数量关系考点数量与资料Word格式.docx
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一个数能被4（或者25）整除，当且仅当末两位数字能被4（或者25）整除；
一个数能被8（或者125）整除，当且仅当末三位数字能被8（或者125）整除；
3，9整除判定法则
一个数字能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除；
一个数字能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除；
7、11、13整除的特征：
如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字相减（注意：
大数减小数），能被7、11、13整除，这个数就是7、11、13的倍数。
考点5：
基本运算定律及公式
【核心提示】平方差公式的应用
加法交换律：
a+b=b+a
加法结合律:
a+b+c=a+（b+c）
乘法交换律:
a×
b=b×
a
乘法结合律:
b×
c=a×
（b×
c）
乘法分配律:
（b+c）=a×
b+a×
c
平方差公式：
a2－b2=（a＋b）（a－b）
完全平方公式：
（a±
b）2=a2±
2ab＋b2
完全立方公式：
b）3=a3±
3a2b＋3ab2±
b3
立方和差公式：
a3±
b3=（a±
b）（a2
ab＋b2）
考点6：
等差数列
【核心提示】求和公式及变形公式的应用
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
等差数列求和公式：
和＝
＝平均数×
项数＝中位数×
项数
等差数列项数公式：
项数＝
+1
考点7：
等比数列
【核心提示】通项公式是考察的重点
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比的比值等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0），等比数列a1≠0。
（注：
q=1时，an为常数列）
（1）通项公式：
（2）求和公式：
考点8：
方程与解法
【核心提示】重点注意加减消元解方程，以提升解题速度
含有未知数的等式叫方程。
只含有一个未知数，且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程。
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）。
一般解法:
1.移项：
把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。
2.合并同类项：
将原方程化为ax=b（a≠0）的形式。
3.得出方程的解。
二元一次方程定义：
一个含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：
由两个二元一次方程组成的方程组，叫二元一次方程组。
消元：
将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：
代入消元、加减消元
一元二次方程的定义：
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。
一般形式为：
（a≠0）。
一般解法：
公式法（直接开平方法），配方法
考点9：
不定方程及不等式
【核心提示】掌握不定方程解法
不定方程：
是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程。
形如ax+by=c（a，b，c∈Z，a，b不同时为零）的方程称为二元一次不定方程。
不定方程组的解法：
代入法，赋“0”法。
不等式：
用不等号将两个整式连结起来所成的式子。
不等式的解法：
代入法，数字特性法
考点10：
代入排除法
【核心提示】代入排除法的应用技巧
代入排除法的方法是：
将选项作为一个常量或者作为题目的一个条件，代入到题干的数量关系中，通过验算，计算出这个选项是否符合题干的要求。
代入技巧：
1、一般情况居中代入，即先代入选项中的数字大小的中间数；
2、如果题干的问法是“最大、最多、至多...”一般从最大/最多代入；
3、如果题干的问法是“最小、最少、至少...”一般从最小/最少代入；
注释：
如果可以通过一些条件直接排除一些选项，则一定要先排除再代入
适用题型：
一般来说，常使用“代入排除法”的典型题目主要包括“余数/同余问题、多位数问题、不定方程问题、和差倍比问题、年龄问题、复杂行程问题”等。
考点11：
赋值法
【核提示】使用赋值法的前提条件
赋值法：
是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的。
实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想。
