则f（x）极小值为f
（1）＝－1.
答案 A
3.（2018·天津卷）已知函数f（x）＝exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′
（1）的值为________.
解析 由题意得f′（x）＝exlnx＋ex·，则f′
（1）＝e.
答案 e
4.（2018·全国Ⅰ卷改编）已知函数f（x）＝－x＋alnx.
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）设x1，x2是f（x）的两个极值点，且x2>x1，设t＝f（x1）－f（x2）－（a－2）（x1－x2），试证明t>0.
（1）解 f（x）的定义域为（0，＋∞），
f′（x）＝－－1＋＝－.
（ⅰ）若a≤2，则f′（x）≤0，
当且仅当a＝2，x＝1时f′（x）＝0，
所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减.
（ⅱ）若a>2，令f′（x）＝0得，
x＝或x＝.
当x∈∪时，f′（x）<0；
当x∈时，f′（x）>0.
所以f（x）在，上单调递减，
在上单调递增.
（2）证明 由
（1）知，f（x）存在两个极值点时，当且仅当a>2.
由于f（x）的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，
所以x1x2＝1.
又∵x2>x1>0，所以x2>1.
又t＝f（x1）－f（x2）－（a－2）（x1－x2）
＝－－（x1－x2）＋a（lnx1－lnx2）－（a－2）（x1－x2）
＝a＝－a.
设φ（x）＝－x＋2lnx，x>1.
由第
（1）问知，φ（x）在（1，＋∞）单调递减，且φ
（1）＝0，
从而当x∈（1，＋∞）时，φ（x）<0.
所以＋2lnx2－x2<0，故t>0.
考点整合
1.导数的几何意义
函数f（x）在x0处的导数是曲线f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率，曲线f（x）在点P处的切线的斜率k＝f′（x0），相应的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）.
易错提醒 求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.
2.四个易误导数公式
（1）（sinx）′＝cosx；
（2）（cosx）′＝－sinx；
（3）（ax）′＝axlna（a>0，且a≠1）；
（4）（logax）′＝（a>0，且a≠1，x>0）.
3.利用导数研究函数的单调性
（1）导数与函数单调性的关系.
①f′（x）>0是f（x）为增函数的充分不必要条件，如函数f（x）＝x3在（－∞，＋∞）上单调递增，但f′（x）≥0.
②f′（x）≥0是f（x）为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′（x）＝0时，则f（x）为常数函数.
（2）利用导数研究函数单调性的方法.
①若求单调区间（或证明单调性），只要在函数定义域内解（或证明）不等式f′（x）>0或f′（x）<0.
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′（x）≥0或f′（x）≤0在单调区间上恒成立问题来求解.
4.利用导数研究函数的极值、最值
（1）若在x0附近左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，则f（x0）为函数f（x）的极大值；若在x0附近左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，则f（x0）为函数f（x）的极小值.
（2）设函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.
易错提醒 若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件.
热点一 导数与定积分的几何意义
【例1】
（1）（2016·全国Ⅲ卷）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝ln（－x）＋3x，则曲线y＝f（x）在点（1，－3）处的切线方程是________.
（2）（2018·邯郸调研）展开式的中间项系数为20，如图阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2＋y2＝a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积S＝________.
解析
（1）令x>0，则－x<0，f（－x）＝lnx－3x，
又f（x）为偶函数，即f（－x）＝f（x），
∴f（x）＝lnx－3x（x>0），则f′（x）＝－3（x>0）.
∴f′
（1）＝－2，
∴在点（1，－3）处的切线方程为y＋3＝－2（x－1），
即2x＋y＋1＝0.
（2）因为展开式的中间项系数为20，中间项为第四项，系数为C＝20，解得a＝2，
所以曲线y＝x2和圆x2＋y2＝2在第一象限的交点为（1，1），所以阴影部分的面积为－（x－x2）dx＝－＝－.
答案
（1）2x＋y＋1＝0
（2）－
探究提高 1.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.
2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点
（1）正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值.
（2）根据图形的特征，选择合适的积分变量.在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝φ（y）的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.
【训练1】
（1）（2018·武汉调研）设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.
（2）（2018·成都质检）在平面直角坐标系内任取一个点P（x，y）满足则点P落在曲线y＝与直线x＝2，y＝2围成的阴影区域（如图所示）内的概率为________.
解析
（1）y′＝
＝，则曲线y＝在点处的切线的斜率为k1＝1.因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－，
又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，
所以k1k2＝－1，解得a＝1.
