西南交1112考试批次《线性代数》复习题及参考答案Word格式.docx

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D正确，因为R（A）=n。

3.A、B为n阶方阵,且A、B等价,|A|=0，则R（B）。

（A）小于n

（B）等于n

（C）小于等于n

（D）大于等于n

A

4.若A为5阶方阵且|A|=2，则|－2A|=。

（A）4

（B）－4

（C）－64

（D）64

C

5.线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm的系数矩阵为A,增广矩阵为A¯

则它有无穷多个解的充要条件为。

（A）R（A）=R（A¯

）<

n

（B）R（A）=R（A¯

m

（C）R（A）<

R（A¯

（D）R（A）=R（A¯

）=m

6.一个n维向量组α1,α2,⋯,αs（s>

1）线性相关的充要条件是

（A）有两个向量的对应坐标成比例

（B）含有零向量

（C）有一个向量是其余向量的线性组合

（D）每一个向量都是其余向量的线性组合

7.设3阶矩阵A的特征值为1,−1,2，则下列矩阵中可逆矩阵是

（A）E−A

（B）E+A

（C）2E−A

（D）2E+A

8.设α1,α2,α3是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也可作为Ax=0的基础解系的是

（A）α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3

（B）α1+α2,α2+α3,α3−α1

（C）α1+α2,α2+α3,α3+α1

（D）α1−α2,0,α2−α3

三、判断题（判断正误，共6道小题）

9.如果行列式有两行元素完全相同，则行列式为零。

说法正确

10.

A ,B是同阶方阵，且|AB|≠0，则（AB）−1=B−1A−1。

11.

A是n阶方阵，λ∈R，则有|λA|=|λ||A|。

说法错误

|λA|=λn|A|

12.设A是一个n阶方阵且方程组Ax=0有非零解，则|A|=0。

13.设A是n阶方阵（n≥2）,λ∈R,则|λA|=λ|A|。

14.若向量组{α1,α2,α3,α4}线性相关，则{α1,α2,α3}也线性相关。

四、主观题（共13道小题）

15.

|012⋱n−1n0|＝____________________。

参考答案：

（−1）n+1n!

16.行列式|123124125|=。

17.若向量组α1=（1,2,−1,1）,α2=（2,0,t,0）,α3=（0,−4,5,−2）的秩为2，则t=。

t=3

18.设A为m×

n矩阵，B为n×

m矩阵，且m>

n。

则|AB|=___________。

（R（AB）≤max{R（A）,R（B）}≤n,且AB为m阶方阵，故不可逆）

19.已知A=（1222−1λ31−1），三阶方阵B≠0，且满足AB=0。

则λ=____________。

λ=−3

|A|=0，否则B=0

20.向量组α1=（1,2,−1,1）,α2=（2,0,k,0）,α3=（0,−4,5,−2）的秩为2，则k=

3

21.设|A|=|1aba2cbc3|=0，A+B=（300030003），则矩阵B有一个特征值λ=

22.齐次线性方程组[124−102][x1x2x3]=[000]的一个基础解系为____

（2−31）T

23.

24.设A是反对称矩阵,E+A是可逆矩阵。

证明（E−A）（E+A）−1是正交矩阵。

25.已知3阶方阵A可逆且A−1=[101220333]，求A的伴随矩阵的逆矩阵.

26.

27.设α1=（1221）,α2=（21−2−2）,α3=（1−1−4−3）,α4=（0364）.求向量组{α1,α2,α3,α4}的一个最大线性无关向量组。

线性代数第2次作业

本次作业是本门课程本学期的第2次作业，注释如下：

1.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是。

（A）α1−α2，α2−α3，α3−α1

（B）

α1，α2，α3+α1

（C）

α1，α2，2α1−3α2

（D）

α2，α3，2α2+α3

A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；

B中的向量组与α1，α2，α3等价,其秩为3，B向量组线性无关；

C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，是线性相关向量组。

2.设A是n阶矩阵，且A的行列式|A|=0，则A中。

（A）必有一列元素全为0；

（B）必有两列元素对应成比例；

（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合；

（D）任一列向量是其余列向量的线性组合。

3.矩阵（011−1201−1−10013−141101−1）的秩为。

（A）1

2

（C）3

（D）4

4.若矩阵（1a−121−1a210−12）的秩为2,则a的值为。

（A）0

（B）0或-1

（C）-1

（D）-1或1

5.二次型f（x1,x2,x3）=2x12+5x22+5x32+4x1x2−8x2x3，则f的矩阵为。

（A）（24005−8005）

（B）（24005−40−45）

（C）（22025−40−45）

（D）（24045−40−45）

6.设A、B为n阶方阵，且A与B等价，|A|=0，则r（B）

7.若矩阵[122−31−1λ−3102−3]的秩为2,则λ的取值为

（B）-1

（C）2

（D）-3

8.已知线性方程组[a111a111a][x1x2x3]=[11−2]有无穷多个解，则a=。

（A）2

（B）-2

（C）1

（D）-1

9.设A ,B是同阶方阵，则AB=BA。

若A是方阵，则|A|=|AT|。

11.如果矩阵A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。

反例：

A=（100010000），B=（000010001）

12.非齐次线性方程组Ax=b一定有解。

13.若A、B是n阶非零方阵，且AB=0，则|A|≠0或者|B|≠0。

14.设λ=0是n阶方阵A的特征值，则方程组Ax=0有非零解。

四、主观题（共12道小题）

15.设α1=（6−204）,α2=（−3157），则3α1−2α2=

3α1−2α2=（24−8−10−2）

16.设α=（−110）,A=（201042110）,B=（100322）,则αAB=

αAB=（014）

17.

