE=Z AEFEAC-Z ECA=Z AECAD = BC ,Z EAF= 180Z AFE-Z AEF = 180 AF/ CE又 AF= CE四边形ACEF是平行四边形2.证明：平行四边形 ABCD中，AD / BC , ACB 二 CAD 又 BE / DF，BEC DFA , BEC DFA ,CE 二 AF3.解：连结EF/ l 1 / 12 / 13 / | 4，且四边形 ABCD是正方形BE/ FD, BF/ ED四边形EBFD为平行四边形BE= FD又/ l 1、丨2、| 3和| 4之间的距离为 hABE=】BEh,2Safbe= BE h,Saedf=FD- h, S

11、acdf= 1 FD-h2 2 S AABE= S afbe= S aedf= S acdf过A点作AHL BE于H点。方法一: VS ABE= S FBE= S 4EDF= S CDF又正方形ABCD的面积是25二 S ABE25 口，且 AB= AD= 54又V| 1 /l 2 / 13/ l 4 E、F分别是AD与BC的中点 AE= 1 AD= 5在 Rt ABE 中,又 V AB- AE= BE- AH ah=AEBE又V正方形 ABCD的面积 是25,又 V/ BAE= 90, AHL BE Rt ABE Rt HAEAHABAE h x2 -52 bE，即 齐T变形得：（hx）2

12、= 25（x2 -52）252把两边平方后代入得： =25（x2 _ 52）解方程得x二5 （ x二-出舍去）55 f-把x 代入得：h = 54.证明：（1） ：DF / BE , . . DFE 二.BEF .:NAFD +NDFE =180 , ZCEB+N BEF =180 ,AFD CEB .又：AF -CE, DF =BE ,. AFD CEB（SAS）.（2）由（1）知 AFD CEB , . . DAC =/BCA, AD = BC , AD / BC .四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5.证明：/ D E、F分别为AB. BC. CA的中点， DF/ BC DE/ AC四边形DECF是平行四边形6.解：（1）图甲（周长是整数、图甲（周长是整数1图乙（周长不是整数） 图乙（周丘不雄載数、7.解法1图中/ CBAfZ E证明： AD= BE AD DB= BE+ DB即 AB= DE/ AC/ DF / A=Z FDE又 AC= DFABCA DEF丄 CBA=Z E解法2：图中/ FCB=Z E AC= DF, AC/ DF四边形ADFd平行四边形 CF/ AD CF= AD AD= BE CF= BE CF/ BE四边形BEFC是平行四边形丄 FCB=Z E