苏科版八年级数学上册第一章全等三角形单元练习题十五附答案详解Word下载.docx

苏科版八年级数学上册第一章全等三角形单元练习题十五附答案详解Word下载.docx

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△ABC≌△A′B′C′，∠A=35°

，∠B=75°

，则∠C′的度数为_____．

14．如图所示，在平行四边形ABCD中，

，F是AD的中点，作

，垂足E在线段上，连接EF、CF，则下列结论

；

，

中一定成立的是______

把所有正确结论的序号都填在横线上

15．如果△ABC≌△AED，并且AC＝6cm，BC＝5cm，△ABC的周长为18cm，则AE=__________cm．

16．如图，∠A=∠E，AC⊥BE，AB=EF，BE=18，CF=8，则AC=________.

17．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于度．

18．如图，已知△ABC，BC=10，分别以AB，AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE，CD交于点P，则S△CBP的最大值是_______．

19．已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围是______．

20．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF,∠A=∠D,∠1=∠2.求证：

AC=DE.

21．探究：

如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°

，AC=BC．点D在边AB上（D不与A，B重合），连结CD，过点C作CE⊥CD，且CE=CD，连结DE、AE．

求证：

△BCD≌△ACE．

应用：

如图②，在图①的基础上，点D在BA的延长线上，其他条件不变．若AD=

AB，AB=4，求DE的长．

22．在平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90º

）和直线l．过点C作CE⊥l于点E，过点B作BF⊥l于点F．当点E与点A重合时（图①），易证：

AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图②.图③的位置时，上述结论是否仍然成立？

若成立，请给予证明；

若不成立，请直接写出线段AF.BF.CE之间的数量关系的猜想（不需证明）．

23．如图，在四边形

中，

是

的中点，连接

并延长交

的延长线于点

，点

在

边上，且

（1）求证：

（2）连接

，如果FM=DM，判断

与

的位置关系，并说明理由．

24．已知：

如图，BE⊥CD，BE=DE，BC=DA．

（1）△BEC≌△DAE；

（2）DF⊥BC．

25．已知：

如图，AB=AD，∠D=∠B，∠1=∠2，求证：

（1）△ADE≌△ABC；

（2）∠DEB=∠2．

26．如图，已知点

在线段

上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：

27．

（1）如图，已知∠AOB，请你利用图①，用尺规作出∠AOB的平分线0P，并画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形；

（2）参考

（1）中画全等三角形的方法，解答下列问题：

如图②，在ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°

，AD、CE分别是∠BAC与∠BCA的平分线，AD和CE相交于点F，请猜想FE与FD有怎样的数量关系，并加以说明．

答案

1．D

【解析】加上条件∠B=50°

可利用ASA定理得到一个确定的三角形；

加上条件∠C=70°

可利用AAS定理得到一个确定的三角形；

加上条件AC=6可利用SAS定理得到一个确定的三角形；

故选D．

2．B

【解析】A选项，根据所给条件可由“AAS”证得“△ABC和△DEF”全等；

B选项，所给条件满足“有两边和其中一边的对角对应相等”，但这样的两个三角形不一定全等；

C选项，根据所给条件可由“ASA”证得“△ABC和△DEF”全等；

D选项，根据所给条件可由“AAS”证得“△ABC和△DEF”全等；

故选B.

点睛：

证明两三角形全等的主要方法有：

“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”和“HL”，其中在证明两三角形全等时，我们要特别注意不存在“边边角定理”，即“有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”.

3．D

【解析】试题分析：

根据角平分线性质证得DF=DE，∴①正确；

根据勾股定理和DE=DF即可证得AE=AF，∴②正确；

进而证得AB=AC，根据等腰三角形的三线合一定理可得BD=DC，AD⊥BC，∴③④正确，∴正确的个数有4个.

故选：

D．

考点：

角平分线的性质；

全等三角形的判定与性质；

勾股定理．

4．C

【解析】试题解析：

∵△AOC≌△BOD，

∴∠A=∠B，AO=BO，AC=BD，

∴A、B.D均正确，

而AB、CD不是不是对应边，∴AB≠CD，

故选C.

根据全等三角形的对应边、对应角相等，可得出正确的结论，可得出答案．

5．B

【解析】根据全等三角形的性质求出∠DAC的度数，根据三角形的内角和定理得出∠D=180°

﹣∠DAC﹣∠ACD，代入求出即可．

解：

∵△ABC≌△ADC，∠BAC=60°

∴∠DAC=∠BAC=60°

∵∠ACD=23°

∴∠D=180°

﹣∠DAC﹣∠ACD=97°

故选B．

6．D

【解析】分析：

由EB=CF，可得出EF=BC，又有∠A=∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．

详解：

A选项：

若∠DEF=∠ABC，则可根据AAS判断△ABC≌△DEF，故不符合题意；

B选项：

若DF∥AC，则∠DFE=∠ACB，则可根据AAS判断△ABC≌△DEF，故不符合题意；

C选项：

若DF∥AC，则∠DEF=∠ABC，则可根据AAS判断△ABC≌△DEF，故不符合题意；

D选项：

若AB＝DE，则构成SSA不能判断△ABC≌△DEF，故符合题意；

故选D.

