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流体力学习题解析

第三章流体动力学基础

3－1已知速度场为（m/s），求（2，3，1）点的速度和加速度。

已知：

解析：

（1）（2，3，1）点的速度为

（2）（2，3，1）点的加速度为

3－2已知速度场为（m/s），求τ＝2秒时，位于（2，2，1）点的速度和加速度。

已知：

解析：

（1）τ=2秒、位于（2，2，1）点的速度为

（2）τ=2秒、位于（2，2，1）点的加速度为

3－3已知二维流场的速度分布为（m/s）。

问：

（1）该流动是稳定流还是非稳定流？

是均匀流还是非均匀流？

（2）τ＝1秒时，（2，4）点的加速度为多少？

（3）τ＝1秒时的流线方程？

已知：

解析：

（1）因为速度与时间有关，所以该流动是非稳定流动；由下述计算得迁移加速度为零，流线为平行直线，所以该流动是均匀流动。

（2）加速度的计算式为

则τ=1秒、位于（2，4）点的加速度为

（3）将速度分量代入流线微分方程，得

分离变量，积分得

或写成

简化上式，得τ=1秒时的流线方程为

3－4已知速度场为。

求τ＝1时，过（0，2）点的流线方程。

已知：

解析：

将速度分量代入流线微分方程，得

积分上式，得

则τ=1秒时，过（0，2）点的流线方程为

3－520℃的空气在大气压下流过0.5m直径的管道，截面平均流速为30m/s。

求其体积流量、质量流量和重量流量。

已知：

在大气压下20℃空气的密度为1.205kg/m3，管道直径为0.5m，截面平均流速为30m/s。

解析：

（1）体积流量为

（2）质量流量为

（3）重量流量为

3－6流体在两平行平板间流动的速度分布为

式中umax为两板中心线y＝0处的最大速度，b为平板距中心线的距离，均为常数。

求通过两平板间单位宽度的体积流量。

已知：

速度分布为

解析：

由体积流量计算式，得

3－7下列各组方程中哪些可用来描述不可压缩流体二维流动？

（1）

（2）

（3）

（4）

已知：

速度分布方程。

解析：

将以上各速度分量分别代入不可压缩流体的连续性方程：

（1），不可用来描述不可压缩流体二维流动；

（2），可以用来描述不可压缩流体二维流动；

（3），可以用来描述不可压缩流体二维流动；

（4），不可用来描述不可压缩流体二维流动。

3－8下列两组方程中哪个可以用来描述不可压缩流体空间流动？

（1）

（2）

已知：

速度分布方程。

解析：

将以上各速度分量分别代入不可压缩流体的连续性方程：

（1），可以用来描述不可压缩流体空间流动；

（2），不可用来描述不可压缩流体空间流动。

3－9已知不可压缩流体二维流动在y方向的速度分量为，求速度在x方向的分量ux。

已知：

不可压缩流体二维流动的速度分量

解析：

由不可压缩流体二维连续性方程，得

3－10已知不可压缩流体在r、θ方向的速度分量分别为，求速度在z方向的分量uz。

已知：

不可压缩流体在r、θ方向的速度分量为。

解析：

由不可压缩流体三维柱坐标的连续性方程，得

3－11设不可压缩流体空间流动的两个速度分量为

（1）

（2）

其中a、b、c、d、e、f均为常数。

已知当z＝0时uz＝0。

试求第三个速度分量。

已知：

不可压缩流体空间流动的两个速度分量。

解析：

（1）由不可压缩流体空间流动的连续性方程，得

当z=0时，，则，所以。

（2）

当z=0时，，则，所以。

3－12已知不可压缩理想流体的压力场为（N/m2），若流体密度ρ＝1000kg/m3。

g＝9.8m/s2。

求流体质点在m位置上的加速度。

已知：

，ρ=1000kg/m3，g=9.8m/s2。

解析：

由压力分布式得；

由已知条件，得。

代入以下欧拉运动微分方程，

得

将ρ=1000kg/m3；g=9.8m/s2；x=3，y=1，z=－5代入上式，得

3－13已知不可压缩理想流体稳定流动的速度场为

（m/s）

求流体质点在（2，3，1）点处的压力梯度。

ρ＝1000kg/m3，g＝9.8m/s2。

已知：

；

ρ=1000kg/m3，g=9.8m/s2。

解析：

由加速度计算式，得

将上式代入欧拉运动微分方程，

得

将ρ=1000kg/m3，g=9.8m/s2；x=2，y=3，z=1代入上式，得

则

3－14已知不可压缩理想流体的速度场为（m/s），流体密度ρ＝1500kg/m3，忽略质量力，求τ＝1s时位于（x，y）处及（1，2）点处的压力梯度。

已知：

；ρ=1500kg/m3；。

解析：

由加速度计算式，得

当τ=1秒时，

代入欧拉运动微分方程，得

则τ＝1s时位于（x，y）处的压力梯度为

τ＝1s时位于（1，2）点处的压力梯度为

3－15已知不可压缩理想流体的速度场为（m/s），单位质量力为m/s2，位于坐标原点的压力为p0，求压力分布式。

已知：

；；

解析：

由加速度计算式，得

代入由欧拉运动微分方程，得

积分上式，得

当x=0，y=0，z=0时，p=p0，则C=p0。

代入上式，得压力分布式为

3－16已知不可压缩理想流体在水平圆环通道中作二维稳定流动，当圆周速度分别为时，求压力p随和r的变化关系式。

已知：

（1）；

（2）；（3）；。

解析：

根据已知条件，简化欧拉运动微分方程，

可以得到或写成

将已知条件代入上式，得

（1）时，积分得

（2）时，积分得

（3）时，积分得

3－17已知不可压缩理想流体的速度分量为，不计质量力，求等压面方程。

已知：

；。

解析：

由加速度计算式，得