前提条件：
必须出现“A=B×
C”的形式
判别标准：
1、只给定了一个具体的量；
2、未给定任何具体的量。
工程问题，溶液问题，行程问题，经济利润问题、混合配比问题、几何问题、和差倍比等问题
考点12：
数字特性法
【核心提示】比例倍数特性需要熟练应用
数字特性法：
是指不需要通过具体计算得出最后的结果，只需要考虑最终结果所应满足的数字特性，从而得到正确选项的方法。
包括奇偶特性、尾数特性、整除特性、比例倍数特性等。
奇偶特性：
奇数±
奇数=偶数；
偶数±
偶数=偶数；
偶数±
奇数=奇数；
奇数±
偶数=奇数。
【推论】1、任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数。
2、任意两个数的和如果是偶数，那么差也是偶数
比例倍数特性:
若a:
b=m:
n（m、n互质），则说明a占m份，是m的倍数；
b占n份，是n的倍数。
考点13：
枚举法
【核心提示】枚举法的判别特征
枚举法是解决数学运算问题的一种基本方法。
当题干叙述，不能很明确的找到解题思路，对其所考察的知识点也不能准确把握，此时可以从已知条件入手，通过从最简单的情况开始逐个列举，通过观察列举的值，归纳出这类问题的一般规律，以达到最终解题的目的。
判别特征：
1、题目中出现“依次类推”、“按此规律”等词语；
2、题目中出现“……”，或者重复次数较多
3、题目中给定条件的值较小。
两种方法：
1、不完全归纳法；
2、穷举法。
考点14：
十字交叉法
【核心提示】十字交叉法的标准形式
十字交叉法是进行二组混合物平均量与组分计算的一种简便方法。
“十字交叉法”实际上是一种简化方程的形式，凡是符合下图左边方程的形式，都可以用下面的“十字交叉”的形式来简化：
考点15：
溶液问题
【核心提示】溶液问题的分类是重点
核心知识点：
浓度＝溶质÷
溶液，溶液＝溶质＋溶剂。
常用的解题技巧包括列方程、赋值法、抓不变量法。
（1）溶剂的变化—蒸发与稀释问题
利用相同溶质的不同比例求解溶剂变化的情况。
（2）溶质变化—溶质的增减问题
一般而言，直接计算溶质的增减比较复杂，由于溶剂与溶质对立而统一，大部分情况下，溶质变化的浓度问题需要通过计算溶剂的变化来反推浓度。
（3）不同溶液的混合问题
浓度呈规律性变化：
这类题往往具有多次操作，浓度不断变化且呈一定规律的特征。
其关键是抓住浓度变化的统一规律，从而忽略掉每个步骤的分析过程，应用公式法，简化计算。
无规律变化：
某一溶液相对于混合后溶液，溶质增加；
另一种溶液相对于混合后溶液，溶质减少。
由于总溶质不变，因此增加的溶质等于减少的溶质。
此类混合问题采用十字交叉法。
考点16：
工程问题
【核心提示】注意工程问题中常见的障碍设置
工程问题是研究工作总量、工作时间和工作效率三个量之间关系的运算题目。
核心公式：
工作总量=工作效率×
工作时间；
常用解法：
1、赋值法2、方程法3、列表法
设置障碍：
休息与周期：
1.已知条件的顺序：
①先工效，再周期，②先周期，再天数。
2.天数：
①近似天数，②准确天数。
3.列表确定工作天数。
注水与周期：
1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。
牛吃草问题：
1.新生草量，2.原有草量。
考点17：
行程问题
【核心提示】区分多种行程问题是难点
行程问题是研究物体运动的，是数学中常考的题型。
行程问题主要包括追及问题、相遇问题、流水问题、火车行程、钟表问题等。
追及问题：
两物体在同一直线或封闭图形上运动所涉及的追及、相遇问题，通常归为追及问题。
相遇问题：
多个物体相向运动，通常求相遇时间或全程。
流水问题：
船本身有动力，即使水不流动，船也有自己的速度，但在流动的水中，或者受到流水的推动，或者受到流水的顶逆，使船在流水中的速度发生变化,而竹筏等没有速度，它的速度就是水的速度
火车行程问题：
火车走过的长度其实还有本身车长，这是火车行程问题的特点。
行程问题常用公式：
基本行程问题：
路程＝速度×
时间。
相遇追及问题：
相遇距离＝（速度1＋速度2）×
相遇时间
追及距离＝（速度1－速度2）×
追及时间
环形运动问题：
环形周长＝（速度1＋速度2）×
异向运动的两人两次相遇的间隔时间
环形周长＝（速度1－速度2）×
同向运动的两人两次相遇的间隔时间
流水行船问题：
顺流航程＝（船速＋水速）×
顺流时间
逆流航程＝（船速－水速）×
逆流时间
等距离平均速度：
（其中v1、v2分别为往返速度）
无动力漂流瓶：
时间=
（其中t顺和t逆分别代表船顺流所需时间和逆流所需时间）
沿途数车问题：
发车时间间隔发车时间间隔
；
（其中t1和t2分别代表迎面来一辆车所需时间和从身后超过一辆车所需时间）
考点18：
经济利润问题
【核心提示】注重基本公式的应用
经济利润问题多涉及成本、售价、利润等之间的关系及其变化情况，贴近我们日常生活。
基本公式：
.1.利润＝单价-成本；
期望利润＝定价-成本；
实际利润＝售价-成本；
2.
