∅
∅
1．有关分数的性质
若a＞b＞0，m＞0，则
（1）＜；＞（b－m＞0）；
（2）＞；＜（b－m＞0）．
2．有关倒数的性质
a＞b，ab＞0⇒＜.
3．a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞.
4．简单的分式不等式
（1）≥0⇔
（2）＞0⇔
[基础自测]
1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）a>b⇔ac2>bc2.（）
（2）a>b>0，c>d>0⇒>.（）
（3）若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为（x1，x2），则必有a>0.（）
（4）若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.（）
[答案]
（1）×
（2）√ （3）√ （4）×
2．（教材改编）下列四个结论，正确的是（）
①a>b，cb－d；
②a>b>0，cbd；
③a>b>0⇒>；
④a>b>0⇒>.
A．①②B．②③C．①④D．①③
D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知acb>0可知a2>b2>0，所以<，所以④不正确．]
3．（教材改编）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）
A．ac＞bcB.＜
C．a2＞b2D．a3＞b3
D [取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D.]
4．（教材改编）不等式（x＋1）（x＋2）＜0的解集为（）
A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|x＜－2或x＞1}D．{x|x＜－1或x＞2}
A [方程（x＋1）（x＋2）＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式（x＋1）（x＋2）＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A.]
5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
（－∞，－4]∪[4，＋∞） [由题意知Δ＝a2－42≥0，解得a≥4或a≤－4.]
不等式的性质及应用
1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）
A.＞B.＜
C.＞D.＜
B [由c＜d＜0得＜＜0，则－＞－＞0，∴－＞－，∴＜，故选B.]
2．（2016·北京高考）已知x，y∈R，且x>y>0，则（）
A.－>0B．sinx－siny>0
C.－<0D．lnx＋lny>0
C [函数y＝在（0，＋∞）上为减函数，∴当x>y>0时，<，即－<0，故C正确；函数y＝在（0，＋∞）上为减函数，由x>y>0⇒<⇒－<0，故A错误；函数y＝sinx在（0，＋∞）上不单调，当x>y>0时，不能比较sinx与siny的大小，故B错误；x>y>0⇒xy>0ln（xy）>0⇒/lnx＋lny＞0，故D错误．]
3．若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2，则（）
A．a＞b＞cB．b＞a＞c
C．c＞a＞bD．b＞c＞a
A [因为a＝20.6＞20＝1，又logπ1＜logπ3＜logππ，所以0＜b＜1，c＝log2sin＜log21＝0，于是a＞b＞c.故选A.]
4．已知角α，β满足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，则3α－β的范围是________．
（－π，2π） [设3α－β＝m（α－β）＋n（α＋β），则
解得
从而3α－β＝2（α－β）＋（α＋β），
又－π＜2（α－β）＜π，0＜α＋β＜π，
∴－π＜2（α－β）＋（α＋β）＜2π.]
[规律方法] 利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法
（1）利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法：
一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.
（2）比较大小常用的方法
①作差（商）法：
作差（商）⇒变形⇒判断，
②构造函数法：
利用函数的单调性比较大小，,③中间量法：
利用中间量法比较两式大小，一般选取0或1作为中间量.
（3）由a一元二次不等式的解法
►考法1 不含参数的一元二次不等式
【例1】
（1）不等式2x2－x－3＞0的解集为________．
（2）不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．（用区间表示）
（1）
（2）（－4,1） [
（1）方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝，则不等式2x2－x－3＞0的解集为.
（2）由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－40的解集为（－4,1）．]
►考法2 含参数的一元二次不等式
【例2】
（1）解关于x的不等式：
x2－（a＋1）x＋a＜0.
[解] 原不等式可化为（x－a）（x－1）＜0，
当a＞1时，原不等式的解集为（1，a）；
当a＝1时，原不等式的解集为∅；
当a＜1时，原不等式的解集为（a,1）．
（2）解关于x的不等式：
ax2－（a＋1）x＋1＜0.
[解] 若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，
解得x＞1.
若a＜0，原不等式等价于（x－1）＞0，
解得x＜或x＞1.
若a＞0，原不等式等价于（x－1）＜0.
①当a＝1时，＝1，（x－1）＜0无解；
②当a＞1时，＜1，解（x－1）＜0，得＜x＜1；
③当0＜a＜1时，＞1，解（x－1）＜0，得1＜x＜.
综上所述，当a＜0时，解集为；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；
当a＝1时，解集为∅；
当a＞1时，解集为.
[规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤：
（1）使一端为0且把二次项系数化为正数；
（2）先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；
（3）写出不等式的解集.
2.解含参数的一元二次不等式的步骤：
（1）二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；
（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
（1）已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是（）
A．{x|2C.D.
B [∵不等式ax2－bx－1>0的解集是，
∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，
∴解得
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]
（2）解不等式x2＋ax＋1＜0（a∈R）．
[解] Δ＝a2－4.
①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式无解．
②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，
则原不等式的解集为
.
综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式无解．
当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为x＜x＜
一元二次不等式恒成立问题
【例3】 已知函数f（x）＝mx2－mx－1.
（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于x∈[1,3]，f（x）＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．
[解]
（1）当m＝0时，f（x）＝－1＜0恒成立．
当m≠0时，则即－4＜m＜0.
综上，－4＜m≤0，故m的取值范围是（－4,0]．
（2）不等式f（x）＜5－m，即（x2－x＋1）m＜6，
∵x2－x＋1＞0，∴m＜对于x∈[1,3]恒成立，只需求的最小值，
记g（x）＝，x∈[1,3]，
记h（x）＝x2－x＋1＝2＋，
h（x）在x∈[1,3]上为增函数，则g（x）在[1,3]上为减函数，
∴[g（x）]min＝g（3）＝，∴m＜.
所以m的取值范围是.
[规律方法] 与二次函数有关的不等式恒成立的条件,
（1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的条件是
（2）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的条件是
（1）若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（）
A．（－3,0）B．[－3,0）
C．[－3,0]D．（－3,0]
（2）若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．
（1）D
（2） [
（1）当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立．
则
解得－3＜k＜0.
综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是（－3,0]．
（2）由题意得，函数f（x）＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f（x）＝x2＋mx－1开口向上，所以只需
即解得－＜m＜0.]
一元二次不等式的应用
【例4】 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100·元．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：
甲厂应该选取何种生产速度？
并求最大利润．
[解]
（1）根据题意，
得200≥3000，
整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围是[3,10]．
（2）设利润为y元，则
y＝·100
＝9×104
＝9×104，
故当x＝6时，ymax＝457500元．
即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457500元．
[规律方法]
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