届广东省广深珠三校高三上学期第一次联考数学理答案.docx
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届广东省广深珠三校高三上学期第一次联考数学理答案
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广东省广深珠三校2020届高三年级上学期第一次联考
数学（理）试题参考答案
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
B
B
A
D
D
A
D
C
D
12、已知函数（为自然对数的底数）在上有两个零点,则的范围是（）
A.B.C.D.
【详解】
由得,
当时,方程不成立,即,
则,设（且）,
则,
∵且,∴由得,
当时,,函数为增函数,
当且时,,函数为减函数,
则当时函数取得极小值,极小值为,
当时,,且单调递减,作出函数的图象如图：
故：
要使有两个不同的根,则即可,
即实数的取值范围是.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分
13．19；14．15；15．；16．；
三、解答题：
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
如图,在中,角所对的边分别为,；
（1）证明：
为等腰三角形；
（2）若为边上的点,,且,,求的值．
【详解】
（1）,由正弦定理得：
………..2分
由余弦定理得：
；………..4分
化简得：
所以即,………..5分
故为等腰三角形．………..6分
（2）如图,
由已知得,,
………..8分
又,
………..10分
即,
得,由
（1）可知,得．………..12分
18．（本小题满分12分）
如图,四棱锥的底面为直角梯形,,且
为等边三角形,平面平面；点分别为的中点．
（1）证明：
平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
（1）设的中点为,连接,
为的中点,所以为的中位线,
则可得,且；………..2分
在梯形中,,且,
所以四边形是平行四边形,………..4分
又平面,平面,
平面．………..6分
法二：
设为的中点,连接,
为的中点,
所以是的中位线,所以,
又平面,平面,
平面,………..2分
又在梯形中,,且,
所以四边形是平行四边形,
又平面,平面,
平面,………..4分
又,
所以平面平面,
又平面,
平面．………..6分
（2）设的中点为,又．
因平面平面,交线为,平面,
平面,
又由,,
．
即有两两垂直,如图,以点为原点,为轴,为轴,为轴建立坐标系．
………..7分
已知点,……..8分
设平面的法向量为：
．
则有,可得平面的一个法向量为,
………..10分
可得：
………..11分
所以直线与平面所成角的正弦值为．………..12分
19.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为,且经过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点,试问在轴上是否存在定点,使得直线与直线恰好关于轴对称？
若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由．
【详解】（Ⅰ）由题意可得,,又a2﹣b2＝c2,………..2分
解得a2＝4,b2＝1,．
所以,椭圆的方程为．………..4分
（Ⅱ）存在x轴上在定点Q,使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称,
设直线l的方程为x+my﹣＝0,与椭圆联立可得．
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,假设在x轴上存在定点Q（t,0）．
y1+y2＝,y1y2＝．………..6分
∵PN与QN关于x轴对称,∴kAQ+kQB＝0,………..7分
即⇒y1（x2﹣t）+y2（x1﹣t）＝0,
⇒,
⇒,
⇒⇒t＝．………..9分
∴在x轴上存在定点Q（,0）．使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称．………..10分
特别地,当直线l是x轴时,点Q（,0）．也使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称．…..11分
综上,在x轴上存在定点Q（,0）．使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称．………..12分
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点,求的值；
（3）若不等式对任意正实数恒成立,求正整数的取值集合．
【详解】
（1）,所以切线斜率为,
又,切点为,所以切线方程为．-------------2分
（2）令,得,
当时,,函数单调递减；
当时,,函数单调递增,
所以的极小值为,又,
所以在区间上存在一个零点,此时；
因为,,
所以在区间上存在一个零点,此时．综上,的值为0或3．-------------6分
（3）当时,不等式为．显然恒成立,此时；
当时,不等式可化为,------------7分
令,则,
由
（2）可知,函数在上单调递减,且存在一个零点,
此时,即
所以当时,,即,函数单调递增；
当时,,即,函数单调递减．
所以有极大值即最大值,于是．------------9分
当时,不等式可化为,
由
（2）可知,函数在上单调递增,且存在一个零点,同理可得．
综上可知．
又因为,所以正整数的取值集合为．------------12分
21.（本小题满分12分）
某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后,旅游的人数不断地增加,不仅带动了该市淡季的旅游,而且优化了旅游产业的结构,促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年,该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：
第年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
旅游人数（万人）
300
283
321
345
372
435
486
527
622
800
该景点为了预测2021年的旅游人数,建立了与的两个回归模型：
模型①：
由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；
模型②：
由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线的附近．
（1）根据表中数据,求模型②的回归方程．
（精确到个位,精确到0．01）．
（2）根据下列表中的数据,比较两种模型的相关指数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测2021年该景区的旅游人数（单位：
万人,精确到个位）．
回归方程
①
②
30407
14607
参考公式、参考数据及说明：
①对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．
②刻画回归效果的相关指数．
③参考数据：
．
5．5
449
6．05
83
4195
9．00
表中．
解：
（1）对取对数,得,……1分
设,,先建立关于的线性回归方程。
……3分
……5分……6分
模型②的回归方程为。
……7分
（2）由表格中的数据,有30407>14607,即,……9分
即,……10分
模型①的相关指数小于模型②的,说明回归模型②的拟合效果更好。
……11分
2021年时,,预测旅游人数为（万人）……12分
请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做,则按所做的第一个题目计分．
22．[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）,已知点,点是曲线上任意一点,点为的中点,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求点的轨迹的极坐标方程；
（2）已知直线：
与曲线交于两点,若,求的值.
【详解】
（1）设,.且点,由点为的中点,
所以……3分
整理得.即,
化为极坐标方程为.……5分
（2）设直线：
的极坐标方程为.设,,
因为,所以,即.……6分
联立整理得.……7分
则解得.……9分
所以，则.……10分
23．[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值．
【详解】
（1）当时，，即，……3分
解法一：
作函数的图象，它与直线的交点为，
……4分
所以，的解集的解集为．……5分
解法2：
原不等式等价于或或，……3分
解得：
或无解或，
所以，的解集为．……5分
（2）．……6分
则……7分
所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，取得最小值，．……8分
因为对，恒成立，
所以．……9分
又因，
所以，解得（不合题意）．
所以的最小值为1．……10分
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