考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

7．D

条件是AB=CD，

理由是：

∵AE⊥BC，DF⊥BC，

∴∠CFD=∠AEB=90°

在Rt△ABE和Rt△DCF中，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），

8．B

【解析】

试题分析：

由△ABD和△ACE都是等边三角形，可得AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°

，进而得到∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，因此可知在△ADC和△ABE中，AD="

AB"

，∠DAC=∠BAE，AC=AE，可根据SAS证得△ADC≌△ABE．

故选B

等边三角形，全等三角形的判定

9．A．

能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等三角形的周长和面积都相等，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等．所以B,C,D说法正确．两个三角形周长和面积相等，但不一定完全重合，故A说法错误，所以本题选A．

全等三角形的定义及性质．

10．60

【解析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAD，再根据比例求解即可．

∵AB∥CD，

∴∠BAD=180°

−∠D=180°

−80°

=100°

∵∠CAD:

∠BAC=3:

2，

∴∠CAD=100°

×

=60°

.

故答案为：

60.

11．70

根据三角形全等的性质可得∠BAC=∠DAE，再利用等量关系∠DAE=∠BAE-∠BAD，即可求解.

∵△ABC≌△ADE，

∴∠BAC=∠DAE，

∵∠DAE=∠BAE-∠BAD=110°

-40°

=70°

∴∠BAC=70°

70.

12．不唯一

因为∠ABD=∠CBE，所以∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠EBD=∠CBA，又AB=DB，所以要使△ABC≌△DBE，可以添加条件∠A=∠D，∠E=∠C，还可以添加BC=BE，所以答案不唯一．

全等三角形的判定

13．70°

【解析】根据△ABC≌△A′B′C′，得到∠C=∠C′，根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，即可得到答案．

∵△ABC≌△A′B′C′，

∴∠C=∠C′，

∵∠A=35°

∴∠C=180°

﹣∠A﹣∠B，

=180°

﹣35°

﹣75°

∴∠C′=70°

70°

14．

分析：

由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得①∠DCF=

∠BCD；

然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系，进而得出答案．

①∵F是AD的中点，

∴AF=FD，

∵在▱ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠FCB，

∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=

∠BCD，

即∠BCD=2∠DCF；

故此选项错误；

②延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F为AD中点，

在△AEF和△DFM中，

，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE=MF，∠AEF=∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=90°

∴∠AEC=∠ECD=90°

∵FM=EF，

∴FC=FM，故②正确；

③设∠FEC=x，则∠FCE=x，

∴∠DCF=∠DFC=90°

-x，

∴∠EFC=180°

-2x，

∴∠EFD=90°

-x+180°

-2x=270°

-3x，

∵∠AEF=90°

∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．

④∵EF=FM，

∴S△EFC=S△CFM，

∵MC＞BE，

∴S△BEC＜2S△EFC

故S△BEC=2S△CEF错误；

综上可知：

一定成立的是②③，

②③．

此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题关键．

15．7

【解析】解：

∵AC＝6cm，BC＝5cm，△ABC的周长为18cm，∴AB=18－AC－BC=18－6－5=7．∵△ABC≌△AED，∴AE=AB=7（cm）．故答案为：

7．

16．10

【解析】∵AC⊥BE，

∴∠ACB=∠ECF=90°

在△ABC和△EFC中，

∴△ABC≌△EFC（AAS），

∴AC=CE，BC=CF=8，

∵CE=BE−BC=18−8=10，

∴AC=10.

10.

本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键.

17．58.

利用三角形的内角和等于180°

求出边b所对的角的度数，再根据全等三角形对应角相等解答．如图，∠2=180°

﹣50°

﹣72°

=58°

，∵两个三角形全等，∴∠1=∠2=58°

58．

全等三角形的性质．

18．25

∵∠BAD=交CAE=90°

，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，∵AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE，∴△DAC≌△BAE，∴∠ADC=∠ABE，∴∠PDB+∠PBD=90°

，∴∠DPB=90°

，∴

=100，∵

，∴

，∴BP•PC≤50，∴

=

BP•PC≤

50=25．故答案为：

25．

本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理．由

，得到

是解答本题的关键．

19．

延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB，∵AB=8，AC=6，CE=8，设AD=x，则AE=2x，∴2＜2x＜14，∴1＜x＜7，∴1＜AD＜7．故答案为：

1＜AD＜7．

本题考查了三角形的三边关系定理：

三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．

20．证明见解析

由

证明

≌

.即可证明.

