届高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布126离散型随机变量的均值与doc.docx

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届高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布126离散型随机变量的均值与doc

§12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布

最新考纲

考情考向分析

1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.

2.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

3.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单问题.

以理解均值与方差的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，考查二项分布、正态分布的均值与方差.掌握均值与方差、正态分布的性质和求法是解题关键.高考中常以解答题形式考查、难度为中等偏上.

基础知识自主学习

1.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量尤的分布列为P（X=必=a（/=1,2,…厂）.

（1）均值

府=旳+心+・・・+心,均值以刻画的是X取值的“屮心位置”.

（2）方差

DX=ElX—ED彳为随机变量才的方差，它刻画了随机变量尤与其均值ET的平均偏离程度.

2.二项分布的均值、方差

若X~B（n,p）,则EX=Q2,DX=np{\—p）.

3.正态分布

（1）4艸（〃，/）,表示才服从参数为〃和*的正态分布.

（2）止态分布密度函数的性质：

1函数图像关于直线“对称；

2。

（。

>0）的大小决定函数图像的“胖”“瘦”；

3户（“一o

P（“一2。

<心+2<7）=95.4%；

P（U—3。

）=99.7%.

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“或“X”）

（1）随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.（V）

（2）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.（V）

（3）正态分布中的参数P和。

完全确定了正态分布，参数P是正态分布的均值，。

是正态分布的标准差.（V）

（4）一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.（V）

（5）均值是算术平均数概念的推广，与概率无关.（X）

题组二教材改编

2.己知*的分布列为

X

-1

0

1

P

1

1

1

2

3

6

设K=2X+3,则刃的值为（）

7

A.-B.4

C.-1D.1

答案A

解析EX=_*+£=_*，

27

EY=E（^X+^=2加~3=_§+3=§.

3.甲、乙两工人在一天生产小出现的废品数分别是两个随机变其分布列分别为:

0

1

2

3

P

0.4

0.3

0.2

0.1

Y

0

1

2

P

0.3

0.5

0.2

若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人屮技术较好的是

答案乙

解析刃=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1.

刃=0X0.3+1X0.5+2X0.2=0.9,

*：

EY

・•・乙技术好.

4.已知随机变量才服从正态分布M3,1）,且P（X>2c—1）=PCKc+3），则c=•

4

答案3

解析T4艸（3,1），•:

正态曲线关于x=3对称，

且"a>2c—l）=/tKc+3）,

4

.•.2c—l+o+3=3X2,・°・

题组三易错自纠

5.己知随机变量/+7=8,若4〃（10,0.6）,则〃"，〃/7分别是（）

A.6,2.4B.2,2.4

C.2,5.6D.6,5.6

答案B

解析由已知随机变量尤+刀=8,所以〃=8—尤

因此，求得7=8—方丸=8—10X0.6=2,

〃/7=（—l）2〃T=10X0.6X0.4=2.4.

6.设随机变量§服从正态分布NS,/）,函数f{x）=x+Ax+<没有零点的概率是寺则〃等于（）

A.1B.2C.4D.不能确定

答案C

解析当函数f{x）=x+Ax+<没有零点时，4=16—4§〈0,即§>4,根据正态曲线的对称性，当函数f（x）=x+4x+没有零点的概率是+时，"=4.

题型分类深度剖析

真题典题深度剖析畫点难点多维探究

题型一离散型随机变量的均值.方差

命题点1求离散型随机变量的均值、方差

典例某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现口己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试;否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.

（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（2）设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X求尤的分布列和均值.

解

（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为〃，

小/、5431

（2）依题意得，/所有可能的取值是1,2,3.

又/V=l）=6,m=2）=-X-=-,A/=3）=-X-Xl=-.

所以尤的分布列为

X

1

2

3

P

1

1

2

6

6

3

1195

所以£T=1X-7+2X-+3X-=-

6632

命题点2己知离散型随机变量的均值与方差，求参数值

典例设袋子中装有曰个红球，方个黄球，c个蓝球，且规定：

取出一个红球得1分，取出一

个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.

（1）当白=3,b=2,c=l时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记

随机变量§为取出此2球所得分数之和，求§的分布列；

（2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量〃为取出此球所得分数.若上5

55

=§,Dn=§,求自：

方：

c.

解

（1）由题意得§=2,3,4,5,6,

斗/■°、3X31/「2X3X21

口攵Pl§=2）=氐=?

戶（§=3）=6X6=十

H§=4）=2X3X1+2X2=2

、》幻6X618

§

2

3

4

5

6

P

1

1

5

1

1

4

3

18

9

36

所以§的分布列为

（2）由题意知n的分布列为

n

1

2

3

p

a

b

c

a+b+c

a+b+c

a+b+c

Dn=（1—少•訐—訴•显兀+（3—少•定兀=£，化简得

2日一方一4q=0,

日+4力一llc=O.

解得臼=3c,b=2c,故白：

方：

c=3：

2：

1.

思维升华离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略

（1）求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.

