最新概率知识点总结数学一优秀名师资料.docx
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最新概率知识点总结数学一优秀名师资料
概率知识点总结－数学一
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1
1.1.“随机试验”是指试验的结果都具有同等发生的可能性吗?
答：
不是的.所谓“随机试验”,是相对于“确定性试验”而言的,它是指一个试验可以在相同条件下重复进行,而且每次试验的结果事先不能预言．出现上述错误看法的原因,
往往是把“随机”两字理解为“机会均等”．
1.2.A、B、C为任意三事件,是否可以推出（A+B）-C=A+（B-C）？
答：
不可以推出．如掷一颗骰子试验,观察出现的点数,记事件A={2},B={点数小于4},C={偶数},
有，
，
故（A+B）-C?
A+（B-C）．
产生这种错误的原因往往是想当然,不假思索把数的运算律用到事件的运算中来.
1.3.A、B为任意二事件,是否有A+B-A=B？
答：
不是.若AB?
Ф,则A+B-A=（A+B）-A
.
1.4.事件的和、差运算是否可以“去括号”或交换运算次序,如
B+（A-B）=B+A-B=B-B+A=
+A=A．
答：
不可以．设事件A、B关系如图,显然应有B+（A-B）=A+B．
1.5.事件的运算是否可以“移项”,如由A+B=C,A=C-B,A-B=D,
A=B+D．
答：
不可以．但是增加一些条件便可以移项了．有下述结果:
（1）若AB=
且A+B=C,则A=C-B;
（2）若,且A-B=D,则A=B+D．
1.6.若A=B,则A、B为同一事件,对吗?
1
答：
不对．举一反例说明：
两个灯泡串联,记A={A灯亮},B={B灯亮},因为A不发生
必导致B不发生，故;又B不发生必导致A不发生因此A=B,但A、B,
并非同一事件.
1.7.若A=B,则A、B同时发生或A、B同时不发生,对吗?
答：
对.
1.8.“事件A、B都发生”与“A、B都不发生”是对立事件吗?
答：
不是的.
1.9.A
A,…,A构成完备事件组,当且仅当同时满足12n
（1）A+A+…+A=Ω;12n
（2）AA…A=,.上述说法对吗?
12n
答：
不对.因为AA…A=Φ与A,A,…,A互不相容不等价.12n12n
1.10.“事件A、B、C两两互不相容”与“ABC=,”是不是一回事?
并说明它们的联系.
答：
不是一回事.
“两两互不相容”-----其中任意两个事件无公共部分,即AB=Φ,AC=,,BC=,同时成
立”;
“ABC=,”-----三事件A、B、C无公共部分.
可能的联系是:
“两两互不相容”,“ABC=,”,反之则未必成立.
1.11.设A、B为两事件,
（1）若AB=A+B,则A与B应满足什么关系;
（2）若,则A与B应满足什么关系.
答：
（1）由知,
又互不相容,从而有:
.
故,从而有;仿上述推导可得,从而有;
于是得A=B.
（2）由有
2
.上述两式表明A与B是互为对立事件,即
?
2
2.1.判断:
P（A）=P（B）的充要条件是A=B.
答：
错误.事实上,由A=B可以推出P（A）=P（B）,
但P（A）=P（B）不能推出A=B.例如在掷币试验中,记A={正面朝上},B={反面朝上},我们已知P（A）=P（B）=1/2,但显然A?
B.
2.2.若A、B互不相容,则求A、B同时发生的概率是否可用公式:
.
答：
不可以.对任意两个事件,第一个等号成立,第二个等号也成立,但第三个等号
是不成立的.因为若A、B互不相容,一般是不互斥的（除非A=
,B=Ω;或A=Ω,
B=,）.
故.
总的说来,当A、B互不相容时,完全没有必要去建立什么求P（AB）的公式,因为这
时一定有
P（AB）=P（Ф）=0.
2.3.P（A）=0的充要条件是A=,,对吗?
答：
不对.因为A=可以推出P（A）=0,故A=是P（A）=0的充分条件,但非必要条,,
件（即由P（A）=0不能推出A=,）.如连续型随机变量,在某个点取值的概率为0,但这个随机变量取这个值这个事件却不是不可能事件.
2.4.P（B）=1的充要条件是B=Ω,对吗?
答：
不对.道理同第2.3.题.
2.5.若P（ABC）=0,是否可以推出:
P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）.答：
不可以.对任意事件A、B、C,恒有
P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）.当且仅当A、B、C两两互不相容时才有
P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）.
现由题设P（ABC）=0,并不能推出A、B、C两两互不相容,因此原命题不成立.
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2.6.若A、B互不相容,则是否有P（A-B）=P（A）-P（B）.
答：
不成立.我们可以证明,对任意两个事件A、B,恒有
P（A-B）=P（A）-P（AB）
对上式,若A、B互不相容,并不能推出P（AB）=P（B）,从而知原命题不成立.2.7.对于任意两个事件A、B,恒有P（AB）?
P（A）+P（B）,等号当且仅当A、B都不发生
时成立,上述结论是否正确?
答：
上述结论的前一半是正确的,但后一半是不正确的.事实上,由概率的加法定理
P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）?
0,
则P（AB）?
P（A）+P（B）.
但是,显然,等号当且仅当P（A+B）=0时成立.因为,当A、B都不发生时,A、B至少一
个发生是不可能的,即A+B=
,故P（A+B）=0.
反之,当P（AB）=P（A）+P（B）时,则P（A+B）=0,由此并不能推出一定有A+B=,（即A、B都不发生）.
综合上述,知原命题不成立.
