大一高数试题及答案文档格式.docx

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ｄｘ 

∫ 

ｆ（Ｘ 

＋Ｙ 

）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为

0 

ｄ 

3 

ｙ 

３ 

ｙ

９．微分方程─── 

──（─── 

） 

的阶数为____________。

ｘ 

∞ 

∞

１０．设级数 

∑ 

ａ 

n 

发散，则级数 

_______________。

n=1 

n=1000

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ 

）内，

１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）

（一）每小题１分，共１０分

１．设函数ｆ（ｘ）＝── 

，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ 

（ 

）

１ 

① 

１－ 

── 

②１＋ 

③──── 

④ｘ

１－ｘ

２．ｘ→0 

时，ｘｓｉｎ──＋１是 

无穷大量 

②无穷小量 

③有界变量 

④无界变量

３．下列说法正确的是 

若ｆ（ 

X 

）在 

X＝Xo连续， 

则ｆ（ 

）在X＝Xo可导

② 

X＝Xo不可导，则ｆ（ 

）在X＝Xo不连续

③ 

X＝Xo不可微，则ｆ（ 

）在X＝Xo极限不存在

④ 

X＝Xo不连续，则ｆ（ 

）在X＝Xo不可导

４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'

（ｘ）〈０，ｆ"

（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）

内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 

上升的凸弧 

②下降的凸弧 

③上升的凹弧 

④下降的凹弧

５．设Ｆ'

（x） 

Ｇ'

（x），则 

Ｆ（X）＋Ｇ（X） 

为常数

Ｆ（X）－Ｇ（X） 

＝０

ｄ

④──∫ 

Ｆ（ｘ）ｄｘ 

──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ

ｄｘ

1

６．∫│ｘ│ｄｘ 

-1

０ 

２ 

３

７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 

平行于ｘｏｙ面的平面

平行于ｏｚ轴的平面

过ｏｚ轴的平面

直线

８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ 

＋ｙ 

＋ｘ 

ｙｔｇ── 

，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝ 

ｔｆ（ｘ，ｙ） 

②ｔ 

ｆ（ｘ，ｙ）

ｔ 

ｆ（ｘ，ｙ） 

──ｆ（ｘ，ｙ）

＋１ 

９．设ａ 

≥０，且ｌｉｍ 

───── 

＝ｐ，则级数 

∑ａ 

n→∞ 

n=1

在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散

在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散

在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散

在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散

１０．方程ｙ'

＋３ｘｙ＝６ｘ 

ｙ是 

一阶线性非齐次微分方程

齐次微分方程

可分离变量的微分方程

二阶微分方程

（二）每小题２分，共２０分

１１．下列函数中为偶函数的是 

ｙ＝ｅ 

②ｙ＝ｘ 

＋１

ｙ＝ｘ 

ｃｏｓｘ 

④ｙ＝ｌｎ│ｘ│

１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ 

1 

〈ｘ 

〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（ 

ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'

（ζ）（ｂ－ａ）

（ζ）（ｘ 

ｆ（ｘ 

）－ｆ（ｘ 

）＝ｆ'

１３．设ｆ（X）在 

X＝Xo 

的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 

可导的 

充分必要的条件

必要非充分的条件

必要且充分的条件

既非必要又非充分的条件

１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］ 

，则ｆ（０）＝１，

则ｆ（ｘ）＝ 

②２－ｃｏｓｘ 

③１＋ｓｉｎｘ 

④１－ｓｉｎｘ

１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ 

的曲线方程为ｙ＝ 

4 

②ｘ 

＋ｃ 

③ｘ 

④ｘ 

－１

x

１６．ｌｉｍ 

───∫ 

３ｔｇｔ 

ｄｔ＝ 

x→0 

③── 

④∞

ｘｙ

１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ 

＋ｙ 

y→0

ｓｉｎ１

１８．对微分方程ｙ"

＝ｆ（ｙ，ｙ'

），降阶的方法是 

设ｙ'

