第一节平面向量的概念及运算性质.docx

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第一节平面向量的概念及运算性质

第一节平面向量的概念及其线性运算

[知识能否忆起]

一、向量的有关概念

1．向量：

既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

2．零向量：

长度等于0的向量，其方向是任意的．

3．单位向量：

长度等于1个单位的向量．

4．平行向量：

方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：

0与任一向量共线．

5．相等向量：

长度相等且方向相同的向量．

6．相反向量：

长度相等且方向相反的向量．

二、向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则

（1）交换律：

a＋b＝b＋a；

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则

三、向量的数乘运算及其几何意义

1．定义：

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

2．运算律：

设λ，μ是两个实数，则：

①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb.

四、共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

[小题能否全取]

1．下列命题正确的是（　　）

A．不平行的向量一定不相等

B．平面内的单位向量有且仅有一个

C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量

D．若a与b平行，则b与a方向相同或相反

解析：

选A　对于B，单位向量不是仅有一个，故B错；对于C，a与c的方向也可能相反，故C错；对于D，若b＝0，则b的方向是任意的，故D错，综上可知选A.

2.如右图所示，向量a－b等于（　　）

A．－4e1－2e2　　B．－2e1－4e2

C．e1－3e2　　　D．3e1－e2

解析：

选C　由题图可得a－b＝＝e1－3e2.

3．（教材习题改编）设a，b为不共线向量，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是（　　）

A．＝　　　　　　　　B．＝2

C．＝－D．＝－2

解析：

选B　＝＋＋＝a＋2b＋（－4a－b）＋（－5a－3b）＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2.

4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.

解析：

|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.

答案：

2

5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－（b－3a）共线，则λ＝________.

解析：

由题意知a＋λb＝k[－（b－3a）]，

所以解得

答案：

－

　共线向量定理应用时的注意点

（1）向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．

（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所

在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

向量的有关概念

典题导入

[例1]　给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中假命题的个数为（　　）

A．1　　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

[自主解答]　①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．

②正确．∵＝，∴||＝||且∥.

又∵A，B，C，D是不共线的四点，

∴四边形ABCD是平行四边形．

反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且与方向相同，因此＝.

③不正确．两向量不能比较大小．

④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．

[答案]　C

由题悟法

1．平面向量的概念辨析题的解题方法

准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．

2．几个重要结论

（1）向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；

（2）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；

（3）向量平行与起点的位置无关.

以题试法

1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析：

选D　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：

一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

向量的线性运算

典题导入

[例2]　

（1）（2011·四川高考）如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝（　　）

A．0　　　　　　　B．

C．D．

（2）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于（　　）

A.B.

C．－D．－

[自主解答]　

（1）如图，∵在正六边形ABCDEF中，＝，＝，

∴＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝CF―→.

（2）∵＝＋，＝＋，

∴2＝＋＋＋.

又∵＝2，

∴2＝＋＋

＝＋＋（－）

＝＋.

∴＝＋，即λ＝.

[答案]　

（1）D　

（2）A

若

（2）中的条件作如下改变：

若点D是AB边延长线上一点且||＝||，若＝λ＋μ，则λ－μ的值为________．

解析：

∵＝＋＝＋2＝＋2（－）＝2－＝λ＋μ.

∴λ＝2，μ＝－1.∴λ－μ＝3.

答案：

3

由题悟法

在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识．

以题试法

2．（2012·汉阳调研）若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：

①＋＝＋；②＋＝＋；

③－＝＋.其中正确的有（　　）

A．0个B．1个

C．2个D．3个

解析：

选C　①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋，＝成立．

共线向量

典题导入

[例3]　设两个非零向量a与b不共线．

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）．求证：

A，B，D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

[自主解答]　

（1）证明：

∵＝a＋b，＝2a＋8b，

＝3（a－b），

∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）

＝2a＋8b＋3a－3b

＝5（a＋b）＝5.

∴，共线，

又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．

（2）∵ka＋b与a＋kb共线，

∴存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），

即ka＋b＝λa＋λkb.

∴（k－λ）a＝（λk－1）b.

∵a，b是不共线的两个非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0，即k2－1＝0.

∴k＝±1.

由题悟法

1．当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用．

2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．

以题试法

3．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t（a＋b），是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？

若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．

解：

由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝（t－3）a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即（t－3）a＋tb＝－3ka＋2kb，

整理得（t－3＋3k）a＝（2k－t）b.

因为a，b不共线，所以有

解之得t＝.

故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．

　　　[典例]　（2012·四川高考）设a，b都是非零向

量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件

是（　　）

A．a＝－b　　　　　B．a∥b

C．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|

[尝试解题]　对于A，当a＝－b时，≠；对于B，注意当a∥b时，与可能反向；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b.　

[答案]　C

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针对训练

1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（　　）

A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选A　由a∥b⇒a＝λb，不能得出a＋b＝0.

2．已知向量p＝＋，其中a，b均为非零向量，则|p|的取值范围是（　　）

A．[0，]B．[0,1]

C．（0,2]D．[0,2]

解析：

选D　由已知向量p是两个单位向量的和，当这两个单位向量同向时，|p|max＝2，当这两个单位向量反向时，|p|min＝0.

1．下列等式：

①0a＝－a；②－（－a）＝a；③a＋（－a）＝0；④a＋0a；⑤a－b＝a＋（－b）．正确的个数是（　　）

A．2　　　　　　　　　　　　B．3

C．4D．5

解析：

选C　a＋（－a）＝0，故③错．

2．（2012·福州模拟）若a＋b＋c＝0，则a，b，c（　　）

A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形

B．一定不可能构成三角形

C．都是非零向量时能构成三角形

D．一定可构成三角形

解析：

选A　当a，b，c为非零向量且不共线时可构成三角形，而当a，b，c为非零向量共线时不能构成三角形．

3．（2012·威海质检）已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选A　由＋2＝3，得－＝2－2，即＝2，所以＝.

4．（2012·海淀期末）如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），那么＝（　　）

A.－　　　　B.＋

C.＋D.－

解析：

选D　在△CEF中，有＝＋，因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－.

5．（2013·揭阳模拟）已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于（　　）

A．30°B．60°

C．90°D．120°

解析：

选A　由＋＋＝0得＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.

6．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为（　　）

A．P在△ABC内部

B．P在△ABC外部

C．P在AB边所在直线上

D．P是AC边的一个三等分点

解析：

选D　∵＋＋＝，

∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，

∴P是AC边的一个三等分点．

7．（2012·郑州五校联考）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2