变力做功教案.doc

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变力做功

微元法平均力法图象法等值法能量转化法

功的计算，在高中物理中占有十分重要的地位，而高考中又经常涉及到此类问题，但由于高中阶段所学的功的计算公式只能用于恒力做功情况,对于变力做功或物体运动轨迹是曲线时，不能用来计算功的大小。

常见的方法有以下几种：

微元法、平均力法、图象法、等值法和能量转化的办法。

一：

微元法

“微分”的方法，将运动轨迹细分为若干段，就可以将每一段可以看作直线，在这一过程中的变力当作恒力，以“恒定”代“变化”，以“直”代“曲”，再根据来求变力的功。

R

图1

O

F

例题1：

如图1，某人用大小不变的力F转动半径为R的圆盘，但力的方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做的功。

解：

在转动的过程中，力F的方向上课变化，但每一瞬时力F总是与该时刻的速度同向，那么F在每一瞬时就与转盘转过的极小位移同向，因此无数的瞬时的极小位移，都与F同向。

在转动的过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做的功的代数和，有：

二、平均力法

如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。

例题2：

一辆汽车质量为800千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。

其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为：

F=100x+f0，f0是车所受的阻力。

当车前进20米时，牵引力做的功是多少？

（g=10m/s2）

分析：

由于车的牵引力和位移的关系为：

F=100x+f0，成线性关系，故前进20米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。

解：

由题意可知：

开始时的牵引力：

F1=f0＝0.05×（800×10）＝400（N）

20米时的牵引力:

F2=100×20+400=2400（N）

前进20米过程中的平均牵引力：

F平=1400（N）        　　　 

所以车的牵引力做功：

W＝F平S＝1400×20＝28000（J）

　例：

一劲度系数为k的轻质弹簧，放在光滑的水平地面上，现被一物块挤压在墙角处，此时弹簧压缩量为X（如图），求弹簧开始推动物块到恢复到原长的过程中做的功。

　　解析：

物块在被弹簧弹开的过程中，弹力是变力，不能直接用W=Fscosα求解，但如果能求出这一过程中F的平均值则可用代替F用公式W=s求解。

由胡克定律：

f=kX知：

在此过程中弹力是均匀变化的，则弹力平均值为最大与最小值的平均值，由题意知，最小值Fmin=0，最大值Fmax=kX，所以

　　=，

　　因此，弹力对物块做的功为：

　　W=s=。

　　二、用图像法求解

　　物体在力的作用下运动时，可作出F-s图像（a），由图可知，物体在力F作用下运动的过程中，力F所做功与图中阴影部分的面积是对应的如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清楚，就可以在平面直角坐标系内画出F—S图象，而图线与坐标轴所围的“面积”就代表力F所做的功。

（。

　　例：

用锤击钉、设木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，每一次击打钉子时锤子对钉子做的功相同，已知击打第一次时，钉子进入板内1cm，则击打第二次时，钉子进入木板的深度是多少？

　　解析：

由木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，即f阻=KX，作出f-X图像，如图（b），因每次击钉时锤子对钉子做功相同，则每次钉子克服阻力所做的功也相同，由题意，则△AOC的面积与梯形ACDB的面积相等，即

　　S△BOD=2S△AOC

　　由数学知识有：

　　1：

（1+△X）2=1：

2，

　　解之得△X=-1=0.41cm。

　　所以第二次钉子进入木板的深度为0.41cm。

四：

等值法

等值法是若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。

由于恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。

也是我们常说的：

通过关连点，将变力做功转化为恒力做功。

图3

例题4：

如图3，定滑轮至滑块的高度为H，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为和β。

求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

分析：

在这物体从A到B运动的过程，绳的拉力对滑块与物体位移的方向的夹角在变小，这显然是变力做功的问题。

绳的拉力对滑块所做的功可以转化为力恒F做的功，位移可以看作拉力F的作用点的位移，这样就把变力做功转化为恒力做功的问题了。

解：

由图3可知，物体在不同位置A、B时，猾轮到物体的绳长分别为：

那么恒力F的作用点移动的距离为：

故恒力F做的功：

例2人在A点拉着绳通过光滑的定滑轮，吊起质量m＝50kg的物体，如图2所示，开始绳与水平方向的夹角为，当人匀速地提起物体由A点沿水平方向运动而到达B点，此时绳与水平方向成角，求人对绳的拉力所做的功。

解析：

人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变化，无法利用恒力做功公式直接求出人对绳的拉力所做的功，若转换研究对象就不难发现，人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相同，而绳对物体的拉力是恒力，故设滑轮离地面的高度为h，则

图2

人由A走到B的过程中，物体G上升的高度等于滑轮右侧的绳子增加的长度，即

人对绳子做的功为，代入数据可得：

W≈732J

五、能量转化法

功是能量转化的量度，已知外力做功情况就可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。

因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系可从能量改变的角度来求功。

力学中，利用能量转化法求变力做功，有以下四种方法：

1：

用动能定理求变力做功

动能定理的内容是：

外力对物体所做的功等于物体动能的增量。

它的表达式是：

W外=ΔEK，W外可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。

Q

θ

L

P

F

图5

O

例题6：

（89年全国高考）一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移到Q点，.如图5所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F所做的功为：

（）

分析：

在这一过程中，小球受到重力、拉力F、和绳的弹力作用，

只有重力和拉力做功，由于从平衡位置P点很缓慢地移到Q点.，小球的动能的增量为零。

那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。

解：

由动能定理可知：

故B答案正确。

例1　如图1所示，质量为2ｋｇ的物体从Ａ点沿半径为Ｒ的粗糙半球内表面以10ｍ／ｓ的速度开始下滑，到达Ｂ点时的速度变为2ｍ／ｓ，求物体从Ａ运动到Ｂ的过程中，摩擦力所做的功是多少?

