折纸盒正方体折叠问题小结0830Word文件下载.docx

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这个就需要空间想象一下或者试验一下。

有时，题目直接告诉，这个图形可以折成正方体，只是需要我们判断哪些面是相对的。

这样的话就可以判断出来，C和c是相对的。

一般来说，只要我们从平面展开图，分析处一个面存在两个对面的情形时，那就一定不能折成正方体。

运用上面的方法我们容易判断出折成正方体后，平面展开图中那两个正方形相对，也就进而判断出那些正方形相邻。

2怎么在平面展开图中判断在平面展开图中不相邻但是在折起来之后在立体图中相邻的两个面A和B的邻边?

一般来说，如果A和B在平面展开图在折成正方体后A和B相邻，且A和B在平面展开图中不相邻（这里的在平面展开图中不相邻指的是在平面展开图中没有公共点），那么在平面展开图中A与B的对面b一定相邻（这里的在平面展开图中两个正方形相邻指的是在平面展开图中两个正方形至少有一个公共点）。

（这个结论可以进行实例验证）

也就是说在平面展开图中我们容易找到A与b的相邻边，我们又知道，折成正方体后A与B的邻边上的点一定在B上，而平面展开图中A与b邻边上的点在折成正方体后一定仍然在b上，而立体图中B与b相对，所以A与b邻边l上的点一定不在B上，所以平面展开图中正方形A中经过l的端点的边一定不是平面展开图折成正方体后A与B的临边（因为如果A中经过l的端点的边是折成正方体后A与B的临边，那么折成正方体后l的端点一定在A上，而我们前面已经判断出平面展开图折成正方体后l上的点在A的相对面A’，即不在A上，所以矛盾，故A中经过l的端点的边不是平面展开图折成正方体后A与B的临边），而正方向A中四条边只有一条边，即正方形与l平行的边，不经过l的端点。

小结下：

判断出平面展开图中正方形A与B折成正方体后相邻后，如果我们想知道面平面展开图中正方形A中哪条边折成正方体后是B的临边，应该怎么判断呢？

首先在平面展开图中找到B的相对面B’（即找到平面展开图哪个正方形折成正方体后与B相对），平面展开图中B’与A的临边一般很好判断，确定了平面展开图中B’与A的临边之后，正方形A中那条与该临边平行的边就是折成正方体后面A中与面B相邻的边。

同理可以找到B中哪条边在平面展开图折成正方体后与面A相邻。

首先在平面展开图中找到平面展开图折成正方体后面A的相对面，平面展开图中，面A的相对面A‘与面B的临边一般很好判断，即很容易确定正方形B中哪条边在折成正方体后是面A‘的临边，正方形B中与该临边平行的边就是折成正方体后B中与面A的相临的边。

即如果我们想判断A哪条边与某个面B的临边，我们需要在平面展开图中正方向B的相对面。

如果我们要判断B的哪条边在折成正方体后与A相邻，我们需要在平面展开图中判断A的相对面。

上面已经叙述了如何判断出平面展开图中两个相邻面的相邻边，这种方法继续使用还可以判断出平面展开图这两个相邻面的相邻边那个点对应哪个点。

举例说明如下：

使用上面的方法容易判断出折成正方体后A和c的临边是

和

即折成正方体后，

重合，是一条边。

但是折成正方体后点

与

重合呢还是与

重合呢？

判断方法如下，再次使用上面的方法容易判断出下面的平面展开图折成正方体后c和B的临边是

，显然在平面展开图中

是

的交点，折成立方体后仍然是

的交点，在平面展开图中

的交点，由于折成立方体后，

重合，

重合，所以

重合，如此就判断出了折成立方体后

重合，也就知道了

重合

补充说明：

因为立体图中A与B的邻边上的两个点都在B上，所以如果能判断出平面展开图中A的某一边中有一个点在立体图中不在B上，那么平面炸开图上A的这条边在立体图中一定不是A与B的邻边。

基础：

在平面图上相邻，在立体图中一定相邻，在平面图上的邻边一定也是立体图上的邻边。

所以A与b在平面图上的邻变是line的话，那么在立体图上line也一定是他们的邻边，立体图中邻边line上的点在b上，因为邻边line上的点一定不在B上（因为b与B相对）而A的4条边有三条与这两个点有关，只有1条边与这条边无，所以立体图中，A与b的邻边是剩下的那条边。

