届高考理科数学第一轮总复习导数及其应用教案Word文件下载.docx

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典例精析

题型一　导数的概念

【例1】已知函数f（x）＝2ln3x＋8x，

求f（1－2Δx）－f

（1）Δx的值

【解析】由导数的定义知：

f（1－2Δx）－f

（1）Δx＝－2f（1－2Δx）－f

（1）－2Δx＝－2f′

（1）＝－20

【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx→0时，平均变化率ΔΔx的极限

【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量（）与时间t（in）的函数关系可以近似地表示为f（t）＝t2100，则在时刻t＝10in的降雨强度为（　　）

A1/inB14/in

12/inD1/in

【解析】选A

题型二　求导函数

【例2】求下列函数的导数

（1）＝ln（x＋1＋x2）；

（2）＝（x2－2x＋3）e2x；

（3）＝3x1－x

【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则

（1）′＝1x＋1＋x2（x＋1＋x2）′

＝1x＋1＋x2（1＋x1＋x2）＝11＋x2

（2）′＝（2x－2）e2x＋2（x2－2x＋3）e2x

＝2（x2－x＋2）e2x

（3）′＝13（x1－x1－x＋x（1－x）2

＝13（x1－x1（1－x）2

＝13x（1－x）

【变式训练2】如下图，函数f（x）的图象是折线段AB，其中A、B、的坐标分别为（0,4），（2,0），（6,4），则f（f（0））＝　　　　　　；

f（1＋Δx）－f

（1）Δx＝　　　　　　（用数字作答）

【解析】f（0）＝4，f（f（0））＝f（4）＝2，

由导数定义f（1＋Δx）－f

（1）Δx＝f′

（1）

当0≤x≤2时，f（x）＝4－2x，f′（x）＝－2，f′

（1）＝－2

题型三　利用导数求切线的斜率

【例3】已知曲线：

＝x3－3x2＋2x，直线l：

＝x，且l与切于点P（x0，0）（x0≠0），求直线l的方程及切点坐标

【解析】由l过原点，知＝0x0（x0≠0），又点P（x0，0）在曲线上，0＝x30－3x20＋2x0，

所以0x0＝x20－3x0＋2

而′＝3x2－6x＋2，＝3x20－6x0＋2

又＝0x0，

所以3x20－6x0＋2＝x20－3x0＋2，其中x0≠0，

解得x0＝32

所以0＝－38，所以＝0x0＝－14，

所以直线l的方程为＝－14x，切点坐标为（32，－38）

【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数列方程，即可求得切点的坐标

【变式训练3】若函数＝x3－3x＋4的切线经过点（－2，2），求此切线方程

【解析】设切点为P（x0，0），则由

′＝3x2－3得切线的斜率为＝3x20－3

所以函数＝x3－3x＋4在P（x0，0）处的切线方程为

－0＝（3x20－3）（x－x0）

又切线经过点（－2,2），得

2－0＝（3x20－3）（－2－x0），①

而切点在曲线上，得0＝x30－3x0＋4，②

由①②解得x0＝1或x0＝－2

则切线方程为＝2或9x－＋20＝0

总结提高

1函数＝f（x）在x＝x0处的导数通常有以下两种求法：

（1）导数的定义，即求ΔΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx的值；

（2）先求导函数f′（x），再将x＝x0的值代入，即得f′（x0）的值

2求＝f（x）的导函数的几种方法：

（1）利用常见函数的导数公式；

（2）利用四则运算的导数公式；

（3）利用复合函数的求导方法

3导数的几何意义：

函数＝f（x）在x＝x0处的导数f′（x0），就是函数＝f（x）的曲线在点P（x0，0）处的切线的斜率

导数的应用

（一）

题型一　求函数f（x）的单调区间

【例1】已知函数f（x）＝x2－ax－aln（x－1）（a∈R），求函数f（x）的单调区间

【解析】函数f（x）＝x2－ax－aln（x－1）的定义域是（1，＋∞）

f′（x）＝2x－a－ax－1＝2x（x－a＋22）x－1，

①若a≤0，则a＋22≤1，f′（x）＝2x（x－a＋22）x－1＞0在（1，＋∞）上恒成立，所以a≤0时，f（x）的增区间为（1，＋∞）

②若a＞0，则a＋22＞1，

故当x∈（1，a＋22]时，f′（x）＝2x（x－a＋22）x－1≤0；

当x∈[a＋22，＋∞）时，f′（x）＝2x（x－a＋22）x－1≥0，

所以a＞0时，f（x）的减区间为（1，a＋22]，f（x）的增区间为[a＋22，＋∞）

【点拨】在定义域x＞1下，为了判定f′（x）符号，必须讨论实数a＋22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键

