秋人教版八年级数学上册专题小练习三 三角形证明题含答案Word文件下载.docx

秋人教版八年级数学上册专题小练习三 三角形证明题含答案Word文件下载.docx

《秋人教版八年级数学上册专题小练习三 三角形证明题含答案Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《秋人教版八年级数学上册专题小练习三 三角形证明题含答案Word文件下载.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（1）求∠M的大小．

（2）当∠B,∠D为任意角时,探索∠M与∠B,∠D间的数量关系,并对你的结论加以证明．

已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°

．

（1）∠ABC+∠ADC=°

；

（2）如图①,若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；

（3）如图②,若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE=

∠CDN,∠CBE=

∠CBM）,试求∠E度数.

动手操作，探究：

如图

（1），△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点，

研究

（1）：

若沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是.

研究

（2）：

若折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由.

研究（3）：

若折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由.

在△ABC中,BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．

（1）如图1，若∠A=110°

，∠BEC=130°

，则∠2=°

，∠3－∠1=°

（2）如图2，猜想∠3－∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；

（3）若∠BEC=ɑ，∠BDC=

，用含

和

的代数式表示∠3－∠1的度数．（直接写出结果即可）

阅读下列材料：

某同学遇到这样一个问题：

如图1,在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC的高．P是BC边上一点,PM,PN分别与直线AB，AC垂直,垂足分别为点M,N.求证：

BD=PM+PN．

他发现，连接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP，即

.由AB=AC,可得BD=PM+PN．

他又画出了当点P在CB的延长线上,且上面问题中其他条件不变时的图形,如图2所示.他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：

BD=PN-PM．

请回答：

（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；

证明：

连接AP．

∵

，

∴

．

∵AB=AC，

∴BD=PN-PM．

（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：

在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．

①如图3，若点P在△ABC的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：

；

②若点P在如图4所示位置，利用图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间数量关系是:

参考答案

解：

∠C与∠AED相等，理由如下：

∵∠1+∠2=180°

（已知），∠1+∠DFE=180°

（邻补角定义），∴∠2=∠DFE（同角的补角相等），

∴AB∥EF（内错角相等两直线平行），∴∠3=∠ADE（两直线平行内错角相等），

又∠B=∠3（已知），∴∠B=∠ADE（等量代换），∴DE∥BC（同位角相等两直线平行），

∴∠C=∠AED（两直线平行同位角相等）．

设BC=aAB=2aCE=cAD=d

根据三角形面积相等可得：

ad=2ac

化简得：

d=2c

故：

AD=2CE

（1）∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC=0.5∠BAC=0.5（180°

-∠B-∠C），

又∵AD⊥BC，

∴∠DAC=90°

-∠C，

∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=0.5（180°

-∠B-∠C）-（90°

-∠C）=0.5（∠C-∠B），

即∠EAD=0.5（∠C-∠B）；

（2）2∠EFD=∠C-∠B；

（3）2∠AFD=∠C-∠B；

（1）∵∠B=40°

，

∴∠BAC=180°

﹣∠B﹣∠C=60°

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE=

∠BAC=30°

∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°

∵∠C=80°

∴∠CAD=90°

﹣∠C=10°

∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=30°

﹣10°

=20°

（2）∵三角形的内角和等于180°

﹣∠B﹣∠C，

∠BAC=

（180°

﹣∠B﹣∠C），

﹣∠C，

∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=

﹣∠B﹣∠C）﹣（90°

﹣∠C）=

∠C﹣

∠B．

∵BG、AG分别是△ABC的角平分线，

∴∠ABG=0.5∠ABC，∠BAG=0.5∠BAC，

∴∠BGD=∠ABG+∠BAG

=0.5（∠ABC+∠BAC）

=0.5（180°

-∠ACB）

=90°

-0.5∠ACB，

∵CG平分∠ACB，

∴∠HCG=0.5∠ACB

∵GH⊥BC，

∴∠CGH=90°

-∠HCG

∴∠BGD=∠CGH．

（1）∵∠B+∠1+∠2=∠3+∠4+∠D，

而AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，

∴∠2=∠1，∠3=∠4，

∴∠B+2∠1=2∠3+∠D①，

又∵∠B+∠1=∠3+∠M，

∴2∠B+2∠1=2∠3+2∠M②，

②﹣①得，∠B=2∠M﹣∠D，

∴∠M=0.5（∠B+∠D），

∴∠B=34°

，∠D=40°

∴∠M=0.5（34°

+40°

）=37°

（2）∠M与∠B，∠D间的数量关系为∠M=0.5（∠B+∠D），理由同上

（1）∵∠A=∠C=90°

∴∠ABC+∠ADC=360°

﹣90°

×

2=180°

故答案为：

180°

（2）延长DE交BF于G，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，

∴∠CDE=

∠ADC，∠CBF=

∠CBM，

又∵∠CBM=180°

﹣∠ABC=180°

﹣（180°

﹣∠ADC）=∠ADC，

∴∠CDE=∠CBF，

又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，

∴∠BGE=∠C=90°

∴DG⊥BF，即DE⊥BF；

（3）解：

由

（1）得：

∠CDN+∠CBM=180°

∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，

∴∠CDE+∠CBE=

45°

延长DC交BE于H，由三角形的外角性质得，

∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，

∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，

∴∠E=90°

﹣45°

=45°

（1）∠BDA′=2∠A;

（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A.

理由：

在四边形ADA′E中，

∠A+∠ADA′+∠DA′E+∠A′EA=360°

∴∠A+∠DA′E=360°

-∠ADA′-∠A′EA

∵∠BDA′+∠ADA′=180°

，∠CEA′+∠A′EA=180°

∴∠BDA′+∠ADA′+∠CEA′+∠A′EA=360°

∴∠BDA′+∠CEA′=360°

∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E

∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得

∴∠A=∠DA′E

∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A

（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A

∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′

∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′

∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′

∴∠A=∠DA′E

∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A

（1）20，55；

（2）∠3－∠1与∠A的数量关系是：

．

∵在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，

∵MN⊥BC于点N，

∴在△MNC中，

∵在△ABC中，

（3）

（1）证明：

连接AP．∵

，∴

∵AB=AC，∴

（2）①

②