江苏高考数学模拟试题数学之友.doc

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2018届江苏高考数学模拟试题

（2）

南师大《数学之友》

数学I

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求

1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．

4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

参考公式：

球体的体积公式：

V＝，其中为球体的半径．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合，，

则▲．

2．已知复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为▲．

3．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．成绩分组为[50，60），[60，70），…，[90，100]，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为▲．

0.030

0.025

0.015

0

50

60

70

80

90

100

成绩

（第3题）

4．在标号为0，1，2，4的四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为

奇数的概率是▲．

5．运行如图所示的流程图，则输出的结果是▲．

6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S15＝30，a7＝1，则S10的值为．

7．已知是上的奇函数，且时，，则不等式的

解集为▲．

8．在直角坐标系xOy中，双曲线x2－＝1的左准线为l，则以l为准线的抛物线的标准方程是▲．

9．四面体中，平面，平面，且，则四面体的外接球的表面积为▲.

10.已知，且，，则▲.

11．在平面直角坐标系xOy中，若直线：

与圆：

相切，

且圆心在直线的上方，则的最大值为▲．

12．正五边形ABCDE的边长为，则的值为▲．

13．设，e是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于6，则a的取值范围为▲．

14．若对任意实数x和任意θ∈[0，]，恒有（x+2sinθcosθ）2+（x+asinθ+acosθ）2≥，

则实数a的取值范围是▲．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

如图，在直角坐标系xOy中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且.将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记A（x1，y1），B（x2，y2）.

（1）若，求；

（2）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D，

记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，若，

求角的值.

.

16.（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，BC=BB1，D为AB的中点.

（1）求证：

BC1∥平面A1CD；

（2）求证：

BC1⊥平面AB1C.

17．（本小题满分14分）

某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为，其中为探测器在静水中行进时的速度，为行进时的时间（单位：

小时），为常数，为能量次级数．如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km．

（1）求关于的函数关系式；

（2）（i）当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；

（ii）当能量次级数为3时，试确定的大小，使该探测器消耗的能量最少．

18．（本小题满分16分）

如图，椭圆的右焦点为F，右准线为l，过点F且与x轴不重合的直线交椭圆于A，B两点，P是AB的中点，过点B作BM⊥l于M，连AM交x轴于点N，连PN.

（1）若，求直线AB的倾斜角；

（2）当直线AB变化时，求PN长的最小值.

19．（本小题满分16分）

设函数，其图象与轴交于，两点，且x1＜x2．

（1）求的取值范围；

（2）证明：

（为函数的导函数）；

（3）设点C在函数的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记，

求的值．

20．（本小题满分16分）

已知数列{}满足

（1）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；

（2）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式．

数学Ⅱ（附加题）注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。

本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。

3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位

置作答一律无效。

如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：

几何证明选讲

O

A

E

B

C

l

D

（第21题A）

如图，圆O的直径AB＝8，C为圆周上一点，BC＝4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．

B．选修4—2：

矩阵与变换

已知矩阵M＝的一个特征值为3，求M的另一个特征值及对应的一个特征向量．

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

已知点P是曲线C：

（为参数，）上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，求点P的直角坐标．

D．选修4—5：

不等式选讲

已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求的最小值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

某小组共10人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．

（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A的发生的概率；

（2）设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．

23．（本小题满分10分）

在集合1，2，3，4，…，中，任取（，，N*）元素构成集合．若的所有元素之和为偶数，则称为的偶子集，其个数记为；若的所有元素之和为奇数，则称为的奇子集，其个数记为．令．

（1）当时，求，，的值；

（2）求．

2018高考数学模拟试题

（2）

数学I答案

一、填空题答案

1.{0}2.33.1204.5.

6.－57.（0，1）8.y2＝2x9.10.

11.

解：

因为直线：

与圆：

相切，所以

又因为圆心在直线的上方，所以，所以，

所以的最大值为．

12.6

解：

利用在上的投影得，=6．

13．

解：

①

时，，所以在单调递减，且，所以在有一个小于0的零点．

时，在单调递增，因为，所以在有一个小于1的零点．

因此满足条件．

②

（1）时，在单调递减，，所以在上没有零点．又因为，故在上也没有零点.因此不满足题意．

（2）时，在上单调递减，在上单调递增，

，所以在上没有零点．又因为，故在上也没有零点.因此不满足题意．

（3）时，，在上没有零点，零点只有2，满足条件．

（4）时，在上没有零点，在上有两个不相等的零点，且和为a，故满足题意的范围是．

综上所述，a的取值范围为．

14.a≤或a≥

解：

因为对任意、都成立，

所以，（x+2sinθcosθ）2+（x+asinθ+acosθ）2≥（2sinθcosθ-asinθ-acosθ）2，

（2sinθcosθ-asinθ-acosθ）2≥，

即对任意θ∈[0，]，都有或，

因为,

当θ∈[0，]时，，

所以，同理a≤.

因此，实数a的取值范围是a≤或a≥．

二、解答题答案

15.解：

（1）由三角函数定义，，，

因为，，所以.

.

（2）依题意，，，

所以，

依题意，，化简得，

因为，则，所以，即.

16.证明：

（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，

四边形ACC1A1为矩形，

设AC1∩A1C=G，则G为AC1中点，

D为AB中点，连DG，则DG∥BC1.

因为DG平面A1CD，BC1平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD.

（2）由

（1）四边形BCC1B1为矩形，又BC=BB1，

则四边形BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C，

由

（1）CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AC，

又AC⊥BC，则AC⊥平面BCC1B1，AC⊥BC1，

因此，BC1⊥平面AB1C.

17.解：

（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为，

又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4km/h，即，

所以，即，；

（2）（ⅰ）当能量次级数为2时，由

（1）知，，

（当且仅当即km/h时，取等号）（9分）

（ⅱ）当能量次级数为3时，由

（1）知，，

所以得，

当时，；当时，，

所以当时，．

答：

（ⅰ）该探测器消耗的最少能量为；

（ⅱ）km/h时，该探测器消耗的能量最少．

18.解

（1）显然，当AB⊥x轴时，易得，不合题意.所以可设AB的方程为，与椭圆方程联立得，

设A（x1，y1）,B（x2，y2）,则，

，

因此，解得，所以直线AB的倾斜角等于或.

（2）因为椭圆的右准线的方程为，由

（1），当AB不垂直于x轴时，点，所以直线AM的方程为，令y=0，得

=.

当AB⊥x轴时，易得，所以无论AB如何变化，点N的坐标均为.

因此，当AB⊥x轴时，PN取最小值，PNmin=.

19.解

（1）．

若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾．

所以，令，则．

当时，，是单调减函数；

当时，，是单调增函数.

于是当时，取得极小值．