【变式训练1】已知函数f（x）＝x2＋lnx－ax在（0,1）上是增函数，求a的取值范围

【解析】因为f′（x）＝2x＋1x－a，f（x）在（0,1）上是增函数，

所以2x＋1x－a≥0在（0,1）上恒成立，

即a≤2x＋1x恒成立

又2x＋1x≥22（当且仅当x＝22时，取等号）

所以a≤22，

故a的取值范围为（－∞，22]

【点拨】当f（x）在区间（a，b）上是增函数时&

#868;

f′（x）≥0在（a，b）上恒成立；

同样，当函数f（x）在区间（a，b）上为减函数时&

f′（x）≤0在（a，b）上恒成立然后就要根据不等式恒成立的条求参数的取值范围了

题型二　求函数的极值

【例2】已知f（x）＝ax3＋bx2＋x（a≠0）在x＝±

1时取得极值，且f

（1）＝－1

（1）试求常数a，b，的值；

（2）试判断x＝±

1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由

【解析】

（1）f′（x）＝3ax2＋2bx＋

因为x＝±

1是函数f（x）的极值点，

所以x＝±

1是方程f′（x）＝0，即3ax2＋2bx＋＝0的两根

由根与系数的关系，得

又f

（1）＝－1，所以a＋b＋＝－1③

由①②③解得a＝12，b＝0，＝－32

（2）由

（1）得f（x）＝12x3－32x，

所以当f′（x）＝32x2－32＞0时，有x＜－1或x＞1；

当f′（x）＝32x2－32＜0时，有－1＜x＜1

所以函数f（x）＝12x3－32x在（－∞，－1）和（1，＋∞）上是增函数，在（－1,1）上是减函数

所以当x＝－1时，函数取得极大值f（－1）＝1；

当x＝1时，函数取得极小值f

（1）＝－1

【点拨】求函数的极值应先求导数对于多项式函数f（x）讲，f（x）在点x＝x0处取极值的必要条是f′（x）＝0但是，当x0满足f′（x0）＝0时，f（x）在点x＝x0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f（x）的导数异号时，x0才是f（x）的极值点并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；

如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值

【变式训练2】定义在R上的函数＝f（x），满足f（3－x）＝f（x），（x－32）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，则有（　　）

Af（x1）＜f（x2）Bf（x1）＞f（x2）

f（x1）＝f（x2）D不确定

【解析】由f（3－x）＝f（x）可得f[3－（x＋32）]＝f（x＋32），即f（32－x）＝f（x＋32），所以函数f（x）的图象关于x＝32对称又因为（x－32）f′（x）＜0，所以当x＞32时，函数f（x）单调递减，当x＜32时，函数f（x）单调递增当x1＋x22＝32时，f（x1）＝f（x2），因为x1＋x2＞3，所以x1＋x22＞32，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f（x1）＞f（x2）故选B

题型三　求函数的最值

【例3】求函数f（x）＝ln（1＋x）－14x2在区间[0,2]上的最大值和最小值

【解析】f′（x）＝11＋x－12x，令11＋x－12x＝0，化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去

又由f′（x）＝11＋x－12x＞0，且x∈[0,2]，得知函数f（x）的单调递增区间是（0,1），同理，得知函数f（x）的单调递减区间是（1,2），所以f

（1）＝ln2－14为函数f（x）的极大值又因为f（0）＝0，f

（2）＝ln3－1＞0，f

（1）＞f

（2），所以，f（0）＝0为函数f（x）在[0,2]上的最小值，f

（1）＝ln2－14为函数f（x）在[0,2]上的最大值

【点拨】求函数f（x）在某闭区间[a，b]上的最值，首先需求函数f（x）在开区间（a，b）内的极值，然后，将f（x）的各个极值与f（x）在闭区间上的端点的函数值f（a）、f（b）比较，才能得出函数f（x）在[a，b]上的最值

