最值问题解题思路奥数文档格式.docx

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②1+3+5+7+9+11+13+15=64还要5个偶数，100-64=3636=2+4+6+8+16最少有5个偶数。

题目3.一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。

为了能称出1克到

91克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个。

要能称出1克到91克的任意一种整数克重量，要有9个9克、1个5克、1个3克、2

个1克，它们的和是91，这样即可。

需要9+1+1+2=13个。

---

4.7”和“0”以及加法键尚能使用，因此一台计算器大部分按键失灵，只有数字“题目

77，7077和0的数，并且进行加法运算。

为了显示出222222，最这样只含数字可以输入

”键多少次？

少要按“7

222222-70000*3=122227个713个12222-7000*1=5222按下了按下了

5222-700*7=322322-70*4=4267个77个442-7*6=0按下了按下了按下了

3+1+7+4+6=21。

个7次

二、枚举法与逐步调整

当我们在有限数中求最大（或最小）值时，枚举法是常用基本方法之一。

这种方法的大

意是：

将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；

或者将与问题相关的各种

情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。

题目5.将6，7，8，9，10按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得得5

个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？

10，旁边添6和7，这样积小一些。

于是有解：

要使乘积最小，就要每个数尽可能小。

对于

两种添法：

----------------------------------------------

题目6.某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13个停车站。

如果这辆公共汽车从起点

站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，

那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？

解法1：

只需求车上最多有多少人。

依题意列表如下：

由上表可见，车上最多有56人，这就是说至少应有56个座位。

说明：

本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。

所以，

我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。

解法2：

因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站1人），

这一人数也和本站上车的人数一样多，因此

车开出时人数=（以前的站数+1）×

以后站数

=站号×

（15-站号）。

因此只要比较下列数的大小：

1×

14，2×

13，3×

12，4×

11，5×

10，

6×

9，7×

8，8×

7，9×

6，10×

5，

，×

2×

4，1311。

×

112×

3，14

56人，所以是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是×

7×

8和87由这些数，得知

个座位。

它应有56

此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。

这种方法的大意是：

将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；

或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。

题目7.

18-2所示得2*8方格表中，第一行得8个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8。

在如图

88按适当得顺序分别填入第二行的个方格内，使得每列51、2、3、4、、6、7、如果再把

两数的个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少？

8

个差分别是0，1，2，3，4，5，6，7，和为28，分成两组，每组14。

8和7必然解：

这8

填在1，2两个方格内。

前两列的差是和5，第3个如果填6，那么7+5+3超过14，所以7

4，填6就会有重复。

数字5，此时3个差为7、5、2，和为14，第4个格子只能填只能填

6只能填在第7格，再凑一凑即可得出87541362。

三、从简单情形入手

解决复杂问题可以从简单问题入手，经过分析得出规律，也就找到了解决复杂问题的方法。

题目8.从1234567891011,99100中划去100个数字，其他数字顺序不变，求剩下数中的

最大数和与最大数位数相同的最小数。

将此题简化为从12345678910中划去9个数字.利用枚举法不难得出剩下的两分析与解

10，也就是在求最大数时，高位上的数字尽可能取大数字；

求位数最大数为91，最小数为

；

从912345678910中划去10个数字剩下最小数时，高位上尽可能取小数字。

本题中从

111213,484950中划去76个数字剩下4个9；

再从51525354555657585960中划去14个数

785960，从而得到所求的最大数9999978596061,99100。

求最小值字剩下尽可能大的数是

时，从12345678910中划去9个数字剩下10，从11121314,484950中划去76个数字剩下4

个0，再从51525354555657585960中划去15个数字剩下尽可能小的数12340，从而得到所

。

求最小数100000123406162,99100

将1，2，3，题目9.,，49，5010组，每组5个数。

在每一组中，数值居中的任意分成

10个中位数之和的最大值与最小值。

那个数称为“中位数”。

求这

{1，2，3，49，50}{4，5，6，47，48},,{2829，30，31，32}，

（最小值）3+6+,,+30=165

{1，2，48，49，50}{3，4，45，46，47},,{1920，21，22，23}，

（最大值）48+45+,,+21=345

四、和一定问题

1＋9＝10→1×

9＝910的两个自然数，它们的积的最大值是什么？

我们知例如，和为

2+8=10→2×

8=165个不同道和为10的自然数共有5对，每对自然数乘积后又得到

3＋7=10→3×

7=21的数，如下表：

4+6=10→4×

6=24

5+5＝10→5×

5=25

由此我们得到，当这两个自然数都取5时积有最大值25。

成立。

也就是和一定时差最小乘积越大。

题目10.

