西南交1112考试批次《线性代数》复习题及参考答案Word格式.docx

1、D正确，因为R（A）=n。3. A、B为 n阶方阵,且A、B等价,| A |=0 ，则R（B） 。 （A） 小于n （B） 等于n （C） 小于等于n （D） 大于等于nA4. 若A为5阶方阵且|A|=2，则|2A|= 。 （A） 4 （B） 4 （C） 64 （D） 64C5. 线性方程组 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = b m 的系数矩阵为 A,增广矩阵为 A ,则它有无穷多个解的充要条件为 。 （A） R（A

2、）=R（A）n （B） R（A）=R（Am （C） R（A）1） 线性相关的充要条件是 （A） 有两个向量的对应坐标成比例 （B） 含有零向量 （C） 有一个向量是其余向量的线性组合 （D） 每一个向量都是其余向量的线性组合7. 设3阶矩阵 A的特征值为 1 , 1 , 2 ，则下列矩阵中可逆矩阵是 （A） EA （B） E+A （C） 2EA （D） 2E+A8. 设 1 , 2 , 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 Ax=0 的基础解系的是 （A） 1+2,2+3,1+22+3 （B） 1+2,2+3,31 （C） 1+2,2+3,3+1 （D） 12,0,2

3、3三、判断题（判断正误，共6道小题）9. 如果行列式有两行元素完全相同，则行列式为零。说法正确10. A,B 是同阶方阵，且 | AB |0 ，则 （ AB ） 1 = B 1 A 1 。11. A 是 n阶方阵， R ，则有 | A |=|A| 。说法错误| A | = n | A | 12. 设 A是一个 n阶方阵且方程组 Ax=0 有非零解，则 |A|=0 。13. 设 A是 n阶方阵（ n2 ）, R ,则 | A |=|A| 。14. 若向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关，则 1 , 2 , 3 也线性相关。四、主观题（共13道小题）15. | 0 1 2 n1 n 0 |

4、 _。参考答案：（1）n+1n!16. 行列式 | 1 2 3 1 2 4 1 2 5 | = 。17. 若向量组 1 =（1,2,1,1） , 2 =（2,0,t,0） , 3 =（0,4,5,2） 的秩为2，则 t= 。t=318. 设 A为 mn 矩阵， B为 nm 矩阵，且 mn 。则 | AB | =_。（R（AB）maxR（A）,R（B）n,且AB为m阶方阵，故不可逆）19. 已知 A=（ 1 2 2 2 1 3 1 1 ） ，三阶方阵 B0 ，且满足 AB=0 。则 =_。=3| A |=0 ，否则 B=0 20. 向量组 1 =（1,2,1,1） , 2 =（2,0,k,0）

5、, 3 =（0,4,5,2） 的秩为2，则 k= 321. 设 |A|=| 1 a b a 2 c b c 3 |=0 ， A+B=（ 3 0 0 0 3 0 0 0 3 ） ，则矩阵 B有一个特征值 = 22. 齐次线性方程组 1 2 4 1 0 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0 的一个基础解系为 _（231）T23. 24. 设A是反对称矩阵,E+A是可逆矩阵。证明 （EA） （E+A） 1 是正交矩阵。25. 已知3阶方阵A可逆且 A 1 = 1 0 1 2 2 0 3 3 3 ，求A的伴随矩阵的逆矩阵.26. 27. 设 1 =（ 1 2 2 1 ）, 2 =（ 2 1 2

6、2 ）, 3 =（ 1 1 4 3 ）, 4 =（ 0 3 6 4 ） .求向量组 1 , 2 , 3 , 4 的一个最大线性无关向量组。线性代数第2次作业本次作业是本门课程本学期的第2次作业，注释如下：1. 设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 。 （A） 12，23，31 （B） 1，2，3+1 （C） 1，2，2132 （D） 2，3，22+3A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；B中的向量组与1，2，3等价,其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，是线性相关向量组。2. 设 A是 n阶矩阵，且 A的行列式 |A|=0 ，则

