用空间向量解立体几何问题方法归纳学生版Word文档格式.docx

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v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0

例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.

（1）求证：

EF∥平面PAB；

（2）求证：

平面PAD⊥平面PDC.

使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.

例2、在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°

，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，

且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．

求证：

（1）B1D⊥平面ABD；

（2）平面EGF∥平面ABD.

二．利用空间向量求空间角基础知识

（1）向量法求异面直线所成的角：

若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝

.

（2）向量法求线面所成的角：

求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，a〉|＝

（3）向量法求二面角：

求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，

若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝

；

若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－

例1、如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，

点D是BC的中点．

（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；

（2）求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．

例2、如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°

（1）证明：

AB⊥A1C；

（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

（1）运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：

①建立恰当的空间直角坐标系；

②求出相关点的坐标；

③写出向量坐标；

④结合公式进行论证、计算；

⑤转化为几何结论．

（2）求空间角应注意：

①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cosα＝|cosβ|.

②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．

例3、如图，在四棱锥SABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，

平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝

，SE⊥AD.

平面SBE⊥平面SEC；

（2）若SE＝1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．

例4、如图是多面体ABCA1B1C1和它的三视图．

（1）线段CC1上是否存在一点E，使BE⊥平面A1CC1？

若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；

（2）求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值．

三．利用空间向量解决探索性问题

例1、如图1，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB（如图2）．

（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

（2）求二面角EDFC的余弦值；

（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？

如果存在，求出

的值；

如果不存在，请说明理由．

（1）空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.

（2）解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.

例2、.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°

，AA1＝BC＝2AC＝2.

（1）若D为AA1中点，求证：

平面B1CD⊥平面B1C1D；

（2）在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1CDC1的大小为60°

？

四．空间直角坐标系建立的创新问题

空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题．解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点．

一、经典例题领悟好

例1、如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，

∠ACB＝∠ACD＝

，F为PC的中点，AF⊥PB.

（1）求PA的长；

（2）求二面角BAFD的正弦值．

建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系（本题利用AC⊥BD），若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.

例2、如图，在空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝DA＝DC＝BE＝2.BE与平面ABC所成的角为60°

，且点E在平面ABC内的射影落在∠ABC的平分线上．

DE∥平面ABC；

（2）求二面角EBCA的余弦值．

专题训练

1.如图所示，在多面体ABCD－A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB∥A1B1，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.

（1）求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；

（2）已知F是AD的中点，求证：

FB1⊥平面BCC1B1.

3．如图

（1），四边形ABCD中，E是BC的中点，DB＝2，DC＝1，BC＝

，AB＝AD＝

.将图

（1）沿直线BD折起，使得二面角ABDC为60°

，如图

（2）．

AE⊥平面BDC；

（2）求直线AC与平面ABD所成角的余弦值．

4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3

，AD＝6，BD是对角线，过点A作AE⊥BD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将△ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PB＝

PO⊥平面ABCE；

（2）求二面角EAPB的余弦值．

5.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝

，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．

（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值；

（2）求B点到平面PCD的距离；

（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为

若存在，求出

若不存在，请说明理由．

6．如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.M是棱SB的中点．

AM∥平面SCD；

（2）求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值；

（3）设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．

7、如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°

，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1，FA⊥CD.

在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；

（2）求二面角FCDA的余弦值．

8、.如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2

，E是PB上任意一点．

AC⊥DE；

（2）已知二面角APBD的余弦值为

，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．

9、如图1，A，D分别是矩形A1BCD1上的点，AB＝2AA1＝2AD＝2，DC＝2DD1，把四边形A1ADD1沿AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接A1B，D1C得几何体ABA1DCD1.

（1）当点E在棱AB上移动时，证明：

D1E⊥A1D；

（2）在棱AB上是否存在点E，使二面角D1ECD的平面角为

若存在，求出AE的长；