显然这个分析过程用的是排除法。

3标点法

标记特殊点进行分析。

4有时需要判断一个面内各个点的时针顺序来做题，外表面平面展开图一个正方形内各个点时针顺序应该与立体图中相应的面各个点时针顺序是一样的，要么都是顺时针，要不都是逆时针。

还有时用到的是一个面中几个边的时针顺序在平面展开图与立体图中一致这个性质。

比如在平面展开图中一个面中三个边la，lb，lc满足从la到lb到lc再到la是顺时针顺序，那么在立体图中这个面的这三条边la，lb，lc也满足这个性质。

还有时用到平面展开图中某个正方向某两条边和公共顶点的时针顺序与立方体中相应面这两条边与他们公共顶点的时针顺序一致这个性质进行判断。

详细说明如下：

我们根据平面展开图判断出正方形A的四条边中某条边l是折成立方体后两个面A和A’的临边，正方形A内又画了一条对角线，显然该对角线必然与边l必然构成一个45°

角，我们可以根据从对角线到公共顶点再到l运动的运动方向是顺时针还是逆时针进行一些判断。

5各个面之间的时针顺序：

正方体三个相邻面之间时针顺序不变，即对于一个正方体，如果A、B、C三个面相邻，且从A到B到C时针顺序是顺时针（逆时针），那么平面展开图中三个ABC三个正方形，从A到B到C的顺序也是顺时针（逆时针）：

注意，有时平面展开图中A、B、C三个正方形不相邻，此时需要让正方形A、B、C在平面上进行滚动，使他们相邻，然后判断从A到B到C的顺序。

反之亦然。

如何滚动呢？

如下图所示，我们知道折成立方体后，C,a,b相邻，我们如果要判断平面展开图中正方向从C到a到b是顺时针还是逆时针，首先就在平面展开图中滚动某个或者多个正方向，使得平面展开图中的正方向C,a,b相邻，注意滚动的原则某个方向滚动一次只能滚动90°

，且滚动之后，该正方形必须与其他正方形有公共边。

也可以两个有公共边的正方形整体滚动，滚动一次也只能滚动90°

，且滚动后也必须与其他正方形有公共边。

还有一个原则时，翻转某个正方形不能让别的正方形成为准孤立正方形（即只有一个点与其他正方形连接）。

显然经过两个上图所示两次滚动，使得平面展开图中正方形C，a，b相邻，也就可以判断出平面展开图中从C到a到b运动的运动方向是顺时针方向，

如果要判断从a，到b到c的运动方向，那就可以再滚动一次，很容易判断出，从正方向a到b到C运动的运动方向属于顺时针方向。

如下图所示：

我们为什么定义这样的滚动规则呢？

因为按照我们定义的滚动滚则对平面展开图中的正方形进行滚动，得到的新平面展开图与原先平面展开图折成的立方体所有点线面的关系完全相同。

且如果原先平面展开图某个点（线，正方形）对应立方体的点（线，面）P，那么滚动之后的这个点（线、正方形）仍然对应立方体中的点（线，面）P。

注意，下图中1点面不能单独左转（1点面单独左转，没有一条边可以贴着转），2点面也不能单独左转（2点面单独左翻转后，使得1点面成为一个准孤立面）。

但是1点和2点面也可以两个一起左翻转，比如：

接下来此时可以有两种旋转方式：

方式1：

1和2继续整体旋转如下图所示

方式2：

单独旋转1点面：

注意：

按照下图，

我们知道如果1点面在前，那么1点、5点、6点面的关系可以是：

还可以是如下

注意某个面在前，可以有四种方位。

620170709又实战了几道题，发现比较实用的方法，还是靠一点空间想象能力做题比较快，脱离空间想能力，单凭上面的技巧，做题很慢，考试不实用。

只有锻炼出一点基本的空间想象能力，再结合一些技巧，做题才快，对于考试实用。

7刘文波老师画橡皮的方法很简便，可以搜索视频学习。

先用十几秒画完橡皮，然后分析借用画完的橡皮分析每个选项，每个选项基本10s就判断出对错，不需要耗费太多脑力。

820170830，感觉翻转法很实用，结合着一点空间想象，比较容易做题，注意