（2）由解得
所以阴影部分的面积为dx＝（2x－lnx）＝（2×2－ln2）－＝3－2ln2，因此所求概率为＝.
答案
（1）1
（2）
热点二 利用导数研究函数的单调性
考法1 确定函数的单调性（区间）
【例2－1】（2017·全国Ⅰ卷改编）已知函数f（x）＝ex（ex－a）－a2x，其中参数a≤0.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围.
解
（1）函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），且a≤0.
f′（x）＝2e2x－aex－a2＝（2ex＋a）（ex－a）.
①若a＝0，则f（x）＝e2x，在（－∞，＋∞）上单调递增.
②若a<0，则由f′（x）＝0，得x＝ln.
当x∈时，f′（x）<0；
当x∈时，f′（x）>0.
故f（x）在上单调递减，
在区间上单调递增.
综上所述，当a＝0时，f（x）在R上单调递增；
当a<0时，f（x）在上单调递减；
在上单调递增.
（2）①当a＝0时，f（x）＝e2x≥0恒成立.
②若a<0，则由
（1）得，当x＝ln时，f（x）取得最小值，最小值为f＝a2，
故当且仅当a2≥0，
即0>a≥－2e时，f（x）≥0.
综上，a的取值范围是[－2e，0].
考法2 根据函数的单调性求参数的取值范围
【例2－2】（2018·广州质检）已知x＝1是f（x）＝2x＋＋lnx的一个极值点.
（1）求函数f（x）的单调递减区间.
（2）设函数g（x）＝f（x）－，若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，求a的取值范围.
解
（1）f（x）＝2x＋＋lnx，定义域（0，＋∞）.
∴f′（x）＝2－＋＝.
因为x＝1是f（x）＝2x＋＋lnx的一个极值点，
所以f′
（1）＝0，即2－b＋1＝0.
解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.
所以f′（x）＝2－＋＝，
令f′（x）<0，得0所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）.
（2）g（x）＝f（x）－＝2x＋lnx－（x>0），
g′（x）＝2＋＋（x>0）.
因为函数g（x）在[1，2]上单调递增，
所以g′（x）≥0在[1，2]上恒成立，
即2＋＋≥0在[1，2]上恒成立，
所以a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，
所以a≥（－2x2－x）max，x∈[1，2].
因为在[1，2]上，（－2x2－x）max＝－3，所以a≥－3.
所以a的取值范围是[－3，＋∞）.
探究提高 1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解（证）不等式f′（x）>0或f′（x）<0.
2.
（1）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′（x）≥0（或f′（x）≤0），x∈（a，b）恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意参数的取值是f′（x）不恒等于0的参数的范围.
（2）若函数y＝f（x）在区间（a，b）上不单调，则转化为f′（x）＝0在（a，b）上有解.
【训练2】已知a∈R，函数f（x）＝（－x2＋ax）ex（x∈R，e为自然对数的底数）.
（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在（－1，1）上单调递增，求a的取值范围.
解
（1）当a＝2时，f（x）＝（－x2＋2x）·ex，
所以f′（x）＝（－2x＋2）ex＋（－x2＋2x）ex＝（－x2＋2）ex.
令f′（x）＞0，即（－x2＋2）ex＞0，
因为ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－＜x＜.
所以函数f（x）的单调递增区间是（－，）.
（2）因为函数f（x）在（－1，1）上单调递增，
所以f′（x）≥0对x∈（－1，1）都成立.
因为f′（x）＝（－2x＋a）ex＋（－x2＋ax）ex＝[－x2＋（a－2）x＋a]ex，
所以[－x2＋（a－2）x＋a]ex≥0对x∈（－1，1）都成立.
因为ex＞0，所以－x2＋（a－2）x＋a≥0，
则a≥＝＝（x＋1）－对x∈（－1，1）都成立.
令g（x）＝（x＋1）－，则g′（x）＝1＋＞0.
所以g（x）＝（x＋1）－在（－1，1）上单调递增.
所以g（x）＜g
（1）＝（1＋1）－＝.
所以a的取值范围是.
热点三 利用导数研究函数的极值和最值
考法1 求函数的极值、最值
【例3－1】（2018·北京卷）设函数f（x）＝[ax2－（4a＋1）x＋4a＋3]ex.
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线与x轴平行，求a；
（2）若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.
解
（1）因为f（x）＝[ax2－
升级会员 