一元一次方程行程问题培优拔高.docx

一元一次方程行程问题培优拔高.docx

《一元一次方程行程问题培优拔高.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元一次方程行程问题培优拔高.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

一元一次方程行程问题培优拔高

一元一次方程

知识点：

1、什么是一元一次不等式？

2、解一元一次不等式的步骤？

（用一道例题说明）

3、解一元一次不等式与解一元一次方程的区别和联系？

一、等式与方程

1．等式：

（1）定义：

含有等号的式子叫做等式。

（2）性质：

①等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变。

若那么

②等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的值不变。

若那么有或（）

③对称性：

若，则

④传递性：

若，则

（3）拓展：

①等式两边取相反数，结果仍相等．

如果，那么

②等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等．

如果，那么

③等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．

如移项，运用了等式的性质①；去分母，运用了等式的性质②．

④运用等式的性质，涉及除法运算时，要注意转换后除数不能为0，否则无意义．

2．方程：

（1）定义：

含有未知数的等式叫做方程。

（2）说明：

①方程中一定有含一个或一个以上未知数，且方程是等式，两者缺一不可。

②未知数：

通常设x、y、z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以。

未知数称为元，有几个未知数就叫几元方程。

一道题中设两个方程时，它们的未知数不能一样！

③“次”：

方程中次的概念和整式的“次”的概念相似。

指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项对应的次数，也就是方程的次数。

未知数次数最高是几就叫几次方程。

④方程有整式方程和分式方程。

整式方程：

方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。

分式方程：

分母中含有未知数的方程叫做分式方

二、一元一次方程

1．一元一次方程的概念：

（1）定义：

只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程。

（2）一般形式：

（a，b为常数，x为未知数，且）。

（3）注意：

①该方程为整式方程。

②该方程有且只含有一个未知数。

③该方程中未知数的最高次数是1。

④化简后未知数的系数不为0．如：

，它不是一元一次方程。

⑤未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次；如，它不是一元一次方程。

2．一元一次方程的解法：

（1）方程的解：

能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一般写作：

“”的形式。

（2）解方程：

求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，叫解方程。

（3）移项：

①定义：

从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项。

②说明：

Ⅰ移项的标准：

看是否跨过等号，跨过“=”号才称为移项；移项一定改变符号，不移项的不变。

Ⅱ移项的依据：

移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质①。

Ⅲ移项的原则：

移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解。

（4）解一元一次方程的一般步骤及根据：

①去分母——等式的性质②

②去括号——分配律

③移项——等式的性质①

④合并——合并同类项法则

⑤系数化为1——等式的性质②

⑥检验——把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否相等（在草纸上）

（5）一般方法：

①去分母，程两边同时乘各分母的最小公倍数。

②去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。

但顺序有时可依据情况而定使计算简便，本质就是根据乘法分配律。

③移项，方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。

（一般都是把未知数移到一起）

④合并同类项，合并的是系数，将原方程化为（）的形式。

⑤系数化1，两边都乘以未知数的系数的倒数。

⑥检验，用代入法，在草稿纸上算。

（6）注意：

（对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握，更要观察所求方程的形式、特点，灵活变化解题步骤）

①分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数，局部变形；

②去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，

Ⅰ此时不含分母的项切勿漏乘，即每一项都要乘

Ⅱ分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号（整体思想）；

③去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；

④移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；

⑤系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号（打草稿认真计算）；

⑥不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法；

⑦分数、小数运算时不能嫌麻烦，不要跳步，一步步仔细算。

（7）补充：

分数的基本性质：

与等式基本性质②不同。

分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

3．一元一次方程的应用：

（1）解决实际应用题的策略：

①审题：

就是多读题，读懂题，读的时候一定沉下心去，不能慌不要急躁，要细，一个字一个字的精读，要慢，边读边思考。

找到已知条件，未知条件，找到数量关系和等量关系，可以用笔在题目中标注下来重要信息和数量关系，审题往往伴随下个步骤。

②设出适当未知数，往往问什么设什么，有时也间接设未知数，然后用未知数通过关系表示出其他相关的量。

③找出等量关系，用符号语言表示就是列出方程。

（2）分析问题方法：

①文字关系分析法，找关键字词句分析实际问题中的数量关系

②表格分析法，借助表格分析分析实际问题中的数量关系

③示意图分析法，通过画图帮助分析实际问题中的数量关系

（3）设未知量方法：

一个应用题，往往涉及到几个未知量，为了利用一元一次方程来解应用题，我们总是设其中一个未知量为x，并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量，然后列出方程。