试题解析：

和

中

证明见解析；

探究：

由△ABC是等腰直角三角形，得到直角，线段、角相等，由线段垂直得到直角，证明三角形全等．

由等腰直角三角形ABC，得到∠CAB=∠ABC=45°

，由AD=

AB，得到AD=1，BD=5，由勾股定理求得结果．

如图①，

∵CE⊥CD，∠ACB=90°

∴∠DCE=∠ACB=90°

∴∠BCD=∠ACE，

∵AC=BC，CE=CD，

在△BCD与△ACE中，

∴△BCD≌△ACE（SAS）．

如图②，

∵AC=BC，∠ACB=90°

∴∠CAB=∠ABC=45°

∵AD=

AB，

∴AD=1，BD=5，

∵△BCD≌△ACE，

∴AE=BD=5，

∴∠CAE=∠CBD=45°

∴∠DAE=90°

∴DE=

1．全等三角形的判定与性质；

2．勾股定理．

22．见解析

图2：

过B作BH⊥CE于点H，易证△ACE≌△CBH.根据全等三角形的对应边相等，即可证得

图3：

过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，易证△CBG≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等，即可证得

图2,AF+BF=2CE仍成立,

证明：

过B作BH⊥CE于点H，

∵∠BCH+∠ACE=90∘，

又∵在直角△ACE中,∠ACE+∠CAE=

∴∠CAE=∠BCH，

又∵AC=BC,∠AEC=∠BHC=

∴△ACE≌△CBH.

∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，

∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC.

图3中，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，

∵AC=BC,

可得∠AEC=∠CGB，

∠ACE=∠BCG，

∴△CBG≌△CAE，

∴AE=BG，

∵AF=AE+EF，

∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，

∴AF−BF=2CE.

考查三角形全等的判定与性质，旋转的性质等，做辅助线，构造全等三角形是解题的关键.

23．

（1）证明见解析；

（2）ME垂直平分DF．理由见解析．

（1）由平行线的性质得出∠ADE=∠BFE，由E为AB的中点，得出AE=BE，由AAS证明△AED≌△BFE即可；

（2）由△AED≌△BFE，得出对应边相等DE=EF，证明FM=DM，由三角形的三线合一性质得出EM⊥DF，即可得出结论．

（1）∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠BFE，

∵E为AB的中点，

∴AE=BE，

在△AED和△BFE中，

∴△AED≌△BFE（AAS）；

（2）EM与DM的关系是EM垂直且平分DF；

理由如下：

连接EM，如图所示：

由

（1）得：

△AED≌△BFE，

∴DE=EF，

∵∠MDF=∠ADF，∠ADE=∠BFE，

∴∠MDF=∠BFE，

∴FM=DM，

∴EM⊥DF，

∴ME垂直平分DF．

2．线段垂直平分线的性质．

24．

（1）证明见解析；

（2）证明见解析．

（1）根据已知利用HL即可判定△BEC≌△DEA；

（2）根据第一问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到∠B=∠D，从而不难求得DF⊥BC．

（1）∵BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，

∴△BEC≌△DEA（HL）；

（2）∵△BEC≌△DEA，

∴∠B=∠D．

∵∠D+∠DAE=90°

，∠DAE=∠BAF，

∴∠BAF+∠B=90°

即DF⊥BC．

全等三角形的判定与性质．

25．详见解析．

（1）由∠1=∠2，得，∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，利用“ASA”证明△ABC≌△ADE；

（2）由∠D=∠B，∠1=∠2，∠D+∠1=∠B+∠DEB，即可得∠DEB=∠2．

（1）∵∠1=∠2．

∴∠DAE=∠BAC

在△ABC和△ADE中

∴△ABC≌△ADE（ASA）

（2）∵∠D=∠B，∠1=∠2，∠D+∠1=∠B+∠DEB，

∴∠DEB=∠2

全等三角形的判定及性质．

26．见解析

根据AB∥DE得出∠B=∠DEF，再由BE=CF得出BC=EF，利用ASA可证

∵AB∥DE，

∴∠B=∠DEF，

∵BE=CF，

∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，

∵∠ACB=∠F，

∴△ABC≌△DEF（ASA）

27．见解析

（1）根据角平分线的基本作图法作出OP,并在图中截取OE=OF，从而得到△COE≌△COF；

（2）在AC上截取AM=AE，根据作图可得△AEF≌△AMF，再得到EF=MF，同理得证△CDF≌△CMF，得到FD=FM，因此得证结果.

（1）作图,在OA和OB上截取OE=OF，在OP上任取一点C，连接CE、CF，则

△COE≌△COF

（2）在AC上截取AM=AE

∵AD是∠BAC的平分线

∴∠EAF=∠MAF

∴△AEF≌△AMF

∴EF=MF

∵CE是∠BCA的平分线，∠ACB=90°

∴∠DCF=45°

又∵∠B=60°

∴∠CAD=15°

∴∠CDF=75°

∴∠AMF=∠AEF=105°

∴∠FMC=75°

∴∠CDF=∠CMF

又∵CF=CF

∴△CDF≌△CMF

∴FD=FM

∴EF=DF