届高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布126离散型随机变量的均值与doc.docx

1、届高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布126离散型随机变量的均值与doc 12. 6离散型随机变量的均值与方差、正态分布最新考纲考情考向分析1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均 值、方差的概念.2. 借助直观直方图认识正态分布曲线的特点 及曲线所表示的意义.3. 会求简单离散型随机变量的均值、方差， 并能解决一些简单问题.以理解均值与方差的概念为主，经常以频率 分布直方图为载体，考查二项分布、正态分 布的均值与方差.掌握均值与方差、正态分 布的性质和求法是解题关键.高考中常以解 答题形式考查、难度为中等偏上.基础知识自主学习1. 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量尤的分布

2、列为P(X=必=a(/=1, 2,厂).(1) 均值府=旳 + 心 + 心,均值 以刻画的是X取值的“屮心位置”.(2) 方差DX= ElX ED彳为随机变量才的方差，它刻画了随机变量尤与其均值ET的平均偏离程度.2. 二项分布的均值、方差若 XB(n, p),则 EX=Q2, DX=npp).3. 正态分布(1) 4艸(，/),表示才服从参数为和*的正态分布.(2) 止态分布密度函数的性质：1 函数图像关于直线“对称；2 。(。0)的大小决定函数图像的“胖” “瘦”；3 户(“ 一oX o) =68. 3%；P(“一2。心+2 7)=95. 4%；P（U3 。）=99. 7%.题组一思考辨析

3、1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“ 或“X”）（1） 随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.（V ）（2） 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越 小，则偏离变量的平均程度越小.（V ）（3） 正态分布中的参数P和。完全确定了正态分布，参数P是正态分布的均值，。是正态 分布的标准差.（V ）（4） 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从 或近似服从正态分布.（V ）（5） 均值是算术平均数概念的推广，与概率无关.（X ）题组二教材改编2. 己知*的分布列为X-101P111236设K=2X+

4、3,则刃的值为（）7A. - B. 4C. -1 D. 1答案A解析 EX= _*+= _*，2 7EY=E（X+ =2加3=_+3=.3. 甲、乙两工人在一天生产小出现的废品数分别是两个随机变其分布列分别为:0123P0.40.30.20. 1Y012P0. 30.50. 2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人屮技术较好的是答案乙解析 刃=0X0. 4 + 1X0. 3 + 2X0. 2 + 3X0. 1 = 1.刃 =0X0. 3+1X0. 5 + 2X0. 2 = 0. 9,*：EY2c1) =PCKc+3)，则c= 4答案3解析 T4艸(3, 1)，:正态曲线关于x=3对称，且a2c

5、l)=/tKc+3),4.2cl + o+3 = 3X2,题组三易错自纠5. 己知随机变量/+ 7=8,若 4(10,0.6),则，/7分别是( )A. 6, 2. 4 B. 2,2.4C. 2, 5. 6 D. 6, 5. 6答案B解析 由已知随机变量尤+刀=8,所以=8尤因此，求得 7=8 方丸=810X0. 6=2,/7 = (l)2T=10X0. 6X0. 4 = 2.4.6. 设随机变量服从正态分布NS, /),函数fx)=x+Ax+ 没有零点的概率是寺 则等于()A. 1 B. 2 C. 4 D.不能确定答案C解析 当函数fx)=x+Ax+ 4,根据正态曲线的对 称性，当函数f(x

6、)=x+4x+ 没有零点的概率是+时，=4.题型分类深度剖析真题典题深度剖析畫点难点多维探究题型一离散型随机变量的均值.方差命题点1求离散型随机变量的均值、方差典例某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王 到该银行取钱时，发现口己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用 的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试; 否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1) 求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2) 设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X求尤的分布列和均值.解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为，小

7、 /、 5 4 3 1(2)依题意得，/所有可能的取值是1,2,3.又/V=l)=6, m=2)=-X-=-, A/=3)=-X-Xl=-.所以尤的分布列为X123P1126631 1 9 5所以 T=1 X-7+2X-+3X-=-6 6 3 2命题点2己知离散型随机变量的均值与方差，求参数值典例 设袋子中装有曰个红球，方个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.(1) 当白=3, b=2, c=l时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；(2) 从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个

8、球，记随机变量为取出此球所得分数.若上55 5=, D n =,求自：方：c.解(1)由题意得=2,3, 4, 5, 6,斗 / 、 3X3 1 / 2X3X2 1口攵 Pl =2)=氐=?戶( =3) = 6X6 =十H=4)=2X3X1 + 2X2=2、 幻 6X6 1823456P115114318936所以的分布列为 (2)由题意知n的分布列为n123pabca+b+ca+b+ca+b+cDn =(1少訐訴显兀+(3少定兀=，化简得2 日一方一4q=0,日+4 力一llc=O.解得臼=3c, b=2c,故白：方：c=3 ： 2 ： 1.思维升华离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题