3.售价=定价×
打折（“二折”即售价为定价的20%）；
4.总售价＝单价×
销售量；
总利润＝单件利润×
销售量。
三种题型：
1．利润折扣类；
2．分段计费；
3.统筹优化类。
考点19：
容斥问题
【核心提示】韦恩图法是重点
容斥原理，也就是大家高中学的“集合问题”，主要用于有重叠部分的计数方法，它的计算思想是先不考虑重叠的情况，将所有集合的所有对象数目计算出来，再逐步排除重叠的情况。
在公务员考试中，主要涉及两个集合、三个集合的容斥原理问题。
两集合容斥原理公式：
对两集合的容斥原理的推论公式：
满足条件1的个数＋满足条件2的个数－都满足的个数＝总数－都不满足的个数
三集合容斥原理公式：
画图法（韦恩图法）
（1）标数时，注意由中间向外围标记；
（2）图示中每一部分都有自己的含义，标数切不可写错。
（3）特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分；
（4）特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形；
考点20：
几何公式
【核心提示】注重三角形面积公式及圆柱体积公式
n边形的内角和与外角和
内角和=（n-2）×
180o，外角和恒等于360o
常用周长公式
正方形周长
长方形周长
圆形周长
常用面积公式
正方形面积
长方形面积
圆形面积
三角形面积
平行四边形面积
梯形面积
扇形面积
常用表面积公式
正方体的表面积
；
长方体的表面积
球的表面积
圆柱的表面积
，侧面积
常用体积公式
正方体的体积
长方体的体积
球的体积
圆柱的体积
圆锥的体积
考点21：
几何性质
【核心提示】几何性质的应用是难点
1.三角形三边关系：
“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
”
2.一个几何图形其尺度变为原来的m倍，则：
（1）对应角度不发生改变
（2）对应长度变为原来的m倍
（3）对应面积变为原来的m2倍
（4）对应体积变为原来的m3倍
3.平面图形：
周长一定，越趋近于圆，面积越大；
面积一定，越趋近于圆，周长越小；
立体图形：
表面积一定，越趋近于球，体积越大；
体积一定，越趋近于球，表面积越小。
考点22：
几何问题
【核心提示】割补平移方法
规则图形计算:
直接利用几何公式
不规则图形计算:
将不规则的部分进行等量转化、平移、替代等方法，将不规则的图形转化为规则的图形进行求解
考点23：
排列组合问题
【核心提示】区分排列与组合
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列公式：
组合公式：
考点24：
加法原理与乘法原理
【核心提示】区分加法原理与乘法原理
⒈加法原理：
做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
2．分类的要求：
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；
两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；
完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。
3．乘法原理：
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×
m2×
m3×
…×
mn种不同的方法。
4合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；
各步计数相互独立；
只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。
考点25：
排列组合问题常用解法
【核心提示】插板法与错位排列方法是重点
1、捆绑法：
如果题目要求一部分主体必须在一起，需要先将要求在一起的部分排列，
然后视为一个主体，和其他主体排列的，这是捆绑法；
2、插空法：
如果题目要求一部分主体不能在一起，就需要先排列其他主体，然后把不能在一起的主体插空，这是插空法。
3、逆向转换：
某种情况的排了组合分类情况较多且复杂，为方面计算，从反面情况考虑，再用总情况数减去反面情况数即为所求的。
4、插板法：
相同物品分给多人，每人至少1个，可以在这些物品中形成的空中（不计两端的空），插入隔板。
5、错位排列：
有N封信和N个信封，每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种树计作
，则
6、重复剔除：
如果多主体围成一圈排列，将出现重复排列，需要大家将重复的排列剔除的方法。
考点26：
概率问题
【核心提示】几何概率的定义
概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。
越接近1，该事件更可能发生；
越接近0，则该事件更不可能发生。
常用公式：
1、概率＝满足条件的情况数÷
总的情况数；
2、某条件成立概率＝1－该条件不成立的概率；
3、几何概率：
满足条件的概率＝满足条件的几何区域面积÷
总几何区域面积；
考点27：
抽屉原理
【核心提示】判别特征为“至少（最少）……保证”
若题目中出现“至少（最少）……保证”，则确定是抽屉原理的题目。
抽屉原理类问题经常考察的原理有以下3个：
1、把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
2、把多于mn（m乘以n）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有等于或不少于m的物体。
3、把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