（2）由己知均值或方差求参数值.对依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程（组），解方程（组）即可求出参数值.

（3）由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.跟踪训练（2017•青岛一模）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：

滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为£首1小时以上且不超过2小时离开的概率

46

19

分别为刁亍两人滑雪时间都不会超过3小时.

（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量J求§的分布列与均值EJ方差〃

解

（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，

甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为（1—扌一*）=+，（1—

两人都付0元的概率为—

121

两人都付40元的概率为^=2X3=?

两人都付80元的概率为

111

/i=4X6=24,

则两人所付费用相同的概率为

I.1.1.15

1232432412*

（2）设甲、乙所付费用之和为§的可能取值为0,40,80,120,160,则

/£小111

H§=0）=4X6=24，”（§=40）=4X3+2X6=?

P（§=80）=4X6+2X3+4X6=12,

…,11121

P（§=120）=2X6+4X3=4，

―\111p（§=160）=-X-=—

所以§的分布列为

§

0

10

so

120

160

P

1

1

5

1

1

24

4

12

4

24

^=0X^+40X1+80X^+120X1+160X^80.

]]5]]

Dg=（0-80）2X^+（40-80）2X^+（80~80）2X^+（120~80）2x|+（160-80）取占=

4000

3•

题型二均值与方差在决策中的应用…•师生共研

典例计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量乳年入流量：

一年内上游来水与库区降水之和.单位：

亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.

（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；

（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量才限制,并有如下关系：

年入流量尤

40<^80

80WXW120

Q120

发电机最多

可运行台数

1

2

3

若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

解

（1）依题意，得q=/«40CK80）=霜=0.2,

35

灿=/«80W/W120）=—=0.7,

5刃="0>120）=士=0.1.

由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为

/?

=C：

（1—卩）°+C：

（1—口）3pi

=

（1）"+4乂角仪寺=0.9477.

（2）记水电站年总利润为『（单位：

万元）.

1安装1台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润r=5ooo,E（y）

=5000X1=5000.

2安装2台发电机的情形.

依题意，当40CK80时，一台发电机运行，此时r=5000-800=4200,因此/\7=4200）

=/J（40

户（卩=10000）=户（Q80）=a+a=0.&由此得卩的分布列如下：

Y

4200

10000

P

0.2

0.8

所以，EY=\200X0.2+10000X0.8=8840.

3安装3台发电机的情形.

依题意，当40〈从80时，一台发电机运行，此时7=5000-1600=3400,因此/J（7=3400）=A40<^80）=Q=0.2；当80W肢120时，两台发电机运行，此时7=5000X2-800=9200,因此P（卩=9200）=P（80WXW120）=以=0.7；当脸120时，三台发电机运行，此时卩=5000X3=15000,因此P（/=15000）=P（/120）=g=0.1,由此得卩的分布列如下：

Y

3400

9200

15000

P

0.2

0.7

0.1

所以，EY=3400X0.2+9200X0.7+15000X0.1=8620.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.

思维升华随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际屮用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

跟踪训练（2017-贵州调研）某投资公司在2018年年初准备将1000万元投资到“低碳”项冃上，现有两个项目供选择：

项目一：

新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%,也可能亏损15%,

79

且这两种情况发生的概率分别为§和§；

项目二通信设备.据市场调研，投资到该项目上，至U年底可能获利50%,可能损失30%,也

311

可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分別为丁，§和為.

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.

解若按“项目一”投资，设获利为北万元，则北的分布列为

X.

300

—150

p

7

2

9

9

72

・••脑=300X§+（-150）X-=200.

若按“项目二”投资，设获利为龙万元，则显的分布列为

X2

500

-300

0

p

3

1

5

3

15

311

・••必=500X2+（-300）X-+0X—=200.

53lb

79

^=（300-200）2X-+（-150-200）2X-

=35000,

3ii

DX2=（500-200）2x1+（-300-200）2X-+（0-200）2X—=140000.

53!

□

:

.EXx=EX^DXKDX"

这说明虽然项冃一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.

综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.

题型三正态分布的应用师生共研

典例（2017•全国I）为了监控某种零件的一条生产线的生产过稈，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：

cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布M“，；）.

（1）假设生产状态正常，记*表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（〃一36〃+3。

）之外的零件数，求户（Q1）及尤的均值；

（2）—天内抽检零件屮，如果出现了尺寸在（〃一3。

，〃+3o）Z外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

10.269.91

经计算得匚=

脸=9.

10.13

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

为抽取的第,个零件的尺寸，（=1,2,…，16.

用样本平均数匚作为〃的估计值〃，用样本标准差s作为。

的估计值。

利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？

剔除（“一3。

，“+3”）之外的数据，用剩下的数据估计“和。

（精确到0.01）.

附：

若随机变量Z服从正态分布Mp,a2）,贝!

］戶（〃一3。

〈％似+3”）=0.9974,0.9974%0.9592,p0.0085.09.