7、A中 。 （A） 必有一列元素全为0； （B） 必有两列元素对应成比例； （C） 必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D） 任一列向量是其余列向量的线性组合。3. 矩阵 （ 0 1 1 1 2 0 1 1 1 0 0 1 3 1 4 1 1 0 1 1 ） 的秩为 。 （A） 12 （C） 3 （D） 44. 若矩阵 （ 1 a 1 2 1 1 a 2 1 0 1 2 ） 的秩为2,则 a的值为 。 （A） 0 （B） 0或-1 （C） -1 （D） -1或15. 二次型 f（ x 1 , x 2 , x 3 ）=2 x 1 2 +5 x 2 2 +5 x 3 2 +4 x 1 x 2 8

8、 x 2 x 3 ，则 f的矩阵为 。 （A） （240058005） （B） （240054045） （C） （220254045） （D） （240454045）6. 设 A、 B为 n阶方阵，且 A与 B等价， |A|=0 ，则 r（B） 7. 若矩阵 1 2 2 3 1 1 3 1 0 2 3 的秩为2,则 的取值为 （B） -1 （C） 2 （D） -38. 已知线性方程组 a 1 1 1 a 1 1 1 a x 1 x 2 x 3 = 1 1 2 有无穷多个解，则 a= 。 （A） 2 （B） -2 （C） 1 （D） -19. 设 A,B 是同阶方阵，则 AB=BA 。若 A是方

9、阵，则 |A|=| A T | 。11. 如果矩阵A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。反例：A=（100010000），B=（000010001）12. 非齐次线性方程组 Ax=b 一定有解。13. 若 A、 B是 n阶非零方阵，且 AB=0 ，则 |A|0 或者 |B|0 。14. 设 =0 是 n阶方阵 A的特征值，则方程组 Ax=0 有非零解。四、主观题（共12道小题）15. 设 1 =（ 6 2 0 4 ） , 2 =（ 3 1 5 7 ） ，则 3 1 2 2 = 3122=（248102）16. 设 =（ 1 1 0 ） , A=（ 2 0 1 0 4 2 1 1 0 ）

10、 , B=（ 1 0 0 3 2 2 ） ,则 AB= AB=（014）17. 设 A为3阶矩阵，且满足 |A|=3 ，则 | A 1 | =_， | 3 A |= _。1/3，3518. 向量组 1 =（ 1 1 1 ） , 2 =（ 0 2 5 ） , 3 =（ 2 4 7 ） , 4 =（ 1 2 0 ） 是线性_的，它的一个极大线性无关组是_。相关（因为向量个数大于向量维数）。 1 , 2 , 4 。因为 3 =2 1 + 2 , A=|1 2 4|0。19. 若 R（A）=r ，则 n元方程组 Ax=0 当 r= 时，此方程组只有零解。r=n 时，此方程组只有零解。20. 设 A=（

11、 A 1 A 2 A n ） 是分块对角矩阵，其中 A k =（ k+1 k k k+1 ） , （k=1 , 2 , , n） ,则 |A|= （2n+1）!21. 设矩阵 A= 1 2 3 0 4 5 0 0 2 , B= 1 0 0 5 1 0 2 3 1 ,则行列式 | AB |= _ |AB|=822. 若矩阵 A= 2 1 0 1 a 0 0 0 a 为正定矩阵，则 a的取值范围是 _ _a1/223. 求一个正交变换P,化二次型 f（ x 1 , x 2 , x 3 ）=2 x 1 2 +3 x 2 2 +3 x 3 2 +4 x 2 x 3 为标准形。24. 25. 26. 用