有3条线段a,b,c，线段a长2.12米，线段b场2.71米，线段c长3.53米。

如图18-1，

以它们作为上底、下底和高，可以作出3个相同的梯形。

问第几号梯形的面积最大？

由于梯形体积=（上底+下底）*高/2在和一定的情况下，要使乘积最大，让两个数越接近。

可见a+b与c十分接近，所以③的面积最大。

题目11.如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出

500个。

当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。

为了赚得最多的利润，售价应定为多少？

设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。

总共可以获利

（50＋x-40）×

（500-10x）

=10×

（10+X）×

（50-X）（元）。

因（10+x）+（50－x）=60为一定值，故当10+X=50－X即X=20时，它们的积最大。

此时，每个的销售价为50＋20=70（元）

题目12.用3，4，5，6，7，8六个数字排成三个两位数相乘，要求它们的乘积最大。

应该

怎样排列？

【分析与解】十位数字分别是8、7、6，8>

7>

6,个位数字分别是5，4，3，5>

4>

3，依据“接

近原则”，大小搭配可得83×

74×

65，三个数最接近因而它们的乘积最大。

综上数例，可以归纳出这样的规律:

较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使

数之间更为接近，从而保证乘积最大。

简单地说就是：

数越接近，乘积越大。

．．．．．．．．

这样才较小的数后配较大的数，较大数后配较小的数，能:

综上数例，可以归纳出这样的规律

数越接近，乘积越大。

使数之间更为接近，从而保证乘积最大。

．．

五、积一定的问题

两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和

之间有什么关系呢？

观察下面的表：

我们不难得出如下的规律：

两个变化着的量，如果在变化的过程中，乘积始终保持不变，那么它们的差越小，和就越小。

若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。

2144cm，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？

题目13.长方形的面积为

xcm和ycm，则有解：

设长方形的长和宽分别为

xy＝144。

x=y=12时，x+y2（x＋y）也有最小值。

有最小值，从而长方形周长故当

题目14.农场计划挖一个面积为432m的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3m4m的2

和堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？

如图所示，设水池的长和宽分别为xm和ym，则有

xy＝432。

占地总面积为S=（x＋6）（y＋8）cm。

于是2

S=Xy+6y+8X＋48＝6y+8X+480。

6y×

8X=48×

4326y=8X时，S最小，此时有6y=8X=144，故为一定值，故当我们知道

。

y=24，x=18

六、从整体入手

从整体抓住数据的本质特征进行分析，较易突破难点。

题目15.在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加

号或一个减号，组成一个算式。

要求：

（1）算式的结果等于37；

（2）这个算式中的所有

减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。

那么，这些减数的最大乘积是多少？

题目16.在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一

个加号或一个减号，组成一个算式。

（2）这个算式中的

所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。

把10个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，

使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2倍。

18÷

2=9。

对于大于2的数来说，因为55-37＝18，所以我们变成减数的这些数之和是

两数之和总是比两数乘积小，（不包括为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好）。

1

9最多可拆成三数之和2＋32×

3×

4＝24，添上加、减＋4=9，因此这些减数的最大乘积是

号的算式是

75-4-3-2＋1＝37。

8＋＋9＋＋610＋

七、抓不等关系

题目17.某校决定出版“作文集”，费用是30册以内为80元，超过30册的每册增加1.20

元。

当印刷多少册以上时，每册费用在1.50元以内？

显然印刷的册数应该大于30。

设印刷了（30＋x）册，于是总用费为（80+1.2x）元。

故有

80+1.2x≤1.530+x），×

（

答案:

117+30=147以内。

3袋的总和都超过60块。

那么这418.有4袋糖块，其中任意袋糖块的总和最少有多题目

少块？

要使其中任意3袋的总和都超过61，先在每袋中放20个糖块，块，那么至少也是60

但任意3袋中至少一个21，否则就无法超过3袋中至少一个21，这4个袋子。

要使任意60

的糖块分别是20，20，21，21。

和为20+20+21+21=82

八、抓相等关系

米的，他们的平均身高是米。

其中有一些低于1.519.10位小学生的平均身高是1.5题目

1.5米。

那么最多有多少位同学的身高恰好是1.5米的平均身高是1.71.2米；

另一些高于

米？

米的人越少，设高于米，就要使低于和高于1.5:

要最多有多少位同学的身高恰好是1.5解

那么最多有至少是5人和低于的人分别为a,b。

可得：

1.2a+1.7b=1.5（a+b）2b=3a

米。

1.510-5=5位同学的身高恰好是----------------------------------------------

个是偶数，而且个奇数、个不同的真分数的分子都是22题目20.4，它们的分母只有12

个分母是偶数的分数之和相等。

个分母是奇数的分数之和与2小明这样的奇数和偶数很多，

希望这样的偶数尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？

）/+偶偶/奇=（偶偶1/解：

奇+1/奇=1/偶+1/×

偶偶

8，**奇（偶+偶）=偶*偶偶。

因为偶*偶*偶是8的倍数所以偶+偶是8的倍数若是只能

1/6+1/10=1/5+1/1516若是，有;