【变式训练3】

（2008江苏）f（x）＝ax3－3x＋1对x∈[－1,1]总有f（x）≥0成立，则a＝　　　

【解析】若x＝0，则无论a为何值，f（x）≥0恒成立

当x∈（0,1]时，f（x）≥0可以化为a≥3x2－1x3，

设g（x）＝3x2－1x3，则g′（x）＝3（1－2x）x4，

x∈（0，12）时，g′（x）＞0，x∈（12，1]时，g′（x）＜0

因此g（x）ax＝g（12）＝4，所以a≥4

当x∈[－1,0）时，f（x）≥0可以化为

a≤3x2－1x3，此时g′（x）＝3（1－2x）x4＞0，

g（x）in＝g（－1）＝4，所以a≤4

综上可知，a＝4

1求函数单调区间的步骤是：

（1）确定函数f（x）的定义域D；

（2）求导数f′（x）；

（3）根据f′（x）＞0，且x∈D，求得函数f（x）的单调递增区间；

根据f′（x）＜0，且x∈D，求得函数f（x）的单调递减区间

2求函数极值的步骤是：

（1）求导数f′（x）；

（2）求方程f′（x）＝0的根；

（3）判断f′（x）在方程根左右的值的符号，确定f（x）在这个根处取极大值还是取极小值

3求函数最值的步骤是：

先求f（x）在（a，b）内的极值；

再将f（x）的各极值与端点处的函数值f（a）、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值

33　导数的应用

（二）

题型一　利用导数证明不等式

【例1】已知函数f（x）＝12x2＋lnx

（1）求函数f（x）在区间[1，e]上的值域；

（2）求证：

x＞1时，f（x）＜23x3

（1）由已知f′（x）＝x＋1x，

当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，因此f（x）在[1，e]上为增函数

故f（x）ax＝f（e）＝e22＋1，f（x）in＝f

（1）＝12，

因而f（x）在区间[1，e]上的值域为[12，e22＋1]

（2）证明：

令F（x）＝f（x）－23x3＝－23x3＋12x2＋lnx，则F′（x）＝x＋1x－2x2＝（1－x）（1＋x＋2x2）x，

因为x＞1，所以F′（x）＜0，

故F（x）在（1，＋∞）上为减函数

又F

（1）＝－16＜0，

故x＞1时，F（x）＜0恒成立，

即f（x）＜23x3

【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法

【变式训练1】已知对任意实数x，有f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时（　　）

Af′（x）＞0，g′（x）＞0Bf′（x）＞0，g′（x）＜0

f′（x）＜0，g′（x）＞0Df′（x）＜0，g′（x）＜0

【解析】选B

题型二　优化问题

【例2】（2009湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为26万元；

距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2＋x）x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为万元

（1）试写出关于x的函数关系式；

（2）当＝640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？

（1）设需新建n个桥墩，则（n＋1）x＝，

即n＝x－1

所以＝f（x）＝26n＋（n＋1）（2＋x）x

＝26（x－1）＋x（2＋x）x

＝26x＋x＋2－26

（2）由

（1）知f′（x）＝－26x2＋12x＝2x2（x－12）

令f′（x）＝0，得x＝12所以x＝64

当0＜x＜64时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0,64）内为减函数；

当64＜x＜640时，f′（x）＞0，f（x）在区间（64,640）内为增函数

所以f（x）在x＝64处取得最小值

此时n＝x－1＝64064－1＝9

故需新建9个桥墩才能使最小

【变式训练2】

（2010上海）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用96米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？

并求出该最大值（结果精确到001平方米）

【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，

则由已知可得4（4r＋2h）＝96，所以2r＋h＝12

S＝24πr－3πr2，h＝12－2r＞0，所以r＜06

所以S＝24πr－3πr2（0＜r＜06）

令f（r）＝24πr－3πr2，则f′（r）＝24π－6πr

令f′（r）＝0得r＝04所以当0＜r＜04，f′（r）＞0；

当04＜r＜06，f′（r）＜0

所以r＝04时S最大，Sax＝11

题型三　导数与函数零点问题

【例3】设函数f（x）＝13x3－x2＋（2－4）x，x∈R

（1）当＝3时，求曲线＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程；

（2）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β若对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f