12、正交变换化二次型 f（ x 1 , x 2 , x 3 ）=2 x 1 2 +3 x 2 2 +3 x 3 2 +4 x 2 x 3 为标准型，并求出所用的正交变换及f的标准型。问：这个二次型是否是正定的？为什么？线性代数第3次作业本次作业是本门课程本学期的第3次作业，注释如下：1. 设 A为 n阶方阵，且 A 2 +A5E=0 。则 （ A+2E ） 1 = 。 （A） AE （B） A+E （C） 13（AE） （D） 13（A+E）A2+A5E=0A2+A2E=3E（A+2E）（AE）=3E（A+2E）1=13（AE）2. 若 n维向量 1 ， 2 ， , n 线性相关， 为任一 n维向

13、量，则 。 （A） 1,2,n,线性相关； （B） 1,2,n,线性无关； （C） 一定能由1,2,n线性表示； （D） 1,2,n,的相关性无法确定。3. 设线性方程组 3 x 1 + x 2 =1 3 x 1 +3 x 2 +3 x 3 =0 5 x 1 3 x 2 2 x 3 =1 ，则此方程组 。 （A） 有唯一解 （B） 有无穷多解 （C） 无解 （D） 有基础解系4. 设 n维向量组 1 , 2 , s ,若任一维向量都可由这个向量组线性表出,必须有 。 （A） s= n （B） s （D） s n5. 设 1 , 2 , 3 , 都是4维列向量，且4阶行列式 | 1 , 2 ,

14、3 , |=a ， | , 1 , 2 , 3 |=b ，则4阶行列式 | 1 , 2 , 3 ,+ |= （A） a+b （B） ab （C） ab （D） ba6. 设 B,C 为4阶矩阵， A=BC , R（B）=4 , R（C）=2 ，且 1 , 2 , 3 是线性方程组 Ax=0 的解，则它们是 （A） 基础解系 （B） 线性相关的 （C） 线性无关的 （D） A,B,C都不对7. 设 n维列向量 = （ 1 2 ,0,0, 1 2 ） T ，矩阵 A=I T ， B=I+2 T ，则 AB= （B） I （C） I （D） I+T8. 设矩阵 A mn 的秩 r（A）=m|B| 时

15、， A,B 一定不相似。相似矩阵行列式值相同13. 设 A是 mn 阶矩阵且线性方程组 Ax=b 有惟一解，则 mn 。14. 设 A是 mn 矩阵, B是 pm 矩阵，则 A T B T 是 阶矩阵。A T B T 是np阶矩阵。15. 由m个n维向量组成的向量组，当m n时，向量组一定线性相关。mn时向量组一定线性相关16. 设 A=（ 2 3 1 1 a 1 5 0 3 ） ，且秩 R（ A ）=2 ，则 a= _。a=6 （R（A）=2|A|=0）17. 已知 1 , 2 , 3 是四元方程组 Ax=b 的三个解，其中 A的秩 R（ A ）=3 ， 1 =（ 1 2 3 4 ） ， 2

16、 + 3 =（ 4 4 4 4 ） ，则方程组 Ax=b 的通解为_。（ 1 2 3 4 ） T+k （ 2 0 2 4 ） T 。因为 R（ A ）=3 ，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为2+321，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。18. 设方程组 a x 1 + x 2 + x 3 =1 x 1 +a x 2 + x 3 =a x 1 + x 2 +a x 3 = a 2 则，当 a= 时方程组无解，当 a= 时方程组有无穷多个解，当 a 时方程组有唯一解。当 a=2 时方程组无解，当 a=1 时方程组有无穷多个解，当a1,2时方程组有唯一解。19. 设矩阵 A与 B相似， B=（ 1 2 3 0 4 5 0 0 6 ） ，则 A的行列式 |A|= 2420. 设 A= 1 1 2 2 0 4 3 2 t ，若3阶非零方阵 B满足 AB=0 ，则 t= _ t=621. 22. 已知方阵 A= 1 b 0 2 a 0 0 0 3 的特征值为 1 = 2 =3 , 3 =0 .（1）求a,b的值；（2）求可逆矩阵P及对角矩阵D,使得 P 1 AP=D .线性代数第4次作业本次作业是本门课程本学期的第4次作业，注释如下：12. 设 A是一个 n