高等数学复习提纲同济大学下册.docx
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高等数学复习提纲同济大学下册
高等数学复习提纲
一、考试题型
1.填空题6题
2.计算题8题
二、知识点
1.平面及其方程。
例题:
一平面过点(101)且平行于向量a(211)和b(110)
试求这平面方程
解所求平面的法线向量可取为
ijk
nab211ij3k
110
所求平面的方程为
(x1)(y0)3(z1)0即xy3z40
2.空间直线及其方程。
例题:
求过点(203)且与直线
x
3x
2y
5y
4z
2z
7
1
0
0
垂直的平面方
程
解所求平面的法线向量n可取为已知直线的方向向量即
ijk
n(1,2,4)(3,5,2)12416i14j11k
352
所平面的方程为
16(x2)14(y0)11(z3)0
即16x14y11z650
例题:
求过点(312)且通过直线
x
5
4y3z
21
的平面方程
解所求平面的法线向量与直线
x
5
4y3z
21
的方向向量
s1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上
所以所求平面的法线向量与向量s2(430)(312)(142)也
是垂直的因此所求平面的法线向量可取为
ijk
nss5218i9j22k
12
142
所求平面的方程为
8(x3)9(y1)22(z2)0
即8x9y22z590
3.旋转曲面。
例题:
将zOx坐标面上的抛物线z
25x绕x轴旋转一周求
所生成的旋转曲面的方程
解将方程中的z换成
y得旋转曲面的方程y
2z25x
2z2
2z29绕z轴旋转一周求所生
例题:
将zOx坐标面上的圆x
成的旋转曲面的方程
解将方程中的x换成
x2y2得旋转曲面的方程
x
2y2z29
4.多元复合函数求导,隐函数求导。
y
例题:
求函数zex的全微分
y1y
zz
y
解dzdxdyedxexdy
x2
xyxx
例题:
设zu2lnv而
2lnv而
x
uv3x2y求
y
z
x
z
y
解
z
x
z
u
u
x
z
v
v
x
2ulnv
1
y
2
u
v
3
2
2x3x
ln(3x2y)
y2(3x2y)
y2
zzuzv
yuyvy
2ulnv(
2
xu
)
2v
y
(
2)
2
2x
3
y
ln(3x
2y)
(3x
2
2x
2y)
2
y
x2y而xsintyt3求
例题:
设ze
dz
dt
解
dy
dze2cotse2
(2)3t2
zdxz
xyxy
dtxdtydt
x
e
2ytt2esint2t3tt
(cos6)(cos6
2
)
xxy20求
例题:
设sinye
dy
dx
解令F(xy)sinye
xxy2则Fxexy2Fycosy2xy
dyFx
eyye
222x
dx
Fcosy2xycosy
y
2xy
例题:
设
y
ln22求
xyarctan
x
dy
dx
解令
y
F(,)ln22arctan则
xyxy
x
F
x
1
2
x
2
y
2
2x
2
x
2
y
1
1
(
y
x
2
)
(
y
2
x
)
x
2
x
y
y
2
F
y
1
2
x
2
y
2
2y
2
x
2
y
1
1
y
2
()
x
1
x
y
2
x
x
y
2
dy
F
x
x
y
dx
Fx
y
y
5.重积分(直角坐标,极坐标)。
例题:
22其中D{(xy)||x|1|y|1}
(xy)d
D
解积分区域可表示为D1x11y1于是
D
111
1
(22dxxydy
xy)d([xyydx
2)23]1
2
11
3
11
1
1
2)
(2xdx
1
3
22
3]
[xx
33
1
1
8
3
例题:
xcos(xy)d其中D是顶点分别为(00)(0)和()的三角形
D
闭区域
解积分区域可表示为D0x0yx于是
D
xcos(xy)dxdx
0
x
cos(x
0
y)dy
0
xx
[sin(xy)]dx
0
x(si2nxsinx)dx
00
1
xd(co2sxcoxs)
2
11
x(co2sxcoxs)|(cos2xcosx)dx
0
22
0
3
2
例题:
利用极坐标计算下列各题
(1)
22
xd
y
e
2y24所围成的闭区域
,其中D是由圆周x
D
解在极坐标下D{()|0202}所以
222
xdedd
y
e
DD
2
0
d
2
e
0
2
d
1
244
(e1)(e
2
1)
y
(3)arctand其中D是由圆周x
2y24x2y21及直线y0yx所围成x
D
的第一象限内的闭区域
解在极坐标下D{(,)|0,12}所以
4
D
y
arctand
x
D
arctan(tan)dddd
D
4
0
2
dd4
10
d
23
3
d
164
5.求曲顶柱体体积。
例题:
求由曲面zx
22y2及z62x2y2所围成的立体的体积
解由
22
zx2y消去z得x2+2y2=62x2y2即x2y2=2
22
z62xy
故立体在xOy面上的投影区域为x2y22因为积分区域关于
x及y轴均对称并且被积函数关于xy都是偶函数所以
V[(6222)(222)]
xyxyd
(22
63x3y)d
DD
12
0
2
22x2
2223dx
dx(2xy)dy8(2x)6
00
例题:
计算以xOy平面上圆域x
2y2ax围成的闭区域为底
2y2为顶的曲顶柱体的体积
而以曲面zx
解曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D{(x
y)|x
2y2ax}
在极坐标下D,0cos}所以
{(,)|a
22
V
x
2
y
2
4
acos
a3
(2224
xy)dxdyddcosda
224
0432
ax22
6常数项级数的审敛法。
例题:
判定下列级数的收敛性
(1)
1
25
1
36
(n
1
1)(
n4)
1
2
(n1)(n4)n
解因为1
limlim
1
2
n5n4nn
2n
而级数
1
2
nn收敛故所给级数收敛
1
sinsinsinsin
(2)2
23n
222
解因为
lim
n
sin
n
2
1
n
2
lim
n
sin
n
2
n
2
1
而级数
n
n收敛故所给级数收敛
12
3
2
3
3
3
n
3
23n
(1)2
122232n
n
3
u
nn
解级数的一般项为n
2
因为
lim
n
u
n
u
n
1
lim
n
(n
n
3
1)
1
n
2
1
n
n2
n
3
lim
n
3
2
n
n
1
3
2
1
所以级数发散
(2)1
n
2
n
n
3
解因为
2
u
n
(n1)
31n1
lim2
n1
limlim()
n12
u3n3n
nnn
n
1
3
1
所以级数收敛
(3)
n1
n
2n!