代入由欧拉运动微分方程，得

则

在等压面上，，则等压面微分方程为

积分上式，得等压面方程

3－18若在150mm直径管道内的截面平均流速为在200mm直径管道内的一半，问流过该两管道的流量之比为多少？

已知：

d1=150mm，d2=200mm；u2=2u1。

解析：

根据流量计算式，可得

3－19蒸气管道的干管直径d1＝50mm，截面平均流速u1＝25m/s，密度ρ1＝2.62kg/m3，蒸气分别由两支管流出，支管直径d2＝45mm，d3＝40mm，出口处蒸气密度分别为ρ2＝2.24kg/m3，ρ3＝2.30kg/m3，求保证两支管质量流量相等的出口流速u2和u3。

已知：

d1=50mm，d2=45mm，d3=40mm，u1=25m/s，

ρ1=2.62kg/m3，ρ2=2.24kg/m3，ρ3=2.30kg/m3，M2=M3。

解析：

根据已知条件列连续性方程，

①

②

将②式代入①式，得

③

则

代入②式，得

3－20水射器如图所示，高速水流uj由喷嘴射出，带动管道内的水体。

已知1截面管道内的水流速度和射流速度分别为u1＝3m/s和uj＝25m/s，管道和喷嘴的直径分别为0.3m和85mm，求截面2处的平均流速u2。

已知：

D=0.3m，d=85mm，u1=3m/s，uj=25m/s

解析：

列连续性方程，

则截面②处的平均流速为

3－21已知圆管中流速分布为，r0为圆管半径，y为离管壁的距离，umax为管轴处的最大流速，求流速等于截面平均流速的点离管壁的距离yc。

已知：

速度分布为

解析：

截面平均流速为

令

得

3－22管道末端装一喷嘴，管道和喷嘴直径分别为D＝100mm和d＝30mm，如通过的流量为0.02m3/s，不计水流过喷嘴的阻力，求截面1处的压力。

已知：

D=100mm，d=30mm，Q=0.02m3/s，pm2=0。

解析：

由连续性方程，得

列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得

3－23水管直径50mm，末端的阀门关闭时，压力表读数为21kN/m2，阀门打开后读数降至5.5kN/m2，如不计管中的压头损失，求通过的流量。

已知：

d=50mm，p0=21kN/m2，p=5.5kN/m2。

解析：

列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得

则

流量为

3－24用水银压差计测量水管中的点速度u，如读数Δh＝60mm，求该点流速。

已知：

Δh=60mm。

解析：

根据题意，由流体静力学方程，得

列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得

则

3－25流量为0.06m3/s的水，流过如图所示的变直径管段，截面①处管径d1＝250mm，截面②处管径d2＝150mm，①、②两截面高差为2m，①截面压力p1＝120kN/m2，压头损失不计。

试求：

（1）如水向下流动，②截面的压力及水银压差计的读数；

（2）如水向上流动，②截面的压力及水银压差计的读数。

已知：

Q=0.06m3/s，d1=250mm，d2=150mm，H=2m，p1=120kN/m2。

解析：

（1）由连续性方程，得

（2）列出①、②两截面间的伯努利方程，基准面取在②截面上；同时列出U型管的静力学方程，

得

（3）如果水向上流动，并且不计压头损失，所得结果与上述相同。

3－26风机进气管首端装有一流线形渐缩管，可用来测量通过的流量。

这种渐缩管的局部损失可忽略不计，且气流在其末端可认为是均匀分布的。

如装在渐缩管末端的测压计读数Δh＝25mm，空气的温度为20℃，风管直径为1.2m，求通过的流量。

已知：

Δh=25mm，d=1.2m，ρ=1.205kg/m3。

解析：

由流体静力学方程，得

列渐缩管进口前后的伯努利方程，基准面取在管轴线上，得

合并以上两式，得

则流量为

3－27水沿管线下流，若压力计的读数相同，求需要的小管直径d0，不计损失。

已知：

D=0.2m，u=3.0m/s，H=3m，p1=p2。

解析：

根据已知条件，列两截面间的连续性方程和伯努利方程，基准面取在下部截面上，

联立以上两式，得

同时得到

3－28水由图中的喷口流出，喷口直径d＝75mm，不计损失，计算H值（以m计）和p值（以kN/m2计）。

已知：

d1=125mm，d2=100mm，d3=75mm，Δh=175mm，

解析：

（1）列1-1截面至2-2截面间的伯努利方程，基准面取在2-2截面所在的水平面上，

列1-1与2-2截面间U型管的静力学方程

简化上式，并代入伯努利方程，得

①

列1-1截面至2-2截面间的连续性方程

或写成②

将②式代入①式，整理后得

（2）列2-2截面至3-3截面间的连续性方程

则

（3）列自由液面至3-3截面间的伯努利方程，基准面取在出口管轴线上，得

（4）列压力表处至3-3截面间的伯努利方程，基准面取在出口管轴线上，得

所以

3－29水由管中铅直流出，求流量及测压计读数。

水流无损失。

已知：

d=50mm，D=0.3m，δ=1mm，z1=3m，z2=1.5m。

解析：

（1）列管嘴出口至圆盘边缘的伯努利方程和连续性方程，基准面取在盘面上，

或写成

代入伯努利方程，得

则

（2）列管嘴出口至圆盘中心滞止点的伯努利方程，基准面取在盘面上，得

列U型管的静力学方程，

则

3－30同一水箱经上、下两孔口出流，求证：

在射流交点处，h1y1＝h2y2。

已知：

h1，h2，y1，y2。