9、策略(1) 求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用 均值、方差公式直接求解.(2) 由己知均值或方差求参数值.对依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)， 解方程(组)即可求出参数值.(3) 由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断. 跟踪训练(2017 青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪 促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时 收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运 动，设甲、乙不超过1

10、小时离开的概率分别为首1小时以上且不超过2小时离开的概率4 61 9分别为刁亍两人滑雪时间都不会超过3小时.(1) 求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2) 设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 J求的分布列与均值EJ方差解(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0, 40, 80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为(1扌一*)=+，(1两人都付0元的概率为1 2 1两人都付40元的概率为 = 2X3=?两人都付80元的概率为1 1 1/i=4X6=24,则两人所付费用相同的概率为I . 1.1.1 512 3 24 3 24 12* (2)设甲、乙所付费用之和为的可能

11、取值为0, 40, 80, 120, 160,则/ 小 1 1 1H =0) =4X6=24， ”(=40) =4X3 + 2X6=?P( =80) =4X6+2X3+4X6=12, ,1112 1P( =120) =2X6 + 4X3=4， 1 1 1 p( =160) =-X-=所以的分布列为010so120160P1151124412424=0X+40X1+80X+120X1+160X80. 5 Dg = (0-80)2X+ (40-80)2X+ (8080)2X+ (12080)2x|+ (160 - 80)取占=4 0003 题型二均值与方差在决策中的应用师生共研典例 计划在某水库建

12、一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库 年入流量乳年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其 中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量才限制, 并有如下关系：年入流量尤40120) =士=0. 1.由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为/?= C： (1

13、卩)+C： (1 口) 3pi=(1)+4乂角仪寺=0.947 7.(2)记水电站年总利润为(单位：万元).1 安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润r=5ooo, E(y)=5 000X1=5 000.2 安装2台发电机的情形.依题意，当40CK80时，一台发电机运行，此时r=5 000-800 = 4 200,因此/7=4 200)= /J(40AK80)=pi = 0. 2；当 &80 时，两台发电机运行，此时 7=5 000X2=10 000,因此户(卩=10 000)=户(Q80)=a+a=0. &由此得卩的分布列如下：Y4 200

14、10 000P0.20.8所以，EY= 200X0.2+10 000X0.8=8 840.3 安装3台发电机的情形.依题意，当40从80时，一台发电机运行，此时7=5 000-1 600 = 3 400,因此/J(7=3 400) = A400 094- (- 10)2X0. 22 + 0X0. 33 + 102X0. 24 + 202X0. 08 + 302X0. 02 = 150.(2)由知,Z-M200, 150),即 2M200, 12. 22).从而 A187. 8X212. 2)=/200 12. 2弘200+12. 2)=0. 682 6.由知，一件产品的质量指标值位于区间(18

15、7.8, 212. 2)的概率为0. 682 6,依题意知 4/(100, 0. 682 6),所以 功=100X0. 682 6=68.26. 答题模板 离散型随机变暈的均值与方差问题典例(12分)为冋馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定： 每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和 为该顾客所获的奖励额.(1) 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：1 顾客所获的奖励额为60元的概率；2 顾客所获的奖励额的分布列及均值；(2) 商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标

16、有面值10元和50元 的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能 符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适 的设计，并说明理由.规范解答解(1)设顾客所获的奖励额为尤rlr 11 依题意，得(460)=古Ct z即顾客所获的奖励额为60元的概率为g 2分2 依题意，得尤的所有可能取值为20,60. C?P(尤 =60)=刁”(才=20)=己=刁故尤的分布列为X2060P2124分所以顾客所获的奖励额的均值为T=20X#+60X*=40. 5 分(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以，先寻找均值为6

17、0的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10, 50)的方案,因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50, 50, 50, 10)的方案,因为60元是面值Z和的最小值，所以均值也不可能为60元；因此可能的方案是(10, 10, 50, 50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20, 20, 20, 40)和(40, 40, 40, 20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析.对于方案1,即方案(10, 10, 50, 50),设顾客所获的奖励额为X，则尤的分布

18、列为2060100P1216367分2 1北的均值为 = 20X-+60X-+100X-=60,龙的方差为 DX、=（20-60）2x|+（60-60）2x|+ （100-60）嗨=屮.9 分 对于方案2,即方案(20, 20, 40, 40),设顾客所获的奖励额为鬼，则尤的分布列为106080P丄2丄63610 分12 1必的均值为 Z;=40X-+60X-+80X-=60,6 3 6, 2 1 400乳的方差为 DX1= (40-60)2X-+(60-60)2X-+ (80-60)2Xt=-T.6 3 6 3rh于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该 选择方案2. 12分答题模板求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变竝的所有可能取值；第二步：求每一个可能取值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：根据均值、方差进行判断，并得出结论(适用于均值、方差的应用问题)；第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范性.课时作业P基础保分练1. （2018 太原模拟）随机变量尤的分布列如下:X-101pabc其中日，方，c成等差数列.若EX=则刃的值是（）4 5A-