图1

　分析　物体由Ａ滑到Ｂ的过程中，受重力Ｇ、弹力Ｎ和摩擦力ｆ三个力的作用，因而有ｆ＝μＮ，　Ｎ－ｍｇｃｏｓθ＝ｍｖ2／Ｒ，即　Ｎ＝ｍ（ｖ2／Ｒ）＋ｍｇｃｏｓθ．式中μ为动摩擦因素，ｖ为物体在某点的速度．分析上式可知，在物体由Ａ到Ｃ运动的过程中，θ由大到变小，ｃｏｓθ变大，因而Ｎ变大，ｆ也变大．

　在物体由Ｃ到Ｂ运动的过程中，θ由小到变大，ｃｏｓθ变小，因而Ｎ变小，ｆ也变小.

由以上可知，物体由Ａ运动到Ｂ的过程中，摩擦力ｆ是变力，是变力做功问题．

　解　根据动能定理有　

　Ｗ外＝ΔＥｋ．

　在物体由Ａ运动到Ｂ的过程中，弹力N不做功；重力在物体由Ａ运动到Ｃ的过程中对物体所做的正功与物体从Ｃ运动到Ｂ的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零．因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由Ａ运动到Ｂ的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量．则有

　Ｗ外＝Ｗｆ＝ΔＥｋ，即　　　Ｗｆ＝（1／2）ｍｖＢ2－（1／2）ｍｖＡ2＝（（1／2）×2×22－（1／2）×2×102）＝－96Ｊ．式中负号表示摩擦力对物体做负功．可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的．

例4如图4所示，在水平放置的光滑板中心开一个小孔O，穿过一细绳，绳的一端系住一个小球，另一端用力F拉着使小球在平板上做半径为r的匀速圆周运动，在运动过程中，逐渐增大拉力，当拉力增大为8F时，球的运动半径减为r/2，求在此过程中拉力所做的功。

解析：

由于小球运动过程中作用在绳上的拉力是逐渐增大，所以是一个变力做功问题，这里利用动能定理求解更简单。

由题设条件，绳的拉力提供小球做匀速圆周运动所需要的向心力，有，图4

根据动能定理，拉力所做的功

2：

用机械能守恒定律求变力做功

如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。

如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。

例题7：

质量m为2千克的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5米/秒的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5米，求弹簧的弹力对物体所做的功。

（g=10m/s2）

分析：

对于弹簧和物体组成的系统而言，只有重力和弹簧的弹力做功，全过程中，机械能守恒。

而弹力做的负功等于弹簧的弹性势能的增量。

解：

假设B为参考点，由机械能守恒定律可知：

EA=EB即：

E弹

弹力做功W弹=-125J

3：

、由功能关系求变力功

　　做功的过程是能量转化的过程，做了多少功，也就有多少能量发生转化，知道能的转化量，可求出所做的功。

例题8：

质量为2千克的均匀链条长为2米，自然堆放在光滑的水平面上，用力F竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度v=6米/秒，求该链条全部被提起时拉力F所做的功。

分析：

链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大,链条保持匀速上升，故作用在链条上的拉力是变力，显然不能直接用功的公式求功。

但可以根据功能原理有：

上提过程拉力F做的功等于机械能的增量，

解：

由用功能原理:

WF=当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了=1米，故机械能的变化量为

因此，拉力F所做的功WF=19.6J

例2　一条长链的长度为ａ，置于足够高的光滑桌面上，如图2所示．链的下垂部分长度为ｂ，并由静止开始从桌上滑下，问：

当链的最后一节离开桌面时，链的速度及在这一过程中重力所做的功为多少?

解　取桌面为零势能面，设整个链条质量为ｍ，桌面高度为ｈ，下垂部分质量为ｍ０．则有

　ｍ０／ｍ＝ｂ／ａ，ｍ０＝（ｂ／ａ）ｍ，

　开始下滑时链条的初动能Ｅｋ1＝0，

　初势能Ｅｐ1＝－ｍ０ｇ·（ｂ／2）＝－ｍｇ·（ｂ2／2ａ），

　机械能Ｅ1＝Ｅｋ1＋Ｅｐ1＝－（ｂ2／2ａ）ｍｇ．

　设链条全部离开桌面的瞬时速度为ｖ，此时链条的势能Ｅｐ2＝－（ａ／2）ｍｇ，

　动能Ｅｋ2＝（1／2）ｍｖ2，

　机械能Ｅ2＝（1／2）ｍｖ2－（ａ／2）ｍｇ，

　根据机械能守恒定律有Ｅ1＝Ｅ2，即

　－（ｂ2／2ａ）ｍｇ＝（1／2）ｍｖ2－（ａ／2）ｍｇ，

解得　ｖ＝．

　因此，在这一过程中重力所做的功为

　ＷＧ＝ΔＥｋ＝（1／2）ｍｖ2－0＝（ｍｇ／2ａ）（ａ2－ｂ2）

例：

（2000年广东省高考题）面积很