最新高中数学解题技巧复习教案5向量与三角函数名师优秀教案.docx
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最新高中数学解题技巧复习教案5向量与三角函数名师优秀教案
高中数学解题技巧复习教案（5）：
向量与三角函数
第五讲向量与三角函数
【考点透视】
1（理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算（
2（掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角
函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义（3（掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式（4（能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（5（了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函
数和函数y=Asin（ωx+ψ）的简图，理解A、ω、ψ的物理意义（
6（会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx,arcosx,arctanx表示（7（掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形
的计算问题（
8（掌握向量与三角函数综合题的解法（
常用解题思想方法
1（三角函数恒等变形的基本策略。
22
（1）常值代换:
特别是用“1”的代换，如1=cosθ+sinθ=tanx?
cotx=tan45?
等。
222222
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项:
sinx+2cosx=（sinx+cosx）+cosx=1+cosx;
，,,,,配凑角:
α=（α+β）,β，β=,等。
22
（3）降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
22a，b（5）引入辅助角。
asinθ+bcosθ=sin（θ+），这里辅助角所在象限由a、,,
bb的符号确定，角的值由tan=确定。
,a
（6）万能代换法。
巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。
2
2（证明三角等式的思路和方法。
（1）思路:
利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法:
综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3（证明三角不等式的方法:
比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用
正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4（解答三角高考题的策略。
（1）发现差异:
观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系:
运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化:
选择恰当的公式，促使差异的转化。
【例题解析】
考点1（三角函数的求值与化简
此类题目主要有以下几种题型:
?
考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.
?
考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值的问题.
?
考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识.
,,2cos2x,,,4,,例1.已知函数f（x）=.,sin（x，）2
3（?
）求f（x）的定义域;（?
）若角a在第一象限且cos,afa,求（）.5
命题目的:
本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识.
,,,,解:
（?
）由sinx，,0得x,,k,即x,k,（k,Z）,,,,,222,,
,,故f（x）的定义域为x,R|x,k,,k,Z.,,,2,,
234,,2（?
）由已知条件得sina,1,cosa,1,,.,,55,,
,,,,1，2cosacos，sin2asin,,1，2cos（2a,）44,,4从而,f（a）,,cosasin（a，）2
21cos2asina2cosa2sinacosa14，，，,,2（cosa，sina）,.,5cosacosa
310,例2.已知，,,,,tan+cosaaa.,43
（?
）求的值;tana
aaaa225sin8sincos11cos8，，,（?
）求.2222的值,2sin（）a,4
命题目的:
本小题主要考查同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，
考查运算和推理能力.
10解答过程:
（?
），？
tancosaa，,,3
12？
，，,3tan10tan30aa，解得或.tan3a,,tana,,3
13,.？
,tan.a？
,？
,,aa,1tan0,34
1（II），？
tana,,3
aaaa225sin8sincos11cos8，，,2222？
2sin（）aa,4
aaa1cos，225（sincos）4sin68，，，,,a222,
sincosaa,
4tan35a，,.,,tan14a,
例3
113,,已知<<<,,cos,,,cos（,,,）,,且02714
tan2,,（?
）求的值.（?
）求.命题目的:
本题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技
能.
21,143,,2解:
（?
）由，得,,,cos,0,,sin1cos1,,,,,,,,,7772,,
sin437,2tan24383,，?
，于是,,，,tan43,tan2,,,,,22cos71,1tan47,,143,，，
,（?
）由，得0,,,0,,,,,,,22
2133313,,2又?
，?
,,,,,,,,,,sin1cos1,,,,cos，，，，，，,,141414,,
,,,,,,由得:
，，
11343331,,，,coscossinsin,,,,,,coscos,,,,,,,，，,，，，,，，，，，，，，7147142
所以,,3
,sin（,2）2例4.已知求θ的值.3sin,,,cos,,1,,,（0,,）,cos（，）,,
命题目的:
本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识..
cos23sin,,,cos,,1解:
由已知条件得.,cos,
323sin,,2sin,,0即.解得.sin,,或sin,,02
2,,3,或,,,由0,θ,π知，从而.,sin,332
考点2（解三角形
此类题目以考查正弦定理，余弦定理，两角差的正弦公式，同角三角函数间的关系式和诱导公式等基本知识，以及考查基本的运算为主要特征.解此类题目要注意综合应用上述知识.
典型例题
?
ABC例5（已知的周长为，且（21，sinsin2sinABC，,
1?