2.8.设A、B、C为三个事件,满足条件:
P（AB）=P（A）P（B）,.证明:
P（AC）?
P（A）P（C）.
证明:
由知,又,
可得A、B、C三事件之间的关系如图所示.从而有,且AB与互不相容,于是
.
2.9.对于古典概型，因为样本空间中的基本事件没有顺序，因此计算基本事件总数时，
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只能用组合而不能用排列,上述说法正确吗?
答：
不正确.首先要指出，问题本身的提法是含糊的.以同时掷两枚硬币的试验为例，
它的基本事件是：
{e}={正,正}，{e}={正,反}，{e}={反,正}，{e}={反,反}.所谓1234“基本事件没有顺序”是指{e}、{e}、{e}、{e}没有顺序，还是指“正”与“反”没有顺序？
1234
此其一.古典概型与排列组合有什么必然联系？
此其二.不少学生有一个错误的看法，似
乎计算古典概型的概率必须用排列组合，不需排列组合计算的概率就一定不是古典概
型。
更有甚者，把概率论与排列组合等同起来,这些都是不正确的.
2.10.下列解法正确与否？
8个足球队中，有2个强队，先任意将8个队分为两组（每组4个队）进行比赛.这两个强队被分在一个组内的概率是多少？
解:
两个强队要分在一组，只要从剩下的6个队中任取2个队和这两个强队拼成一组就行了，共有种方法，故所求的概率为.
答:
不正确.产生错误的原因是分子分母所在的样本空间不一致，事实上
分子：
一种分组法是一个基本事件；
分母：
每4个队的一种组合是一个基本事件.
2.11.已知P（A）=0.8,P（A-B）=0.2,求.
答：
（2/5.提示,由此推出1-P（B|A）=1/4,再利用.）
2.12.甲、乙二人进行一种游戏,规则如下:
每掷一次（均匀的）硬币,正面朝上时甲得1分乙得0分;反面朝上时甲得0分乙得1分;直到谁先得到规定的分数为赢,赢者获奖品.当游戏进行到甲还差2分、乙还差3分就分别达到规定的分数时,因故游戏停止.问此时如何分奖品给甲、乙才算公平.
答：
为了确保公平,设想把游戏进行到能分出输赢为止.在所得到的各种可能结果中
看甲赢和乙赢的这两个事件所包含的基本事件个数各是多少,按甲、乙所赢的概率之比分奖品是公平的.
为了能分出输赢还要掷硬币2+3-1=4次（少于4次,有些情形分不出输赢）,所有可能结果即基本事件总数为2
4=16,这些基本事件的发生是等可能的.甲赢即正面朝上至少2次,甲赢的这个事件包含的基本事件个数为
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故P（甲赢）=11/16.乙赢即反面朝上至少3次,乙赢的有利场合数为,
故P（乙赢）=5/16.按11:
5分奖品,对甲乙二人是公平的
?
3
3.1.对任意两个事件A、B,是否恒有P（A）?
P（A|B）.
答：
不是.有人以为附加了一个B已发生的条件,就必然缩小了样本空间,也就缩小了概率,从而就一定有P（A）?
P（A|B）,这种猜测是错误的.事实上,可能P（A）?
P（A|B）,也可能P（A）?
P（A|B）,下面举例说明.
在0,1,…,9这十个数字中,任意抽取一个数字,令
A={抽到一数字是3的倍数};B
={抽到一数字是偶数};B={抽到一数字大12
于8},那么
P（A）=3/10,P（A|B）=1/5,P（A|B）=1.因此有P（A）＞P（A|B）,P（A）＜121
P（A|B）.2
3.2.以下两个定义是否是等价的.
定义1.若事件A、B满足P（AB）=P（A）P（B）,则称A、B相互独立.
定义2.若事件A、B满足P（A|B）=P（A）或P（B|A）=P（B）,则称A、B相互独立.
答：
不是的.因为条件概率的定义为
P（A|B）=P（AB）/P（B）或P（B|A）=P（AB）/P（A）
自然要求P（A）?
0,P（B）?
0,而定义1不存在这个附加条件,也就是说,P（AB）=P（A）P（B）对于P（A）=0或P（B）=0也是成立的.事实上,若P（A）=0由0?
P（AB）?
P（A）=0可知P（AB）=0故P（AB）=P（A）P（B）.
因此定义1与定义2不等价,更确切地说由定义2可推出定义1,但定义1不能推出定义2,因此一般采用定义1更一般化.
3.3.对任意事件A、B,是否都有P（AB）?
P（A）?
P（A+B）?
P（A）+P（B）.
答：
是的.由于P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）（*）
因为P（AB）?
0,故P（A+B）?
P（A）+P（B）.
由P（AB）=P（A）P（B|A）,因为0?
P（B|A）?
1,故P（AB）?
P（A）;
同理P（AB）?
P（B）,从而P（B）-P（AB）?
0,由（*）知P（A+B）?
P（A）.
原命题得证.
3.4.在引入条件概率的讨论中,曾出现过三个概率:
P（A|B）,P（B|A）,P（AB）.从事件的
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角度去考察,在A、B相容的情况下,它们都是下图中标有阴影的部分,然而从概率计算
的角度看,它们却是不同的.这究竟是为什么?
答：
概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别:
P（A|B）的计算基于附加样本空间Ω;B
P（B|A）的计算基于附加样本空间Ω;A
P（AB）的计算基于原有样本空间Ω.
3.5.在n个事件的乘法公式：
P（AA…A）=P（A）P（A|A）P（A|AA）…P（A|AA…A）12n121312n12n-1
中,涉及那么多条件概
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