初三数学圆知识点复习专题.docx
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初三数学圆知识点复习专题
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文案大全圆—苑老师
一、圆的概念
集合形式的概念：
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：
可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：
可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：
到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：
到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：
到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：
平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：
平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内?
dr?
?
点C在圆内；
2、点在圆上?
dr?
?
点B在圆上；
3、点在圆外?
dr?
?
点A在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离?
dr?
?
无交点；
2、直线与圆相切?
dr?
?
有一个交点；
3、直线与圆相交?
dr?
?
有两个交点；
d
rd=rrd
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）?
无交点?
dRr?
?
；
外切（图2）?
有一个交点?
dRr?
?
；
相交（图3）?
有两个交点?
RrdRr?
?
?
?
；
内切（图4）?
有一个交点?
dRr?
?
；
rddCBAO．
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文案大全内含（图5）?
无交点?
dRr?
?
；
图1rRd图3rRd
五、垂径定理
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：
此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径②ABCD?
③CEDE?
④弧BC?
弧BD⑤弧AC?
弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：
在⊙O中，∵AB∥CD
∴弧AC?
弧BD
例题1、基本概念
1．下面四个命题中正确的一个是（）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
2．下列命题中，正确的是（）
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心
C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧图2rR
d图4rR
d图5rR
CBCDAB．
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文案大全例题2、垂径定理
1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.
2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm.
3、如图，已知在⊙O中，弦CDAB?
，且CDAB?
，垂足为H，ABOE?
于E，CDOF?
于F.
（1）求证：
四边形OEHF是正方形.
（2）若3?
CH，9?
DH，求圆心O到弦AB和CD的距离.
4、已知：
△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．
5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：
AD=21BF.
例题3、度数问题
1、已知：
在⊙O中，弦cm12?
AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：
AOB?
的度数和圆的半径.
2、已知：
⊙O的半径1?
OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC?
的度数。
例题4、相交问题
如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.
A
BD
C
E
O
ODEFC．
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例题5、平行问题
在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：
AB与CD之间的距离.
例题6、同心圆问题
如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：
22baBDAD?
?
?
.
例题7、平行与相似
已知：
如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于CDAE?
E，CDBF?
于F.求证：
FDEC?
.
六、圆心角定理
圆心角定理：
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：
①AOBDOE?
?
?
；②ABDE?
；
③OCOF?
；④弧BA?
弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：
∵AOB?
和ACB?
是弧AB所对的圆心角和圆周角
∴2AOBACB?
?
?
2、圆周角定理的推论：
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：
在⊙O中，∵C?
、D?
都是所对的圆周角
∴CD?
?
?
推论2：
半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：
在⊙O中，∵AB是直径或∵90C?
?
?
∴90C?
?
?
∴AB是直径
FEDCBA
OCA
ODCBA
CBAO．
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推论3：
若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：
在△ABC中，∵OCOAOB?
?
∴△ABC是直角三角形或90C?
?
?
注：
此推论实是初二年级几何中矩形的推论：
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？
【例2】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．
【例3】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm
（1）求证：
AC⊥OD；
（2）求OD的长；（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．
【例4】四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求BD的长．
【例5】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．
（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？
请说明理由．
（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2=．参照
（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．
CBAO．
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八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：
在⊙O中，
∵四边形ABCD是内接四边形
∴180CBAD?
?
?
?
?
180BD?
?
?
?
?
DAEC?
?
?
例1、如图7-107，⊙O中，两弦AB∥CD，M是AB的中点，过M点作弦DE．求证：
E，M，O，C四点共圆．
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：
过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：
过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：
∵MNOA?
且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
（2）性质定理：
切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：
过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：
过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：
①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
EDCBANMAO．
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文案大全切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：
∵PA、PB是的两条切线
∴PAPB?
PO平分BPA?
利用切线性质计算线段的长度
例1：
如图，已知：
AB是⊙O的直径，P为延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，又PC=4，⊙O的半径为3．求：
OD的长．
利用切线性质计算角的度数
例2：
如图，已知：
AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE的延长线交于F，且AF=BF．求：
∠A的度数．
利用切线性质证明角相等
例3：
如图，已知：
AB为⊙O的直径，过A作弦AC、AD，并延长与过B的切线交于M、N．求证：
∠MCN=∠MDN．
利用切线性质证线段相等PBAO．
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文案大全例4：
如图，已知：
AB是⊙O直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E．求证：
CD=CE．
利用切线性质证两直线垂直
例5：
如图，已知：
△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E．求证：
DE⊥AC．
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：
圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：
在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，
∴PAPBPCPD?
?
?
（2）推论：
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：
在⊙O中，∵直径ABCD?
，
∴2CEAEBE?
?
（3）切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：
在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线
∴2PAPCPB?
?
（4）割线定理：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：
在⊙O中，∵PB、PE是割线
PODCBEBADECBPAO．
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PCPBPDPE?
?
?
例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：
AE的值。
例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
图2
例3.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：
PB＝1：
4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。
图3
例4.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，
（1）求证：
；
（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。
图4
例
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