①设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题，与其它量关系多，好表示其它量，好表示等量关系；

②有直接设未知量和间接设未知量，还有不常见的辅助设未知量。

（4）找等量关系的方法：

“等量关系”特指数量间的相等关系，是数量关系中的一种。

数学题目中常含有多种等量关系，如果要求用方程解答时，就需找出题中的等量关系。

①标关键词语，抓住关键句子确定等量关系。

（比如多，少，倍，分，共）解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系。

②紧扣基本公式，利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系．（比如体积公式，单价×数量总价，单产量×数量＝总产量，速度×时间＝路程，工效×时间＝工作总量等。

这些常见的基本数量关系，就是等量关系）

③通过问题中不变的量，相等的量确定等量关系．就是用不同的方法表示同一个量，从而建立等量关系。

④借助线段图确定等量关系。

线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化。

对于较复杂的题目，同学们可借助线段图找等量关系。

（5）列一元一次方程解应用题的基本步骤及注意点：

①“审”：

要沉着冷静，耐下心去，慢读细读多读，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系。

②“设”：

设一个恰当的未知数，若有单位一定加单位，表示多项式加单位括号。

③“列”：

根据等量关系列出方程，即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位统一，用题目中的原数；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用，重复用一个条件会得到恒等式，解不出来。

④“解”：

解出方程，一定在草纸上一步步认真计算，先化简往往会简化计算。

⑤“验”：

检验两方面，一是解得是否正确，用代入法；二是是否符合实际情况。

⑥“答”：

写出答案，一定要答完整，有单位要加单位。

注意：

应用题分类只是帮助同学们理解记忆，切不可死记题型，生搬硬套，实际上法无定法，要多加练习，培养分析问题解决问题的能力，熟练掌握列方程解应用题的一般方法。

（6）解应用题关键与核心：

根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系（这是关键一步）。

就是抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。

核心是设出适当未知量，根据关系表示出其它量，表示出等量关系中的各个部分，从而列出方程。

（8）实际问题的常见题目类型：

基本量、基本关系、等量关系：

①“和、差、倍、分类问题”：

弄清和谁比，比谁多，比谁少

增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量

②“等积变形问题”：

锻造前的体积=锻造后的体积

长方体的体积=长×宽×高，圆柱的体积=底面积×高

③“打折利润问题”：

利润是和成本比的

利润=售价-进价，利润率=，售价=标价×折扣

④“行程问题”：

（相遇问题和追及问题）

路程=时间×速度，时间=，速度=

（注意单位：

路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、、千米／小时）

⑤“销售问题”

总价=单价×数量，总钱数=各部分钱数和．

⑥“利率（息）问题”

本息和=本金+利息，利息=本金×利率×时间（期数）．

⑦“工程问题”

工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和．

⑧数字问题（包括日历中数字规律）

⑨比例分配问题

⑩调配问题

解题思路：

1、审——读懂题意，找出等量关系。

2、设——巧设未知数。

3、列——根据等量关系列方程。

4、解——解方程，求未知数的值。

5、答——检验，写答案（注意写清单位和答话）。

6、练——勤加练习，熟能生巧。

触类旁通，举一反三。

第一讲行程问题

基本关系式：

（1）行程问题中的三个基本量及其关系：

路程=速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间

（2）基本类型

①相遇问题：

快行距＋慢行距＝原距

②追及问题：

快行距－慢行距＝原距

③航行问题：

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

顺速–逆速=2水速；顺速+逆速=2船速

顺水的路程=逆水的路程

注意：

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系。

常见的还有：

相背而行；环形跑道问题。

【经典例题】

例1、甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。

两车相向而行。

问快车开出多少小时后两车相遇？

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

例2、某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。

A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。

一、相遇问题

A．基础训练

1.小李和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，小李每分走60米，小刚每分走90米，几分钟后两人相遇？

2.小明和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，5分钟后两人相遇，小刚每分走80米，小明每分走多少米？

3.王强和赵文从相距2280米的两地出发相向而行，王强每分行60米，赵文每分行80米，王强出发3分钟后赵文出发，几分钟后两人相遇？

4.两辆车从相距360千米的两地出发相向而行，甲车先出发，每小时行60千米，1小时后乙车出发，每小时行40千米，乙车出发几小时两车相遇？

5.两村相距35千米，甲乙二人从两村出发，相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距9千米时，乙行了多长时间？

6.甲乙二人从相距45千米的两地同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后二人相遇，求两人的速度。

7