1/2+1/6=1/3+1/3则和6为2因因为奇相等不符合题意，

16此本题答案是

九、位值展开式

21.题目一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？

表示十位数字，ab解：

设两位数位（a表示个位数字）b

ab=（10a+b）/（a+b）=（9a）/（a+b）+1

9]最大是18，此时余数为a+b

b=913余数为若余数为4a=9，若当a+b=17a=9122.个非零数字15b=9此时余数最大。

3由若a+b=16当，若余数为题目余数为

的最大值是多少？

K是整数，那么K个数字之和的商记为3。

如果K组成的三位数与这

表示百位数字，abc（a表示个位数字）c表示十位数字，b解：

设这个数为

尽可能大，=Ka+b+cabc/（）a（100a+10b+c）/（a+b+c）=K那么就要让要使这个算式最大，

b,c）711/7+1+1（=81,,1（811/8+1+1）=82,,9）（911/试一下：

尽可能的小。

9+1+1，，

最大是=79K，所以。

79

23.DE，再用ABC和一个两位，，40，23，5，7，9这5个数组成一个三位数用1，题目

数ABC×

DE—FGH×

IJ。

求算式FGH和一个两位IJ个数组成一个三位数6，8这5的计算结果

数的最大值。

ABC*DE-FGH*IJ这个算式最大就要使ABC*DE最大，FGH*IJ最小。

那么前面最大是解：

要使

751*93-468*20=60483。

那么算式的最小值是。

后面最小是468*20751*93

十、“估计+构造”

“估计+构造”是解离散最值问题的一种常用方法，要求某个离散最值，先估计该量的上界或下界，然后构造出一个实例说明此上界或下界能够达到，这样便求出了这个量的最大值或最小值。

题目24.把1，2，3，,，12填在左下图的12个圆圈里，然后将任意两个相邻的数相

加，

得到一些和，要使这些和都不超过整数n，n至少是多少？

为什么？

并请你设计一种填法，满足你的结论。

因为1+2＋3＋,＋12=78，78×

2÷

12＝13，所以n≥13。

又考虑到与12相邻的数最小是

1和2，所以n至少是14。

右上图是一种满足要求的填法。

十一、转化与对称思想

.在转化思想是数学思想之一，把复杂问题转化成简单问题，从而达到解决问题的目的

.在平面上有两个点A、B，把A、B用线连结起来有许多种方法，可用线段、弧线、折线等

AB的长叫A、B两点间的距离。

这无穷多种连结方法中，线段最短，因而我们也称线段

N点放上食品，在长方体侧面我们可以做一个有趣的实验：

在一个长方体的上面ABCD

4），我们AD点放一只蚂蚁（如图3），蚂蚁从侧面经过棱到N有无穷多种走法（如图上M

关心的问题是蚂蚁怎样走路程最短？

MN则不经过棱AD，与条件不符.为在这个立体图形中找出答案是很困难的，直接连结

MN交AD于P.由公理，两点之间线段最了使问题简化，我们将长方体展成平面图形，连结

短，可知蚂蚁从M点沿直线MP爬到P后，再由P点沿直线PN爬到N时走过的路程最短。

题目25.如图11某次划船比赛规定从A点出发，先到左岸然后到右岸然后再到B点，时间

.少者取胜.请你设计一条航线，使船走的路程最短

由于两点间的距离线段最短，我们想办法把问题转化为求两点距离问题。

如图，找到A点关于左岸的轴对称点，B点关于右岸的轴对称点，连结A′B′，与左

岸、右岸分别有交点C、D，沿折线ACDB航行就是最短航线。

十二、学写说理题

题目26.23个不同的自然数的和是4845。

问：

这23个数的最大公约数可能达到的最大的

值是多少？

写出你的结论，并说明理由。

.17。

设这23个彼此不同的自然数为

a1，a2，,，a22，a23，

并且它们的最大公约数是d，则

a1=db1，a2=db2，,，a22=db22，a23=db23。

依题意，有

4845=a1+a2+,+a22+a23

=d（b1+b2+,+b22+b23）。

因为b1，b2，,，b22，b23也是彼此不等的自然数，所以

b1+b2+,+b23≥1+2+,+23=276。

因为4845=d（b1+b2+,+b22+b23）≥276×

d，所以

又因为4845=19×

17×

15，因此d的最大值可能是17。

当a1=17，a2=17×

2，a3=17×

3，,，a21=17×

21，a22=17×

22，a23=17×

32时，得

a1+a2+,+a22+a23

=17×

（1+2+,+22）+17×

32

253+17×

32=17×

285=4845。

而（a1，a2，,，a22，a23）=17。

所以d的最大值等于17。

解题在于实践：

题目27.设a，a，a，a，a，a是1到9中任意6个不同的正整数，并且a＜a＜a＜335141262a＜a＜a。

试用这6个数分别组成2个三位数，使它们的乘积最大。

645

分析与解：

由于a1，,，a6具体大小不清楚，因此先取特殊数1，2，3，4，5，6这6

个不同的数考虑。

要使2个三位数的乘积最大，必须使这2个数的百位数最大，应分别是6，

2，1。

5；

而十位数次大，应分别为4，3，个位数最小，应分别为

因为当2个数之和一定时，这2个数之差越小，它们的乘积越大，所以这2个数是631

和542

题目28.8个互不相同的正整数的总和是56，如果去掉最大的数及最小的数，那么剩下的

数的总和是44。

剩下的数中，最小的数是多少？

因为最大数与最小数的和是56－44=12，所以最大数不会超过