解

（1）抽取的一个零件的尺寸在（〃一3。

，”+3。

）之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在（〃一3”,“+3。

）之外的概率为0.0026,故4/（16,0.0026）.

因此户（Q1）=1—户（/=0）=1-0.997416^0.0408.

£¥=16X0.0026=0.0416.

（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（〃一3。

，”+3。

）之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（〃一3。

，〃+3。

）之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.

（ii）由匸=9.97,s^O.212,得“的估计值为〃=9.97,”的估计值为。

=0.212,由

样本数据可以看出有一个零件的尺寸在（“一3”，〃+3刀）之外，因此需对当天的生产

过程进行检查.

剔除（“一3。

，〃+3。

）之外的数据9.22,剩下数据的平均数为（16X9.97-9.22）Id

=10.02.

因此口的估计值为10.02.

16

工£=16X0.21F+16X9.972=1591.134.

2=1

剔除（口一3。

，〃+3。

）之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为2x（1591.134—

9.222-15X10.022）=^0.008,

因此。

的估讣值为p0.0085.09.

思维升华解决正态分布问题有三个关键点：

（1）对称轴才=口；

（2）标准差。

；（3）分布区间•利用对称性可求指定范围内的概率值；由“，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3少特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.

跟踪训练从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图:

fi

0.033……

溜:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

（）.009

（）.008

0.002—•…~

016517518519520525225235质址指标值

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s"同一组中的数据用该组区间的

屮点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N5/）,其屮〃近似为样本平均数匚，八近似为样本方差空

1利用该正态分布，求"（187.8〈么212.2）；

2某用户从该企业购买了100件这种产品，记*表示这100件产品中质量指标值位于区间

（187.8,212.2）的产品件数，利用①的结果，求以

附：

*\/150^12.2・

若Z〜N3,；）,则戶（"一火彳〃+。

）=0・6826,户（口一2火彳口+2。

）=0.9544.解

（1）抽収产品的质量指标值的样本平均数匚和样本方差孑分别为x=170X0.02+180X0.09+190X0.22+200X0.33+210X0.24+220X0.08+230X0.02

=200,

s=（一30）叹0.02+（一20）2><0・094-（-10）2X0.22+0X0.33+102X0.24+202X0.08+302X0.02=150.

（2）①由⑴知,Z-M200,150）,即2^M200,12.22）.

从而A187.8

=/«200—12.2〈弘200+12.2）=0.6826.

②由①知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826,

依题意知4/（100,0.6826）,

所以功=100X0.6826=68.26.

答题模板■

离散型随机变暈的均值与方差问题

典例（12分）为冋馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：

每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.

（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：

1顾客所获的奖励额为60元的概率；

2顾客所获的奖励额的分布列及均值；

（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

规范解答

解

（1）设顾客所获的奖励额为尤

rlr[1

1依题意，得"（460）=古

Ctz

即顾客所获的奖励额为60元的概率为g[2分]

2依题意，得尤的所有可能取值为20,60.

]C?

]

P（尤=60）=刁”（才=20）=己=刁

故尤的分布列为

X

20

60

P

2

1

2

[4分]

所以顾客所获的奖励额的均值为

£T=20X#+60X*=40.[5分]

（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，

所以，先寻找均值为60的可能方案.

对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择（10,10,10,50）的方案,

因为60元是面值之和的最大值，

所以均值不可能为60元；

如果选择（50,50,50,10）的方案,

因为60元是面值Z和的最小值，

所以均值也不可能为60元；

因此可能的方案是（10,10,50,50）,记为方案1.

对于面值由20元和40元组成的情况，

同理可排除（20,20,20,40）和（40,40,40,20）的方案，

所以可能的方案是（20,20,40,40）,记为方案2.

以下是对两个方案的分析.

对于方案1,即方案（10,10,50,50）,

设顾客所获的奖励额为X，

则尤的分布列为

20

60

100

P

1

2

1

6

3

6

[7分]

21

北的均值为^=20X-+60X-+100X-=60,

龙的方差为DX、=（20-60）2x|+（60-60）2x|+（100-60）嗨=屮.[9分]对于方案2,即方案（20,20,40,40）,

设顾客所获的奖励额为鬼，

则尤的分布列为

10

60

80

P

丄

2

丄

6

3

6

[10分]

121

必的均值为Z;^=40X-+60X-+80X-=60,

636

21400

乳的方差为DX1=（40-60）2X-+（60-60）2X-+（80-60）2Xt=-T.

6363

rh于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.[12分]

答题模板

求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤

第一步：

确定随机变竝的所有可能取值；

第二步：

求每一个可能取值所对应的概率；

第三步：

列出离散型随机变量的分布列；

第四步：

求均值和方差；

第五步：

根据均值、方差进行判断，并得出结论（适用于均值、方差的应用问题）；

第六步：

反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范性.

课时作业

P基础保分练

1.（2018•太原模拟）随机变量尤的分布列如下:

X

-1

0

1

p

a

b

c

其中日，方，c成等差数列.若EX=^则刃的值是（）

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A-