浙江省台州市学年高三第二次适应性考试数学理试题Word版含答案.docx
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浙江省台州市学年高三第二次适应性考试数学理试题Word版含答案
浙江省台州市2018-2019学年高三4月第二次适应性考试
数学（理）试题
选择题部分（共40分）
一、选择题：
本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则（）
A．B．C．D．
2.已知实数满足，则（）
A．最小值为-1，不存在最大值B．最小值为2，不存在最大值
C．最大值为-1，不存在最小值D．最大值为2，不存在最小值
3.直线与直线，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）
A．4B．C．8D．
5.设集合，在上定义运算：
，其中为被4除的余数，，若，则的值为（）
A．0B．1C．2D．3
7.数列是递增数列，且满足，，则不可能是（）
A．B．C．D．
8.棱长为2的正方体中，为棱的中点，点分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（）
A．B．C．D．
非选择题部分（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
9.以椭圆的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是，离心率为.
10.函数的图象如图所示，则，.
11.已知等差数列的公差为-3，且是和的等比中项，则通项，数列的前项和的最大值为.
12.设奇函数，则的值为，不等式在上的解集为.
13.若正数满足，则的值为.
14.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是.
15.如图，矩形中，，，分别为线段上的点，且满足，若，则的最小值为.
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，已知，.
（1）求的值；
（2）设为的中点，若的面积为，求的长.
17.（本题满分15分）
如图，矩形中，，将其沿翻折，使点到达点的位置，且二面角为直二面角.
（1）求证：
平面平面；
（2）设是的中点，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围.
18.（本题满分15分）
已知二次函数的图象过点.
（1）记函数在上的最大值为，若，求的最大值；
（2）若对任意的，存在，使得，求的取值范围.
19.（本题满分15分）
已知椭圆的两个焦点为，焦距为2，设点满足是等腰三角形.
（1）求该椭圆方程；
（2）过轴上的一点作一条斜率为的直线，与椭圆交于点两点，问是否存在常数，使得的值与无关？
若存在，求出这个的值；若不存在，请说明理由.
20.（本题满分15分）
设正项数列满足：
，且对任意的，，均有成立.
（1）求，的值，并求的通项公式；
（2）（ⅰ）比较与的大小；
（ⅱ）证明：
.
浙江省台州市2018-2019学年高三4月第二次适应性考试
数学（理）试题参考答案
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
A
B
D
C
B
B
二、填空题：
本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9.，10.，11.，
12.，13．114.15.
三、解答题：
本大题共5小题，共7４分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本题14分）解：
（Ⅰ）由得：
即
，…………………………………2分
（也可以由数量积的几何意义得出）
与都是锐角
………………………4分
得：
………………………………………………………………………9分
又……………………11分
△中，由余弦定理得：
……………………………………………………………………14分
17．（本题15分）（Ⅰ）二面角为直二面角，
平面……………2分
平面…………4分
平面平面…………6分
（Ⅱ）解法1：
如图，以为坐标原点，以长为一个单位长度，
建立如图空间直角坐标系，则
……………8分
则
设平面的法向量为
则，取，则………………………………10分
同理设平面的法向量为………………………………12分
………………………………14分
…………………………………15分
解法2：
过作于，过作于，连，则
则二面角的平面角为…………………………………9分
为的中点
由，得…………………………………11分
…………………………………14分
…………………………………15分
18.（本题15分）解：
（Ⅰ）解：
（Ⅰ）过点，，……1分
是开口向上的抛物线，…………………………………3分
………………………………………………………………5分
两式相加得，即的最大值为…………………………………………………………6分
解法二：
由
解得：
……………………6分
（Ⅱ）由题意，存在，使
……………………8分
其对称轴为
①当即时，在上单调递增
均符合题意………………………10分
②当即时，
在上递减，在上递增且
由得：
符合题意………………………12分
③当即时，
在上递减，在上递增且
由得：
符合题意…………………………13分
④当即时，在上单调递减
均符合题意…………………………14分
综上所述：
或…………………………15分
19.（本题15分）解：
（Ⅰ）根据题意，有………………4分
解得：
故所求椭圆方程为……………………6分
（Ⅱ）联立方程：
，整理得：
在的情况下有：
……………………9分
……………………………13分
令，得，即
此时与无关符合题意……………………………15分
（若设直线，其中，则化简过程相对简捷，可得
，结果同样可得）
20.（本题15分）
解：
（Ⅰ）令，得，从而，所以………………2分
令，得
从而，，又，
所以，…………………4分
从而可知当为偶数时，；
令，得，可知当为奇数时，
综上可得．…………………6分
（Ⅱ）（i）
所以…………………9分
（ii）即证明
由（i）得，，…，
将上述的个式子相加，得
所以
所以，只需证
即……………………………12分
事实上，当时
（因为，）
所以
从而
．…………………………………………15分
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