高等数学复习提纲同济大学下册.docx

1、高等数学复习提纲同济大学下册高等数学复习提纲一、考试题型1填空题 6 题2计算题 8 题二、知识点1平面及其方程。例题：一平面过点 (1 0 1)且平行于向量 a (2 1 1)和 b (1 1 0)试求这平面方程解 所求平面的法线向量可取为 i j kn a b 2 1 1 i j 3k 1 1 0所求平面的方程为(x 1) (y 0) 3(z 1) 0 即 x y 3z 4 02空间直线及其方程。例题：求过点 (2 0 3)且与直线x3x2y5y4z2z7100垂直的平面方程解 所求平面的法线向量 n 可取为已知直线的方向向量 即 i j kn (1, 2, 4) (3, 5, 2) 1

2、2 4 16i 14j 11k 3 5 2所平面的方程为16(x 2) 14(y 0) 11(z 3) 0即 16x 14y 11z 65 0例题：求过点 (3 1 2)且通过直线x54 y 3 z2 1的平面方程解 所求平面的法线向量与直线x54 y 3 z2 1的方向向量s1 (5 2 1)垂直 因为点 (3 1 2)和(4 3 0)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量 s2 (4 3 0) (3 1 2) (1 4 2)也是垂直的 因此所求平面的法线向量可取为i j kn s s 5 2 1 8i 9 j 22k1 21 4 2所求平面的方程为8(x 3) 9(y 1) 22(z

3、 2) 0即 8x 9y 22z 59 03旋转曲面。例题： 将 zOx 坐标面上的抛物线 z2 5x 绕 x 轴旋转一周 求所生成的旋转曲面的方程解 将方程中的 z换成y 得旋转曲面的方程 y2 z2 5x2 z2 2 z2 9 绕 z 轴旋转一周 求所生例题：将 zOx 坐标面上的圆 x成的旋转曲面的方程解 将 方 程 中 的 x 换 成x2 y2 得 旋 转 曲 面 的 方 程x2 y2 z2 94. 多元复合函数求导，隐函数求导。y例题： 求函数 z ex 的全微分y 1 yz zy解 dz dx dy e dx e xdyx 2x y x x例题： 设 z u 2ln v 而2ln

4、v 而xu v 3x 2y 求yzxzy解 zxzuu xzvvx2u ln v1 y2uv322x 3xln(3x 2y)y2 (3x 2y)y2 z z u z vy u y v y2u ln v ( 2x u )2 vy(2)22x3yln(3x2y)(3x22x2y)2yx 2y 而 x sin t y t3 求例题： 设 z edz dt解dydz e 2 c ots e 2 ( 2) 3t2z dx zx y x ydt x dt y dtxe2y t t2 esint 2t3 t t(cos 6 ) (cos 62)x xy2 0 求例题： 设 sin y edydx解 令 F(

5、x y) sin y ex xy2 则 Fx ex y2 Fy cos y 2xydy F xe y y e2 2 2 xdxF cosy 2xy cosyy2xy例题： 设yln 2 2 求x y arctanxdy dx解 令yF( , ) ln 2 2 arctan 则x y x yxFx12x2y22x2x2y11( yx2)(y2x)x2xyy2Fy12x2y22y2x2y11y2( ) x1 xy2xxy2dyFxxydxF xyy5.重积分（直角坐标，极坐标） 。例题：2 2 其中 D ( x y)| |x| 1 |y| 1(x y )dD解 积分区域可表示为 D 1 x 1 1

6、 y 1 于是D1 1 11( 2 2 dx x y dyx y )d ( x y y dx2 ) 2 3 121 131 1112 )(2x dx132 23 x x3 31183例题：x cos(x y)d 其中 D 是顶点分别为 (0 0) ( 0) 和( )的三角形D闭区域解 积分区域可表示为 D 0 x 0 y x 于是Dx cos(x y)d xdx0xcos(x0y)dy0x xsin(x y) dx0x( s i 2nx si nx)dx0 01xd( c o 2sx c o xs)21 1x( c o 2sx c o xs)| ( cos2x cosx)dx02 2032例题

7、： 利用极坐标计算下列各题(1)2 2x dye2 y2 4 所围成的闭区域，其中 D 是由圆周 xD解 在极坐标下 D ( )|0 2 0 2 所以2 2 2x d e d dyeD D20d2e02d12 4 4(e 1) (e21)y(3) arctan d 其中 D 是由圆周 x2 y2 4 x2 y2 1 及直线 y 0 y x 所围成 xD的第一象限内的闭区域解 在极坐标下 D ( , )|0 ,1 2 所以4D yarctan d xDarctan(tan ) d d d dD402d d 41 0d2 3 3d1 645求曲顶柱体体积。例题：求由曲面 z x2 2y2 及 z

8、6 2x2 y2 所围成的立体的体积解 由2 2z x 2y 消去 z 得 x2+2 y2=6 2x2 y2 即 x2 y2=22 2z 6 2x y故立体在 xOy 面上的投影区域为 x2 y2 2 因为积分区域关于x 及 y 轴均对称 并且被积函数关于 x y 都是偶函数 所以V (6 2 2 2) ( 2 2 2)x y x y d( 2 26 3x 3y )dD D12022 2 x 22 2 2 3dxdx (2 x y )dy 8 (2 x ) 60 0例题： 计算以 xOy 平面上圆域 x2 y2 ax 围成的闭区域为底 2 y2 为顶的曲顶柱体的体积而以曲面 z x解 曲 顶

