实验报告七常微分方程初值问题的数值解法Word文档下载推荐.docx
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时在分题（b）中得到的结果与此时的精确值进行比较。
【MATLAB相关函数】
⏹求微分方程的解析解及其数值的代入
dsolve（‘egn1’，‘egn2’，
‘
’）
subs（expr,{x,y,…},{x1,y1,…}）
其中‘egn
’表示第
个方程，‘
’表示微分方程中的自变量，默认时自变量为
。
subs命令中的expr、x、y为符合型表达式，x、y分别用数值x1、x2代入。
>
symsxyz
subs（'
x+y+z'
{x,y,z},{1,2,3}）
ans=
6
symsx
x^2'
x,2）
4
s=dsolve（‘
’,‘
ans=
subs（s,x,2）
-0.3721
⏹右端函数
的自动生成
f=inline（‘expr’,’var1’,‘var2’,……）
其中’expr’表示函数的表达式，’var1’,‘var2’表示函数表达式中的变量，运行该函数，生成一个新的函数表达式为f（var1,var2,……）。
f=inline（'
x+3*y'
'
x'
y'
）
f=
Inlinefunction:
f（x,y）=x+3*y
f（2,3）
11
⏹4，5阶龙格－库塔方法求解微分方程数值解
[t,x]=ode45（f,ts,x0,options）
其中f是由待解方程写成的m文件名；
x0为函数的初值；
t,x分别为输出的自变量和函数值（列向量），t的步长是程序根据误差限自动选定的。
若ts=[t0,t1,t2,…,tf]，则输出在自变量指定值，等步长时用ts=t0:
k:
tf，输出在等分点；
options用于设定误差限（可以缺省，缺省时设定为相对误差
，绝对误差
），程序为：
options=odeset（‘reltol’,rt,’abstol’,at），这里rt,at分别为设定的相对误差和绝对误差。
常用选项见下表。
选项名
功能
可选值
省缺值
AbsTol
设定绝对误差
正数
RelTol
设定相对误差
InitialStep
设定初始步长
自动
MaxStep
设定步长上界
MaxOrder
设定ode15s的最高阶数
1,2,3,4,5
5
Stats
显示计算成本统计
on,off
off
BDF
设定ode15s是否用反向差分
例：
解微分方程
在命令窗口执行
=
（‘
’）；
；
ans=
01.0000
0.0502 1.0490
0.10051.0959
0.15071.1408
3.85072.9503
3.90052.9672
3.95022.9839
4.00003.0006
plot（
‘o-’,）%解函数图形表示
%不用输出变量，则直接输出图形
1.0000 1.7321
2.00002.2361
3.00002.6458
三.操作方法与实验步骤（包括实验数据记录和处理）
2-1编程
编写用向前欧拉公式和改进欧拉公式求微分方程数值解的Matlab程序，问题如下：
在区间
内
个等距点处，逼近下列初值问题的解，并对程序的每一句添上注释语句。
Euler法y=euler（a,b,n,y0,f,f1,b1）
改进Euler法y=eulerpro（a,b,n,y0,f,f1,b1）
Euler法
y=euler（a,b,n,y0,f,f1,b1）
y=zeros（1,n+1）;
y
（1）=y0;
h=（b-a）/n;
x=a:
h:
b;
fori=1:
n;
y（i+1）=y（i）+h*f（x（i）,y（i））;
end
plot（x,y）
holdon
%求微分方程的精确解
x1=linspace（a,b,100）;
'
精确解为'
s=dsolve（f1,b1,'
symsx
y1=zeros（1,100）;
for
i=1:
100
y1（i）=subs（s,x,x1（i））;
end
plot（x1,y1,'
r'
title（'
红色代表精确解'
改进Euler法
y=eulerpro（a,b,n,y0,f,f1,b1）
%求微分方程的数值解
y=zeros（1,n+1）;
y
（1）=y0;
h=（b-a）/n;
x=a:
for
i=1:
T1=f（x（i）,y（i））;
T2=f（x（i+1）,y（i）+h*T1）;
y（i+1）=y（i）+（h/2）*（T1+T2）;
%求微分方程的精确解
'
y1=zeros（1,100）;
fori=1:
y1（i）=subs（s,x,x1（i））;
2-2分析应用题
假设等分区间数
，用欧拉法和改进欧拉法在区间
内求解初值问题
并作出解的曲线图形，同时将方程的解析解也画在同一张图上，并作比较，分析这两种方法的精度。
（1）向前欧拉法
euler（0,10,100,10,inline（'
y-20'
）,'
Dy=y-20'
y（0）=10'
）
精确解为
s=
20-10*exp（x）
1.0e+005*
Columns1through8
0.00010.00010.00010.00010.00010.00000.0000
0.0000
Columns9through16
-0.0000-0.0000-0.0001-0.0001-0.0001-0.0001-0.0002
-0.0002