设A为3阶矩阵，且满足|A|=3，则|A−1|=____________，|3A∗|=_____________。

1/3，35

18.向量组α1=（111）,α2=（025）,α3=（247）,α4=（120）是线性______的，它的一个极大线性无关组是_________________。

相关（因为向量个数大于向量维数）。

α1,α2,α4。

因为α3=2α1+α2,A=|α1α2α4|≠0。

19.若R（A）=r，则n元方程组Ax=0当r=时，此方程组只有零解。

r=n时，此方程组只有零解。

20.设A=（A1A2⋱An）是分块对角矩阵，其中Ak=（k+1kkk+1）,（k=1,2,⋯,n）,则|A|=

（2n+1）!

!

21.设矩阵A=[123045002],B=[1005−10231],则行列式|AB|=_______

|AB|=−8

22.若矩阵A=[2101a000a]为正定矩阵，则a的取值范围是____________

a>

1/2

23.求一个正交变换P,化二次型f（x1,x2,x3）=2x12+3x22+3x32+4x2x3为标准形。

24.

25.

26.用正交变换化二次型f（x1,x2,x3）=2x12+3x22+3x32+4x2x3为标准型，并求出所用的正交变换及f的标准型。

问：

这个二次型是否是正定的？

为什么？

线性代数第3次作业

本次作业是本门课程本学期的第3次作业，注释如下：

1.设A为n阶方阵，且A2+A−5E=0。

则（A+2E）−1=。

（A）A−E

（B）A+E

（C）13（A−E）

（D）13（A+E）

A2+A−5E=0⇒A2+A−2E=3E⇒（A+2E）（A−E）=3E⇒（A+2E）−1=13（A−E）

2.若n维向量α1，α2，⋯,αn线性相关，β为任一n维向量，则。

（A）α1,α2,⋯,αn,β线性相关；

（B）α1,α2,⋯,αn,β线性无关；

（C）β一定能由α1,α2,⋯,αn线性表示；

（D）α1,α2,⋯,αn,β的相关性无法确定。

3.设线性方程组{3x1+x2=13x1+3x2+3x3=05x1−3x2−2x3=1，则此方程组。

（A）有唯一解

（B）有无穷多解

（C）无解

（D）有基础解系

4.设n维向量组α1,α2,⋯,αs,若任一维向量都可由这个向量组线性表出,必须有。

（A）s=n

（B）s<

n

（C）s>

（D）s≥n

5.设α1,α2,α3,β,γ都是4维列向量，且4阶行列式|α1,α2,α3,β|=a，|γ,α1,α2,α3|=b，则4阶行列式|α1,α2,α3,β+γ|=

（A）a+b

（B）−a−b

（C）a−b

（D）b−a

6.设B,C为4阶矩阵，A=BC,R（B）=4,R（C）=2，且α1,α2,α3是线性方程组Ax=0的解，则它们是

（A）基础解系

（B）线性相关的

（C）线性无关的

（D）A,B,C都不对

7.设n维列向量α=（12,0,⋯,0,12）T，矩阵A=I−ααT，B=I+2ααT，则AB=

（B）−I

（C）I

（D）I+ααT

8.设矩阵Am×

n的秩r（A）=m<

n，下述结论中正确的是。

（A）A的任意m个列向量必线性无关

（B）A的任意一个m阶子式不等于零

（C）齐次方程组Ax=0只有零解

（D）非齐次方程组Ax=b必有无穷多解

三、判断题（判断正误，共5道小题）

9.

若AB=O，则A=O或B=O。

10.n维向量组{α1,α2,α3,α4}线性相关，则{α2,α3,α4}线性无关。

11.若方程组Ax=0有非零解，则方程组Ax=b一定有无穷多解。

12.若A ,B均为n阶方阵，则当|A|>

|B|时，A ,B一定不相似。

相似矩阵行列式值相同

13.设A是m×

n阶矩阵且线性方程组Ax=b有惟一解，则m≥n。

14.设A是m×

n矩阵,B是p×

m矩阵，则ATBT是×

阶矩阵。

ATBT是n×

p阶矩阵。

15.由m个n维向量组成的向量组，当mn时，向量组一定线性相关。

m>

n时向量组一定线性相关

16.设A=（2−311a1503），且秩R（A）=2，则a=_______________。

a=6

（R（A）=2⇒|A|=0）

17.已知η1,η2,η3是四元方程组Ax=b的三个解，其中A的秩R（A）=3，η1=（1234），η2+η3=（4444），则方程组Ax=b的通解为______________。

（1234）T+k（20−2−4）T。

因为R（A）=3，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为η2+η3−2η1，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。

18.设方程组{ax1+x2+x3=1x1+ax2+x3=ax1+x2+ax3=a2则，当a=时方程组无解，当a=时方程组有无穷多个解，当a≠时方程组有唯一解。

当a=−2时方程组无解，当a=1时方程组有无穷多个解，当a≠1,−2时方程组有唯一解。

19.设矩阵A与B相似，B=（123045006），则A的行列式|A|=

24

20.设A=[1−1220432t]，若3阶非零方阵B满足AB=0，则t=_______

t=6

21.

22.

已知方阵A=[1b0−2a0003]的特征值为λ1=λ2=3,λ3=0.

（1）求a,b的值；

（2）求可逆矩阵P及对角矩阵D,使得P−1AP=D.

线性代数第4次作业

本次作业是本门课程本学期的第4次作业，注释如下：

12.设A是一个n