ABCC（I）求边的长;（II）若的面积为，求角的度数（ABsinC6命题目的:
本小题考查正弦定理、余弦定理和三角函数等基础知识，考查基本运算能力及分
析解决问题的能力.
解:
（I）由题意及正弦定理，得，ABBCAC，，,，21
，两式相减，得（AB,1BCACAB，,2
111?
ABC（II）由的面积，得，BCAC,BCACCCsinsin,326
222ACBCAB，,cosC,由余弦定理，得2ACBC
22（）21ACBCACBCAB，,,,C,60，所以（,,22ACBC
例6.
3如图，在中，，，（,ABCAC,2BC,1cosC,4
（1）求的值;AB
（2）求的值.，，sin2A，C
命题目的:
本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等
基础知识，考查基本运算能力及分析解决问题的能力.解答过程:
（?
）由余弦定理，得
3222ABACBCACBCC,，,2..cos,，,，，，,412212.4那么，AB,2.
372（?
）由，且得由正弦定理，得0,,,C,sin1cos.CC,,,cosC,44
ABBC,,sinsinCA
BCCsin1452解得.所以，.由倍角公式sinA,,cosA,AB88
57，sin2sin2cosAAA,,,16
92且，故cos212sinAA,,,16
37.sin2sin2coscos2sinACACAC，,，,，，8
13?
ABC例7（在中，，（tanB,tanA,54
CBC（?
）求角的大小;（?
）若边的长为，求边的长（17AB
命题目的:
本题主要考查三角函数的诱导公式、正弦定理及两角和公式等基础知识，考查运算能力.
13，45？
CAB,,，π（）解:
（?
），？
,，,,,,tantan（）1CAB（131,45
3？
0,,Cπ又，（？
Cπ4
sin1A,tanA,,，π,,,（?
）由且，A,0，cos4A,,,2,,22,sincos1AA，,，,
ABBC17sinA？
（，（得sinA,？
,BCAB217sinsinCAsinC
考点3（求三角函数的定义域、值域或最值
此类题目主要有以下几种题型:
?
考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.
?
考查利用三角函数的性质,诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.
?
考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力.
典型例题
11例8.已知函数,则的值域是（）fx（）fxxxxx（）（sincos）sincos,，,,22
，，，，，，222A.B.C.D.,1,1,,,1,,,1,,,1,,,,,,222，，，，，，
命题目的:
本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.
,,222解法1:
（）=fxxxxfxsin（）sin（）,,.，,,？
当时（）=故选C.222444
112,,解法2:
当时xfxACDxfx,,,,,,,1.,,,.（）=知不可能.又由时（）=知选C.24222
例9（
πf（x）,a、b设函数.其中向量.a,（m,cosx）,b,（1，sinx,1）,x,R,且f（）,22
f（x）（?
）求实数的值;（?
）求函数的最小值.m
命题目的:
本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性
来求最值的能力.
πππ,,,,fxmxx（）（1sin）cos,,，，abm,1解:
（?
），，得（fm,，，,1sincos2,,,,222,,,,
ππ,,,,（?
）由（?
）得，当时，fxxxx（）sincos12sin1,，，,，，sin1x，,,？
,,,44,,,,fx（）的最小值为（12,
12sin
（2）,,x4例10.已知函数，fx（）,cosx
（?
）求的定义域;fx（）
4（?
）设是第四象限的角，且，求的值.f（）,,,,,tan3
命题目的:
本题考查利用三角函数的性质,诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.
cos0x,解答过程:
（?
）由得.xkkZ,，,（）,2
,,故的定义域为，xxkkZ,fx,，,,，，,,2,,
43（?
）因为且第四象限的角，,,,,,tan,cos,55
43所以,,,,,sin,cos,55
12sin
（2）,,,4f,，，,cos,
2212（sin2cos2）,,,,22,cos故,1sin2cos2,，,,,cos,22cos2sincos,,,,,cos,,,2cossin，，,,14,.5
f（x）,asin,x，bcos,x（,,0）T,,例11设的周期，最大值，f（）,412
b
（1）求、、的值;,a
（2）.若,、、,为方程f（x）,0的两根，,、、,终边不共线，求tan（,，,）的值命题目的:
方程组的思想是解题时常用的基本思想方法;在解题时不要忘记三角函数的周期
性.
22f（x）,a，bsin（,x，,）？
T,,？
,2？
f（x）解答过程:
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