（1）恒成立，求实数的取值范围

（1）当＝3时，f（x）＝13x3－3x2＋x，f′（x）＝x2－6x＋

因为f

（2）＝23，f′

（2）＝－3，所以切点坐标为（2，23），切线的斜率为－3，

则所求的切线方程为－23＝－3（x－2），即9x＋3－20＝0

（2）f′（x）＝x2－2x＋（2－4）

令f′（x）＝0，得x＝－2或x＝＋2

当x∈（－∞，－2）时，f′（x）＞0，f（x）在（－∞，－2）上是增函数；

当x∈（－2，＋2）时，f′（x）＜0，f（x）在（－2，＋2）上是减函数；

当x∈（＋2，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（＋2，＋∞）上是增函数

因为函数f（x）有三个互不相同的零点0，α，β，且f（x）＝13x[x2－3x＋3（2－4）]，

所以

解得∈（－4，－2）∪（－2,2）∪（2,4）

当∈（－4，－2）时，－2＜＋2＜0，

所以α＜－2＜β＜＋2＜0

此时f（α）＝0，f

（1）＞f（0）＝0，与题意不合，故舍去

当∈（－2,2）时，－2＜0＜＋2，

所以α＜－2＜0＜＋2＜β

因为对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f

（1）恒成立，

所以α＜1＜β

所以f

（1）为函数f（x）在[α，β]上的最小值

因为当x＝＋2时，函数f（x）在[α，β]上取最小值，

所以＋2＝1，即＝－1

当∈（2,4）时，0＜－2＜＋2，

所以0＜－2＜α＜＋2＜β

所以＋2＝1，即＝－1（舍去）

综上可知，的取值范围是{－1}

【变式训练3】已知f（x）＝ax2（a∈R），g（x）＝2lnx

（1）讨论函数F（x）＝f（x）－g（x）的单调性；

（2）若方程f（x）＝g（x）在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围

（1）当a＞0时，F（x）的递增区间为（1a，＋∞），递减区间为（0，1a）；

当a≤0时，F（x）的递减区间为（0，＋∞）

（2）[12ln2，1e）

在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值

34　定积分与微积分基本定理

题型一　求常见函数的定积分

【例1】计算下列定积分的值

（1）（x－1）dx；

（2）（x＋sinx）dx

（1）因为[16（x－1）6]′＝（x－1），

所以（x－1）dx＝＝16

（2）因为（x22－sx）′＝x＋sinx，

所以（x＋sinx）dx＝＝π28＋1

【点拨】

（1）一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；

（2）当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；

（3）对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；

（4）当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：

①若f（x）是偶函数时，则f（x）dx＝2f（x）dx；

②若f（x）是奇函数时，则f（x）dx＝0

【变式训练1】求（3x3＋4sinx）dx

【解析】（3x3＋4sinx）dx表示直线x＝－，x＝，＝0和曲线＝3x3＋4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号

又f（－x）＝3（－x）3＋4sin（－x）

＝－（3x3＋4sinx）＝－f（x）

所以f（x）＝3x3＋4sinx在[－,]上是奇函数，

所以（3x3＋4sinx）dx＝－（3x3＋4sinx）dx，

所以（3x3＋4sinx）dx＝（3x3＋4sinx）dx＋（3x3＋4sinx）dx＝0

题型二　利用定积分计算曲边梯形的面积

【例2】求抛物线2＝2x与直线＝4－x所围成的平面图形的面积

【解析】方法一：

如图，

由

得交点A（2,2），B（8，－4），

则S＝[2x－（－2x）]dx＋[4－x－（－2x）]dx

＝＋

＝163＋383＝18

方法二：

S＝[（4－）－22]d

＝＝18

【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝φ（）的形式，同时，积分上、下限必须对应的取值

【变式训练2】设是一个正整数，（1＋x）的展开式中x3的系数为116，则函数＝x2与＝x－3的图象所围成的阴影部分（如图）的面积为　　　　

【解析】Tr＋1＝r（x）r，令r＝3，得x3的系数为313＝116，解得＝4由得函数＝x2与＝4x－3的图象的交点的横坐标分别为1,3

所以阴影部分的面积为S＝（4x－3－x2）dx＝（2x2－3x－＝43

题型三　定积分在物理中的应用

【例3】

（1）变速直线运动的物体的速度为v（t）＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；

（2）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时阻力所做的功

（1）当0≤t≤1时，v（t）≥0，当1≤t≤2时，v（t）≤0，所以前2秒内所走过的路程为

s＝v（t）dt＋（－v（t））dt

＝（1－t2）dt＋（t2－1）dt

=＋＝2

2秒末所在的位置为

x1＝x0＋v（t）dt＝1＋（1－t2）dt＝13

所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1＝13

（2）物体的速度为v＝（bt3）′＝3bt2

媒质阻力F阻＝v2＝（3bt2）2＝9b2t4，其中为比例常数，且＞0

当x＝0时，t＝0；

当x＝a时，t＝t1＝（ab），

又ds＝vdt，故阻力所做的功为

阻＝ds＝v2&

#8226;

vdt＝v3dt

＝（3bt2）3dt＝277b3t71＝2773a7b2

【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：

v（t）＝a（t）dt，s（t）＝v（t）dt和＝F（x）dx这三个公式

【变式训练3】定义F（x，）＝（1＋x），x，∈（0，＋∞）令函数f（x）＝F[1，lg2（x2－4x＋9）]的图象为曲线1，曲线1与轴交于点A（0，），过坐标原点向曲线1作切线，切点为B（n，t）（n＞0），设曲线1在点A，B之间的曲线段与线段A，B所围成图形的面积为S，求S的值

【解析】因为F（x，）＝（1＋x），所以f（x）＝F（1，lg2（x2－4x＋9））＝＝x2－4x＋9，故A（0,9），又过坐标原点向曲线1作切线，切点为B（n，t）（n＞0），f′（x）＝2x－4

所以解得B（3,6），

所以S＝（x2－4x＋9－2x）dx＝（x33－3x2＋9x）=9

1定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数

2定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理

3利用定积分求平面图形面积的步骤：

（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；

（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；

（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；

（4）计算定积分，写出答案