＝ｐ，则ｙ"

＝ｐ'

ｄｐ

─── 

ｄｙ

＝ｐ───

＝── 

───

ｐ 

１９．设幂级数 

在ｘ 

o 

（ｘ 

≠０）收敛，则 

在│ｘ│〈│ｘo│（ 

n=o 

n=o

绝对收敛 

②条件收敛 

③发散 

④收敛性与ａ 

有关

ｓｉｎｘ

２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ 

所围成，则∫∫─────ｄσ＝ 

D 

①∫ 

∫───── 

__

√y 

②∫ 

ｄｙ 

─────ｄｘ

y 

√x 

③∫ 

─────ｄｙ

④∫ 

三、计算题（每小题５分，共４５分）

___________

／ｘ－１

１．设ｙ＝／ 

求 

ｙ'

ｘ（ｘ＋３）

ｓｉｎ（９ｘ 

－１６）

２．求ｌｉｍ 

─────────── 

x→4/3 

３ｘ－４

３．计算 

∫─────── 

（１＋ｅ 

t 

４．设ｘ＝ 

∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，求 

５．求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。

___

６．设ｕ＝ｅ 

＋√ｙ＋ｓｉｎｚ，求 

ｄｕ 

asinθ

７．计算 

ｒｓｉｎθｄｒｄθ 

ｙ＋１

８．求微分方程ｄｙ＝（ 

──── 

ｄｘ通解 

ｘ＋１

９．将ｆ（ｘ）＝ 

───────── 

展成的幂级数 

（１－ｘ）（２＋ｘ）

四、应用和证明题（共１５分）

１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度

（比例常数为ｋ〉０）求速度与时间的关系。

___ 

２．（７分）借助于函数的单调性证明：

当ｘ〉１时，２√ｘ 

〉３－ 

附：

高数

（一）参考答案和评分标准

１．（－１，１）

２．２ｘ－ｙ＋１＝０

３．５Ａ

４．ｙ＝ｘ 

５．──ａｒｃｔｇｘ 

＋ｃ

２

６．１

７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）

π/2 

π

８．∫ 

ｄθ∫ 

ｆ（ｒ 

）ｒｄｒ

９．三阶

１０．发散

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的

）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）

１．③ 

２．③ 

３．④ 

４．④ 

５．②

６．② 

７．② 

８．⑤ 

９．④ 

１０．③

１１．④ 

１２．④ 

１３．⑤ 

１４．③ 

１５．③

１６．② 

１７．① 

１８．③ 

１９．① 

２０．②

１．解：

ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］ 

（２分）

＝──（────－──－────） 

ｘ－１ 

ｘ＋３

__________

／ｘ－１ 

／──────（────－──－────） 

（１分）

ｘ（ｘ＋３） 

１８ｘｃｏｓ（９ｘ 

２．解：

原式＝ｌｉｍ 

──────────────── 

（３分）

１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３） 

－１６］

────────────────────── 

＝８ 

１＋ｅ 

－ｅ 

３．解：

原式＝∫───────ｄｘ 

ｄ（１＋ｅ 

＝∫─────－∫─────── 

＝∫───────ｄｘ＋ 

＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅ 

）＋ 

＋ｃ 

４．解：

因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ 

－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ

所以 

＝－ｔｇｔ 

（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ

５．解：

所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ 

ｙ－１ 

ｚ－２

所求直线方程为 

────＝────＝──── 

－３

__ 

６．解：

ｄｕ＝ｅ 

x+√y 

+sinz 

ｄ（ｘ＋√ｙ＋ｓｉｎｘ） 

一、

C 

A 

A

B 

D

二 

课程代码：

00020

一、单项选择题（本大题共 

20 

小题，每小题 

分，共 

40 

分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1. 

设函数 

（　　　）

A. 

B.

C. 

D.

2. 

已知 

f（x）=ax+b, 

且 

f（-1）=2,f

（1）=-2, 

则 

f（x）= 

A.x+3