在实际解题时的做法是答案=最不利的情形时的数值+1。
考点28：
多集合反向构造
【核心提示】判别特征为“至少……都……”
多集合是一种多于三个集合的容斥问题，此题型的表述多表述为“满足条件1是多少个、满足条件2是多少个、满足条件3是多少个、满足条件4是多少个”，问题是“至少……都……”。
此类题型需逆向思考。
解题步骤为：
反向、求和、做差。
考点29：
最值类构造
【核心提示】判别特征为“最……最……”
在题干中出现“最大”、“最多”、“最……最……”，“排名第……最……”等字样时，我们通常考虑“极端构造法”，即通过分析题目中的各个数量之间的关系，并通过“大小或多少”关系构造出符合题目所需求的数列，从而排列顺序并求解。
考点30：
端点类问题
【核心提示】植树问题公式是常见考点
端点类问题主要考察类似于线段的两个端点在实际问题中存在与不存在的问题。
经常涉及的题型为植树问题，爬楼梯问题，排队问题，剪绳子问题等。
植树问题：
题目多表述为在给定的一条线路上，等距离的植树、放置物体、打桩等，默认植树方式是单边植树；
“双边植树”在“单边植树”基础上乘以2即可。
1、单边线型植树公式：
棵数=总长÷
间隔+1；
2、单边环型植树公式：
间隔；
3、单边楼间植树公式：
间隔-1。
爬楼问题：
从地面爬到第N楼，需爬N-1层；
从第M层爬到第N层，需爬N-M层。
排队问题：
假设队伍共有N人，A排在第M位，则A前面有（M-1）人，后面有（N-M）人。
剪绳子问题：
将一根绳子通过N次的折叠（或对折），后中间剪M刀，分成段数=
考点31：
方阵问题
【核心提示】注意最外层与方阵之间的关系
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
N排N列的实心方阵常用公式：
方阵人数=N2；
最外层有人数=4N-4；
其他多边形可类推之（三角形：
3N-3）；
方阵人数＝（最外层人数÷
4＋1）2。
特殊规律：
无论是方阵还是长方阵，相邻两圈的人数都满足外圈比内圈多8人
考点32：
年龄问题
【核心提示】年龄差不变
年龄问题是指研究两人或者多人之间的年龄变化和关系的问题。
年龄问题重要原则为：
1、每过一年，所有的人都长了一岁；
2、任何两人年龄差不变；
3、任何两人年龄之间的倍数关系是变化的。
考点33：
钟表问题
【核心提示】钟表问题实质为行程问题的变形
钟表问题是基于时针、分针等在钟面以不同的速度运动彼此不断重合、分离关系而出现的一类试题。
从运动的角度来看，时钟问题可以视为行程问题的变形。
时针和分针间的距离一般用角度即两者的夹角来表示，如重合时距离为0度，成一直线时距离为180度，成直角时距离为90度。
时针每十二个小时绕钟面转一圈，每分钟走360÷
12÷
60=0.5度
分针每小时绕钟面转一圈，每分钟走360÷
60=6度
考点34：
星期日期问题
【核心提示】闰年的判别法则
星期日期问题通常涉及平年、闰年以及大、小月及星期几的问题。
闰年判定口诀：
四年一闰，百年不闰，四百年再闰，三千二百年再不闰。
判别法则：
1、能被4整除但不能被100整除的是闰年（如2011不是闰年，2012是闰年）
2、能被400整除但不能被3200整除的是闰年（如2000是闰年，2100不是闰年，3200也不是闰年）
闰年（2月有29天，全年有366天），平年（2月有28天，全年有365天）。
大月与小月：
大月：
一、三、五、七、八、十、十二月（31天）
小月：
二（28或29天）、四、六、九、十一月（30天）
考点35：
过河爬井问题
【核心提示】注意基本公式的应用
过河爬井问题所涉及的知识点如下：
1、M个人过河，船上能载N个人，由于需要一人划船，故共需过河（M-1）/（N-1）次
2、“过一次河”指的是单程，“往返一次”指的是双程；
3、载人过河的时候，最后一次不再需要返回。
考点36：
空瓶换酒问题
【核心提示】公式的含义
空瓶换酒问题提问方式为：
如果m个空瓶可以换1瓶酒,那么n个空瓶不花钱最多可以换几瓶酒?
此类问题的问法中都会有“最多”。
最终计算的答案=n/（m-1）。
考点37：
比赛问题
【核心提示】淘汰赛与循环赛的规则
比赛问题涉及淘汰赛、单循环赛和双循环赛三种情况，若用N表示比赛场次，则
淘汰赛：
决冠亚军比赛场次=N-1，决前四名场次=N
单循环赛场次为：
双循环赛场次为：
考点38：
基础数列
【核心提示】平方数列与立方数列是难点
在数字推理是将基础数列做为原数列，对原数列进行处理得到的数列称为次生数列。
最常见的基础数列为:
常数数列：
由一个固定的常数构成的数列称为常数数列。
等差数列：
后项减去前项的差值保持不变的数列称为等差数列。
等比数列：
后项除以前项的比值保持不变的数列称为等比数列。
平方数列：
1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、……
立方数列：
1、8、27、64、125、216、343、512、729、1000、……
周期数列：
自某一项开始重复出现前面相同（相似）的数列称为周期数列。
简单递推数列：
每一项等于其前两项的和、差、积或者商的数列称为简单递推数列。
考点39：
多级数列
【核心提示】三级数列是难点
多级数列是指需要对数列相邻两项进行加、减、乘、除四则运算后得到次生数列为基础数列的数列。
按照四则运算的不同，可以分为做差多级数列、做商多级数列、做和多级数列、做积多级数列四种数列。
所对应的特征分别为：
数列有五项或者六项，增长速度较为平缓；
数字之间倍数关系比较明显；
无明显一致的数列特征，部分数列呈现杂乱的样式，可能无单增或单减数列趋势；
数列中含有较多分数，并且相邻两项存在明显的约分关系。
按照层级不同又可分为二级数列、三级数列两类，若对原数列做四则运算得到次生数列有规律时，称为二级
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