人教版八年级数学上册第十三章《轴对称综合》讲义第12讲第12讲轴对称综合语文.docx

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人教版八年级数学上册第十三章《轴对称综合》讲义第12讲第12讲轴对称综合语文

第12讲轴对称综合

第一部分知识梳理

知识点一：

直角三角形性质

直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半

知识点二：

轴对称的应用及变换

（1）折纸问题

（2）作图－－轴对称变换

知识点三：

轴对称的应用

最短路径问题:

知识点四：

（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。

（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）常用辅助线：

三线合一；过中点做平行线

第二部分考点精讲精练

考点1、折叠、作图－－轴对称变换

例1、用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（）

A．①④B．②③C．③④D．①②

例2、作已知点关于某直线的对称点的第一步是（　　）

A．过已知点作一条直线与已知直线相交

B．过已知点作一条：

直线与已知直线垂直

C．过已知点作一条直线与已知直线平行

D．不确定

例3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C的坐标为（4，1），则点B的坐标为（）

A.（－2，1）B.（－3，1）C.（－2，－1）D.（－2，－1）

例4、如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．

（1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；

（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90度．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；

（3）请直接写出：

以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

例5、已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整：

（如图所示）

（1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点______；

（2）分别延长DM，EP，FN至______，使______=______，______=______，______=______；

（3）顺次连接______，______，______，得△DEF关于直线AB的对称图形△GHI．

举一反三：

1、下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（）

2、如图，若△A'B'C'与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C’的坐标是（）

A．（0，－1）B．（0，－3）C．（3，0）D．（2，1）

3、下图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴．

4、如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上．

（1）在直线MN上找一点C（C点在小正方形的顶点上），使△ABC是轴对称图形（画出一种即可）；

（2）请直接写出△ABC的面积．

5、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．

（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；

（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．

考点2、直角三角形性质（30°）

例1、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，则（）

A．AD=2BDB．AD=3BDC．AD=4BDD．AD=5BD

例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．其中DE是AB的中垂线，交AB于D，交AC于E，连接BE．若EC=2，则AC=（）

A．3B．4C．5D．6

例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB于E，交AC于D，AD=2BC，则∠A=______．

（例2）（例3）

例4、如果等腰三角形的底边上的高为4厘米，腰长为8厘米，那么底角的度数是    ，顶角的度数是    ．

例5、如图，在Rt△ABC中，点D在直角边BC上，DE平分∠ADB，∠1=∠2=∠3，AC=5cm．

（1）求∠3的度数；

（2）判断DE与AB的位置关系，并说明理由；

（3）求BE的长．

例6、如图：

等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P．

（1）运动几秒后，△ADE为直角三角形？

（2）求证：

在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．

举一反三：

1、若一个三角形的三边长分别是3，6，，则最小角与最大角依次是（）

A．30°，60°B．30°，90°C．60°，90°D．45°，90°

2、如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD∥AB，BC=6cm，∠BAD=30°，∠B=90°．则CD的长为    ．

3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=2∠B，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E．若BC=18cm，CD=6cm，则DE=    cm，AD=    cm．

（2）（3）

4、如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求证：

AE=AB．

5、如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且CD=AE，AD与BE相交于点P．

（1）求证：

∠ABE=∠CAD；

（2）若BH⊥AD于点H，求证：

PB=2PH．

考点3、最短路径问题

例1、如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）

例2、如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：

①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（  ）

A．转化思想               B．三角形的两边之和大于第三边

C．两点之间，线段最短     

D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角

例3、茅坪民族中学八

（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

例4、如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．

例5、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，求∠AMN＋∠ANM的度数。

举一反三：

1、如图所示，直线CD同侧有两个点A，B，在CD上找一点P使得AP+BP最短，并说明理由，盼盼的解题思路如下，请你帮助完成操作及填空

（1）作点B关于CD的对称点B′，连结AB′交CD于点P，连结BP，点P就是所求作的点；

（2）再在CD上另取一点P′，连结AP′，B′P′，

∵AP+BP=    （用图中的线段表示）

∵AP′+B′P′＞    ，理由是    

∴AP′+B′P′＞AP+BP

∴AP+BP最短．

2、如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=_______°．

3、如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB边放一行球，参赛者从起点C起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？

为什么？

4、如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．

5、如图所示，A，B两村在河的同一侧，以河岸为x轴建立直角坐标系，则A，B两村对应的坐标分别为A（-1，1），B（3，3），现要在河边P处修建一个水泵站，分别直接向A，B两村送水，点P选在哪个位置，才可能使所用的水管最短？

试写出点P对应的坐标．

第三部分课堂小测

1、观察下图中各组图形，其中不是轴对称的是（）

A．B．

C．D．

2、如图，直角坐标系中，点A的坐标是A（－2，1），则点A关于直线l对称点的坐标是（）

A.（2，1）B.（－2，－1）C.（4，1）D.（4，－1）

3、如图，在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

（2）（3）

4、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为1：

2：

3，且AB=2，则BC=    ．

5、如图，已知∠ACB=90°，CD是AB上的高，∠A=30°，AB=4cm，则：

（1）BC=    ；

（2）∠BCD=    ；

（3）BD=    ；（4）AD=    ．

6、如图所示，四边形EFGH是一个矩形的球桌面，有黑白两球分别位于A、B两点，试说明怎样撞击B，才使白球先撞击台球边EF，反弹后又能击中黑球A？

7、有一货场A的北偏东75°的方向上有一所学校C，一辆拖拉机以200米/分的速度从A点出发沿公路向正东方向行驶，2分钟后，到达B处，此时观察到学校位于B点的东偏北30°的方向上，已知该拖拉机形成的噪音影响的范围在130m以内．问：

这条公路上该拖拉机形成的噪音会对学校造成影响吗？

8、图①、图②均为7×6的正方形网格，点A，B，C在格点上．在图①、②中确定格点D，并画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（各画一个即可）

9、

（1）如图

（1），已知∠AOB和线段CD，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）；

（2）如图

（2）是一个台球桌，若击球者想通过击打E球，让E球先撞上AB边上的点P，反弹后再撞击F球，请在图

（2）中画出这一点P．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）

10、已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，AB=40，求DB的长．

第四部分提高训练

1、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）、B（1，－1）、C（－1，－1）、D（－1，1），y轴上有一点P（0，2）．作点P关于AC所在直线的对称点P1，作P1关于BD所在直线的对称点P2，作点P2关于AC所在直线的对称点P3，作P3关于BD所在直线的对称点P4，作点P4关于AC所在直线的对称点P5，作P5关于BD所在直线的对称点P6，……，按如此操作下去，则点P2019的坐标为（　 ）

A．（0，2）B．（2，0）C．（0，－2）D．（－2，0）

2、如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．

请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：

（1）△ABC中，若∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，AB=a，则BC=______；

（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=______．

（3）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：

EA=______．

（4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于