n
n
解因为
lim
n
n1
n
un
2(n1)!
nn
n1
lim2lim()
n1n
u(n1)2n!
n1
nn
n
2
e
1
所以级数收敛
(3)
n
n
1
tan
n
2
1
解因为
(n1)tan
u
n2
2
n1
n
limlimlim
nun
nn
nn
tan
n1
2
1
n
2
n
2
2
1
1
2
1
所以级数收敛
例题:
判定下列级数是否收敛?
如果是收敛的是绝对收敛
还是
条件收敛?
(1)
1
1
2
1
3
1
4
解这是一个交错级数
n
(
1
n
1)
1
(1)1
n1
u其中
n
n1
n
un1
n
因为显然unun+1并且lim0
u所以此级数是收敛的
n
n
又因为
n
|(
1
n
1)
11
u是p1的p级数是发散的
|
n
n
n1
所以原级数是条件收敛的
(2)
n
(
1
nn
1
1)
n
3
1
解
n
|(
1
nnn
1
1)|
n1n
33
n1
1
n1
n1
3
因为1
lim
nn
3
n1
3
所以级数
n
n是收敛的
n1
3
1
从而原级数收敛并且绝对收敛
7.幂级数。
例题:
求下列幂级数的收敛域
1x
2
2
x
2
(
n
1)
n
2
x
n
1
2
a(n1)2
nn1
解1lim
(1)1
lim||lim
n故收敛半径为
nn
2
an
n
2
n
R1
因为当x1时幂级数成为
n
(
2
n
1)
1
n是收敛的当
2
x1时幂级数成为
1
1
2
nn也是收敛的所以收敛域为
1
[11]
n
(
1
n
1)
2n
x
2n
1
1
2n1x
n
解这里级数的一般项为u
(1)21
n
n
因为
u
2n3
121|
xn
n2
lim||lim|x
n由比值审敛法
n
2n1
u2n3x
n
21即|x|1时幂级数绝对收敛当x21即|x|1时幂
当x
级数发散故收敛半径为R1
因为当x1时幂级数成为
n
1
n
(1)
n是收敛的当
121
x1时幂级数成为
n
(
1
n
1)
1
1
21
n也是收敛的所以收敛
域为[11]
8.函数展开成幂级数。
例题:
将下列函数展开成x的幂级数并求展开式成立的
区间
(1)sin2x
11
解因为sin2xcos2x
22
2nx
n
cos
(1)
xx()
(2n)!
n0
所以
2
sin
2n
2n12n
11(2x)2x
xx()
(1)
(1)
nn
22(2n)!
(2n)!
n0n1
例题:
将函数f(x)cosx展开成)
(x的幂级数
3
解
cosxcos[(x)]cos(x)cossin(x
3333
)sin
3
3
1xx
3
cos()sin(
232
3
)
1
2
n0
n
(
1)
(2n)!
(x
)
3
n
(1)
2)
n2n
3
(x
2(2n1)!
3
n0
1
11321
n2nxnx5
(1)[(x)()]()
2(2n)!
3(2n1)!
3
n0
例题:
将函数
f()1展开成(x3)的幂级数
x
x
解
n
11111
(
x3x33x330
1
n
3
nx3x
n
1)()(1
33
3
1)
即
n
11
(
x30
n
1)
nxx
3
n
()(0
3
6)
例题:
将函数
1
f展开成(x4)的幂级数
()2
x
x3x2
解
f
(x)2
x
1
3x
2
1
x
1
1
x
2
而
1
x
13
1
(x
4)
1
3
1
1
x
3
4
1
3
n
(
0
x
4nx
)(|
3
4
3
|1)
n
1(x4)
即(71)
1x
xnn
13
0
1
x
22
1
(x
4)
1
2
1
1
x
2
4
1
2
n
x
(
0
2
4nx4
)(|
2
|1)
n
(x4)
1
即(62)
1x
xnn
22
0
因此
f(x)
nx
1(x4)(
22
n1n
x3x23
n0n0
n
4)
1
n
(
0
1
n
2
1
n
1x)(6x
n1
)(4
3
2)
注意复习书上习题
刘华