完整新人教版九年级下册相似全章教案.docx

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完整新人教版九年级下册相似全章教案

初三数学九（下）第二十七章：

相似

第1课时图形的相似

（1）

教学目标:

1、知识目标：

从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．

2、能力目标：

在相似图形的探究过程中，让学生运用“观察—比较—猜想”分析问题．

3、情感目标：

在探究相似图形的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．

重点、难点

教学重点:

认识图形的相似．

教学难点:

理解相似图形概念．

一.创设情境

活动1观察图片，体会相似图形

同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？

你能对观察到的图片特点进行归纳吗？

（课本图27.1-1）（课本图27.1-2）

师生活动:

教师出示图片，提出问题；学生观察，小组讨论；师生共同交流．得到相似图形的概念．

教师活动:

什么是相似图形?

学生活动:

共同交流,得到相似图形的概念．

学生归纳总结：

（板书）

形状相同的图形叫做相似图形

在活动中,教师应重点关注：

学生用数学的语言归纳相似图形的概念；

活动2

思考：

如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?

学生活动:

学生观察思考，小组讨论回答；

二.通过练习巩固相似图形的概念

活动3

练习问题：

1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？

2．如图，图形a～f中，哪些是与图形

（1）或

（2）相似的？

教师活动:

教师出示图片，提出问题；

学生活动:

学生看书观察,小组讨论后回答问题.

教师活动:

在活动中,教师应重点关注：

在练习中检验学生对相似图形的几何直觉．

三.小结巩固

活动3

（1）谈谈本节课你有哪些收获．

（2）课外作业

1、下列说法正确的是（）

A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.

B．商店新买来的一副三角板是相似的.

C．所有的课本都是相似的.

D．国旗的五角星都是相似的.

2、填空题

1、形状的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。

课后反思：

第2课时图形的相似

（2）

教学目标：

1、知识目标：

（1）理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比；

（2）掌握判定三角形相似的预备定理。

2、能力目标：

培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力。

增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。

3、情感目标：

加强学生对新知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。

教学重点、难点：

重点：

相似三角形的概念及判定的预备定理

难点：

当两个相似三角形部分重叠时，判别它们的对应角和对应边以及例1的证明

教学过程：

一、类比联想，动手实验

1．回顾全等三角形的含义（两个三角形形状、大小相同，能够完全重合），全等三角形所具有的性质（对应边、对应角相等）。

2．

让学生动手画一个三角形及三角形的一条中位线，教师提问：

三角形的中位线所截的三角形与原三角形的形状有什么关系？

大小呢？

各角有什么关系？

各边有什么关系？

二、直观演示，展示新知A/

1．相似三角形的定义C’

将上面所截得的三角形移出,记为B/A

A’B’C’，原三角形记为ABC，因此有

A=A’

B=B’，

C’,BC

即两个三角形的对应角相等，对应边成比例。

这样的两个三角形虽然大小不一定相等，但形状相同。

定义：

对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。

2．表示方法：

教师介绍表示法，同时强调应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上（可以以此与全等符号及表示作一比较，加强记忆）。

3．相似三角形的性质：

相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

4．相似比：

相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数）。

强调：

A’B’C’与ABC的相似比是k，则ABC与A’B’C’的相似比是

。

练习：

判断下列命题是否正确。

错误的，举出反例；正确的，用定义加以说明：

⑴所有的等腰三角形都相似。

⑵所有的等边三角形都相似。

⑶所有的直角三角形都相似。

⑷所有的等腰直角三角形都相似。

教师示范一个规范过程，让学生模仿，学会用定义来解决问题。

1．例1。

如图，在ABC中，A

三、范例研讨，迁移练习：

DE

DE//BC，D。

E分别在AB，AC上。

求证：

△ADE∽△ABCBC

F

师生共同探讨：

（1）目前要证明两个三角形相似只能根据什么？

（定义）

（2）根据定义证明两个三角形相似，要证明满足哪两个条件？

（对应角相等，对应边成比例）

（3）△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？

为什么？

（4）对应边成比例，由“DE//BC”的条件可得到怎样的比例式？

（5）本题的关键归结为“只要证明什么”？

（6）根据以前的推论，如何把DE移到BC上去，即应添怎样的辅助线？

（EF//AB）

教师板演证明过程。

2．如图，DE//BC，D、E分别在BA、CA的延长线上，DE

△ADE与△ABC相似吗？

A

——相似

CB

由此得到预备定理：

3．定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

4．例2，如图，D为△ABC的AB边上的一点，过点D作C

DE//AC，交BC于E，已知BE：

EC=2：

1，AC=6CM，

求DE的长。

5、练习：

P122页1、2、3

6、课后拓展（机动）：

（1）如图甲，已知ABD∽ACB，则AD：

AB=：

，

AB：

BD=：

，如果AD=2，DC=1，那么AB=

（2），如图乙，在ABC中，AD是角平分线，求证：

。

A

A

D

BCBDC

图甲图乙

四、归纳总结、布置作业：

1．今天学习了相似三角形的定义，它既是三角形相似的判定，又是相似三角形的性质，同时可知全等三角形是相似三角形的特殊情况，其相似比是1；

2．平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

课后反思：

第3课时相似三角形的判定

（1）

教学目的:

1、会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC∽△

;

2、知道当△ABC与△

的相似比为k时，△

与△ABC的相似比为1/k．

3、理解掌握平行线分线段成比例定理

4、在平行线分线段成比例定理探究过程中，让学生运用“操作—比较—发现—归纳”分析问题．

5、在探究平行线分线段成比例定理过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．

重点、难点

教学重点:

理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．

教学难点:

掌握平行线分线段成比例定理应用．

二.创设情境

谈话复习引入课题

（1）相似多边形的主要特征是什么？

（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．

在△ABC与△A′B′C′中，

如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且

．

我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．

反之如果△ABC∽△A′B′C′，

则有∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且

．

（3）问题：

如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？

教师活动:

明确

（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。

（2）用符号“∽”表示相似三角形如△ABC∽△

;

（3）当△ABC与△

的相似比为k时，△

与△ABC的相似比为1/k．

活动1（教材P40页探究1）

如图27.2-1）,任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5.分别量度l3,l4,l5.在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?

任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?

教师活动:

教师出示探究，提出问题．

学生活动:

学生操作画图，量度AB,BC,DE,EF的长度并计算比值，小组讨论，共同交流,回答结果．

师生活动:

提出问题，AB︰AC=DE︰（），BC︰AC=（）︰DF，师生共同交流．强调“对应线段的比是否相等”

师生归纳总结：

（板书并朗读）

平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

在活动中,师生应重点关注：

平行线分线段成比例定理中相比线段同线；

活动2平行线分线段成比例定理推论

思考：

1、如果把图27.2-1中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图27.2-2

（1），，所得的对应线段的比会相等吗？

依据是什么？

2、如果把图27.2-1中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图27.2-2

（2），所得的对应线段的比会相等吗？

依据是什么？

学生活动:

学生观察思考，小组讨论回答；

师生归纳总结：

（板书并朗读）

平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段的比相等

二.通过练习巩固平行线分线段成比例定理及其推论

活动3

练习问题：

如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.

教师活动:

教师提出问题；

学生活动:

学生阅题,小组讨论后解答问题.

教师活动:

在活动中,教师应重点关注：

在练习中检查学生对“平行线分线段成比例定理及推论”理解

三.小结巩固

活动4

（1）谈谈本节课你有哪些收获．“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．

（2）相似比是带有顺序性和对应性的：

如△ABC∽△A′B′C′的相似比

，那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是

，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；

（3）作业

1．如图，△ABC∽△AED,其中DE∥BC，找出对应角并写出对应边的比例式．

2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．

课后反思：

第4课时相似三角形的判定

（2）

教学目的:

1、初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．

2、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．

3、在探索三角形相似的判定方法过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．

重点、难点

教学重点:

掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似。

教学难点:

（1）三角形相似的条件归纳、证明；

（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．

一.创设情境

活动1

教师活动:

复习提问：

（1）两个三角形全等有哪些判定方法？

SSSSASASAAAS

（2）我们学习过哪些判定三角形相似的方法？

定义、（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。

（3）相似三角形与全等三角形有怎样的关系？

相似比k=1时，两个相似三角形全等

活动2

提出探讨问题：

1、如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？

2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？

3、（教材P42页探究2）

任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？

这两个三角形相似吗？

与同学交流一下，看看是否有同样的结论。

教师活动:

带领学生画图探究并取k=1.5；

学生活动:

学生细心观察思考,小组讨论后回答问题

教师活动:

（1）提出问题：

怎样证明这个命题是正确的呢？

（2）教师带领学生探求证明方法．（已知、求证、证明）

如图27.2-4，在△ABC和△A′B′C′中，

，求证△ABC∽△A′B′C′

师生【归纳】（板书并朗读）

三角形相似的判定方法1如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．

活动3

教师活动:

1、提出探讨问题：

可否用类似于判定三角形全等的SAS方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？

2、出示（教材P44页探究3）

学生活动:

学生自主画图，展开探究活动．

师生【归纳】（板书并朗读）

三角形相似的判定方法2两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．

二、例题讲解

活动4

教师活动:

教师出示题目，提出问题（教材P44例1）

解：

略

归纳分析：

判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，画草图，看是否符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法中，对于

（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于

（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．

三、课堂练习

活动5

教材P45．1、2、3．

四、回顾与反思．

活动6

（1）谈谈本节课你有哪些收获．

（2）布置课外作业：

教材P54．1、2

（1）

（2）、3．

课后反思：

第5课时相似三角形的判定（3）

教学目的:

1、经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．

2、掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．

3、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．

重点、难点

教学重点:

三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”

教学重点：

三角形相似的判定方法3的运用．

一.创设情境

活动1

教师活动:

复习提问：

（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？

（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，

那么△ACD与△ABC相似吗？

说说你的理由．

（3）如

（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，

那么△ACD与△ABC相似吗？

——引出课题．（也可用两副三角板引出课题）

2、教材P46的探究3．

师生【归纳】（板书并朗读）

三角形相似的判定方法3如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

二、例题讲解

活动2

教师活动:

教师出示题目，提出问题（教材P46例2）．教师带领学生探求证明

分析：

要证PA•PB=PC•PD，需要证

，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．

学生活动:

学生自主阅读（教材47页），展开探究活动

三、课堂练习

活动3教材P48的练习1、2．

四、回顾与反思．

活动4

（1）谈谈本节课你有哪些收获．

（2）布置课外作业：

教材P54．2（3）、4．

第6课时相似三角形应用举例

（1）

教学目的:

1、进一步巩固相似三角形的知识．

2、能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．

3、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．

重点、难点

1、重点：

运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．

2、难点：

灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．

一.创设情境

活动1

教师活动：

提出问题：

1、学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？

你有什么办法测量？

师生活动：

学生小组讨论；师生共同交流．

2、世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．

在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：

“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！

”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？

二、例题讲解

活动2（教材P48页例3——测量金字塔高度问题）

教师提出问题：

例3：

据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．

如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？

）

师生活动：

学生小组讨论；师生共同交流，画出示意图：

通过观察示意图，使学生建立起相似图形的几何直觉，并能明确表述求OA的方法中蕴含的数学知识。

分析：

根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．

解：

略（见教材P48-49页）

活动3课堂练习（见教材P50页）

1．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米?

（在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）

活动4（教材P49例4——测量河宽问题）

教师提出问题：

问题：

估算河的宽度，你有什么好办法吗？

例4如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．

师生活动：

学生先小组讨论；教师在这一活动中重点关注学生们探究的主动性，特别应关注那些平时学习有一定困难的学生，他们往往在解决实际问题时，显示出创造的能力，这也是树立这些学生自信心的一个契机，然后通过例4进一步完善学生们的想法，让学生体会用数学知识解决实际问题的成就感和快乐．．

分析：

设河宽PQ长为xm，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有

，即

．再解x的方程可求出河宽．

解：

略（见教材P49）

活动5课堂练习（见教材P50页）（平行外截法）

2、如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB。

三、回顾与反思．

活动6

（1）谈谈本节课你有哪些收获．

利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题．在活动中教师应重点关注：

学生参与活动的热情及语言归纳数学结论的能力；

学生对于相似多边形的性质的运用的掌握情况．

（2）布置课外作业：

教材P55．9、10．

第7课时相似三角形应用举例

（2）

教学目的:

1、进一步巩固相似三角形的知识．

2、能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．

3、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．

重点、难点

1．重点：

运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．

2．难点：

灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．

一.创设情境

活动1（教材P50例5——盲区问题）

教师提出问题：

例5已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树根部的距离BD=5m．一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？

分析：

（见教材P49页）

解：

略（见教材P49-50页）

教师活动：

重点引导学生认真体会这一生活实际中常见的场景，借助图形把这一实际中常见的场景，抽象成数学图形，利用相似的性质解决这一实际问题，图形可以滞后给出，先让学生经历这一抽象的过程．如果学生对于如何用数学语言表述有一定的困难，教师应与学生一起认真板书解答过程．

活动2课堂练习

小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？

三、回顾与反思．

活动3

（2）谈谈本节课你有哪些收获．

利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题．在活动中教师应重点关注：

学生参与活动的热情及语言归纳数学结论的能力；

学生对于相似多边形的性质的运用的掌握情况．

（2）布置课外作业：

教材P55页．11、16．

第8课时位似

（1）

教学目标

1、了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．

2、掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．

重点、难点

1、重点：

位似图形的有关概念、性质与作图．

2、难点：

利用位似将一个图形放大或缩小．

一、课堂引入

1．观察：

在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？

2．问：

已知：

如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2．应该怎样做？

你能说出画相似图形的一种方法吗？

二、例题讲解

例1（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．

分析：

位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．

解：

图

（1）、

（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图

（1）中的点A，图

（2）中的点P和图（4）中的点O．（图（3）中的点O不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形）

例2（教材P61例题）把图1中的四边形ABCD缩小到原来的

．

分析：

把原图形缩小到原来的

，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比1∶2．

作法一：

（1）在四边形ABCD外任取一点O；

（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；

（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，

使得

；

（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．

问：

此题目还可以如何画出图形？