9、柱 体 在 xOy 面 上 的 投 影 区 域 为 D ( xy)|x2 y2 ax在极坐标下 D , 0 cos 所以( , )| a 2 2Vx2y24acosa 3( 2 2 2 4x y )dxdy d d cos d a2 2 40 4 32ax 2 26 常数项级数的审敛法。例题： 判定下列级数的收敛性(1)12 513 6(n11)(n 4)12(n 1)( n 4) n解 因为 1lim lim12n 5n 4 n n2 n而级数12n n 收敛 故所给级数收敛1sin sin sin sin(2) 22 3 n2 2 2解 因为limnsinn 21n2limnsinn2n2

10、1而级数nn 收敛 故所给级数收敛1232333n32 3 n(1) 21 2 2 2 3 2 nn 3un n解 级数的一般项为 n2因为limnunun1limn(nn31)1n21nn 2n3limn32nn1321所以级数发散(2) 1n 2nn3解 因为2un(n 1)3 1 n 1lim 2n 1lim lim ( )n 1 2u 3 n 3 nn n nn131所以级数收敛(3)n 1n2 n!nn解 因为limnn 1 nu n 2 (n 1)! n nn 1lim 2 lim ( )n 1 nu (n 1) 2 n! n 1n nn2 e1所以级数收敛(3)nn1tann21

11、解 因为(n 1) tanun 22n 1nlim lim limn u nn nn ntann 121n2n221121所以级数收敛例题：判定下列级数是否收敛？如果是收敛的 是绝对收敛还是条件收敛？(1)1121314解 这是一个交错级数n(1n1)1 ( 1) 1n 1u 其中nn 1nun 1n因为显然 un un+1 并且 lim 0u 所以此级数是收敛的nn又因为n|(1n1)1 1u 是 p 1 的 p 级数 是发散的|nnn 1所以原级数是条件收敛的(2)n(1n n11)n31解n|(1n n n11) |n 1 n3 3n 11n 1n 13因为 1limn n3n 13所以

12、级数nn 是收敛的n 131从而原级数收敛 并且绝对收敛7幂级数。例题： 求下列幂级数的收敛域1 x22x2(n1)n 2xn12a (n 1) 2n n 1解 1 lim ( 1) 1lim | | limn 故收敛半径为n n2a nn2nR 1因为当 x 1 时 幂级数成为n(2n1)1n 是收敛的 当2x 1 时 幂级数成为112n n 也是收敛的 所以收敛域为1 1 1n(1n1)2nx2n112n 1 xn解 这里级数的一般项为 u ( 1) 2 1nn因 为u2n 31 2 1|x nn 2l i m| | l i m| xn 由比值审敛法n2n 1u 2n 3 xn 2 1 即

13、|x| 1 时 幂级数绝对收敛 当 x2 1 即|x| 1 时 幂当 x级数发散 故收敛半径为 R 1因为当 x 1 时 幂级数成为n1n( 1)n 是收敛的 当1 2 1x 1 时 幂级数成为n(1n1)112 1n 也是收敛的 所以收敛域为 1 18函数展开成幂级数。例题： 将下列函数展开成 x 的幂级数 并求展开式成立的区间 (1)sin2x 1 1解 因为 sin2 x c os2x 2 22n xncos ( 1)x x ( )( 2n)! n 0所以2sin2n2n 1 2n1 1 (2 x) 2 xx x ( )( 1) ( 1)n n2 2 (2n)! ( 2n)!n 0 n

14、1例题：将函数 f (x) cos x 展开成 ) (x 的幂级数3解cosx cos(x ) cos(x )cos sin(x3 3 3 3)sin331 x x3cos( ) sin(2 3 23)12n 0n(1)(2n)!(x)3n( 1)2 )n 2n3(x2 (2n 1)! 3n 011 1 3 2 1n 2n x n x 5 ( 1) (x ) ( ) ( )2 (2n)! 3 (2n 1)! 3n 0例题：将函数f ( ) 1展开成 (x 3)的幂级数xx解n1 1 1 1 1(x 3 x 3 3 x 3 3 01n3n x 3 xn1) ( ) ( 13 331)即 n1 1

15、 (x 3 0n1)n x x3n( ) (036)例题： 将函数1f 展开成 (x 4)的幂级数( ) 2xx 3x 2解f(x) 2x13x21x11x2而1x1 31(x4)1311x341 3n(0x4 n x) (|343| 1)n1 (x 4)即 ( 7 1)1 xx n n1 301x2 21(x4)1 21 1x2412nx(024 n x 4) (| 2| 1)n (x 4)1即 ( 6 2)1 xx n n2 20因此f (x)n x1 (x 4) (2 2n 1 nx 3x 2 3n 0 n 0n4)1n(01n21n1 x ) ( 6 xn 1)( 432)注意复习书上习题刘华