Columns17through24
-0.0003-0.0003-0.0004-0.0004-0.0005-0.0005-0.0006
-0.0007
Columns25through32
-0.0008-0.0009-0.0010-0.0011-0.0012-0.0014-0.0015
-0.0017
Columns33through40
-0.0019-0.0021-0.0024-0.0026-0.0029-0.0032-0.0035
-0.0039
Columns41through48
-0.0043-0.0048-0.0053-0.0058-0.0064-0.0071-0.0078
-0.0086
Columns49through56
-0.0095-0.0105-0.0115-0.0127-0.0140-0.0154-0.0170
-0.0187
Columns57through64
-0.0206-0.0227-0.0250-0.0275-0.0302-0.0333-0.0366
-0.0403
Columns65through72
-0.0444-0.0488-0.0537-0.0591-0.0651-0.0716-0.0788
-0.0867
Columns73through80
-0.0954-0.1049-0.1154-0.1270-0.1397-0.1537-0.1691
-0.1860
Columns81through88
-0.2046-0.2251-0.2477-0.2724-0.2997-0.3297-0.3627
-0.3990
Columns89through96
-0.4389-0.4828-0.5311-0.5842-0.6427-0.7070-0.7777
-0.8555
Columns97through101
-0.9410-1.0352-1.1387-1.2526-1.3779
（2）改进欧拉法
>
eulerpro（0,10,100,10,inline（'
ans=
精确解为
s=
20-10*exp（x）
0.00010.00010.00010.00010.00010.00000.0000-0.0000
-0.0000-0.0000-0.0001-0.0001-0.0001-0.0002-0.0002-0.0002
Columns17through24
-0.0003-0.0003-0.0004-0.0005-0.0005-0.0006-0.0007-0.0008
-0.0009-0.0010-0.0011-0.0013-0.0014-0.0016-0.0018-0.0020
-0.0022-0.0025-0.0028-0.0031-0.0034-0.0038-0.0042-0.0047
-0.0052-0.0058-0.0064-0.0071-0.0079-0.0087-0.0097-0.0107
-0.0119-0.0131-0.0145-0.0161-0.0178-0.0197-0.0218-0.0241
-0.0266-0.0294-0.0325-0.0360-0.0398-0.0440-0.0486-0.0537
-0.0594-0.0656-0.0726-0.0802-0.0886-0.0980-0.1083-0.1197
-0.1323-0.1462-0.1615-0.1785-0.1973-0.2180-0.2409-0.2663
-0.2942-0.3251-0.3593-0.3971-0.4388-0.4849-0.5358-0.5921
-0.6543-0.7230-0.7989-0.8828-0.9755-1.0780-1.1912-1.3163
-1.4545-1.6073-1.7760-1.9626-2.1686
改进欧拉法的精度比向前欧拉法更高。
2-3分析应用题
用以下三种不同的方法求下述微分方程的数值解，取
2-4分析应用题
1）
euler（0,50,50,0.01,inline（'
0.002-0.002*p'
t'
p'
Dp=0.002-0.002*p'
p（0）=0.0
1'
1-99/（100*exp（x/500））
0.01000.01200.01400.01590.01790.01990.02180.0238
0.02570.02770.02960.03160.03350.03540.03740.0393
0.04120.04310.04500.04700.04890.05080.05270.0546
0.05640.05830.06020.06210.06400.06580.06770.0696
0.07140.07330.07510.07700.07880.08070.08250.0844
0.08620.08800.08980.09170.09350.09530.09710.0989
Columns49through51
0.10070.10250.1043
（2）
dsolve（'
p（0）=0.01'
ans=1-99/（100*exp（t/500））
1-99/（100*exp（0.1））
ans=0.1042
与欧拉法求得的精确值0.1043差0,0001
四.实验结果与分析
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