高考数学二轮复习专题六函数与导数不等式第4讲导数与函数的单.docx

1、高考数学二轮复习专题六函数与导数不等式第4讲导数与函数的单第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位利用导数研究函数的性质，能进行简单的定积分计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.真 题 感 悟1.(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()A.y2x B.yxC.y2x D.yx解析因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)f(x)，可得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)

2、处的切线方程为yx.答案D2.(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1解析f(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30 a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2或x1，当x1时，f(x)0；当2x1时，f(x)x1，设tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2)，试证明t0.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.()若a2，则f(x)0，当且仅当a2，x1时f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递减.()若a2，令f(x)0得，x

3、或x.当x时，f(x)0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增.(2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21.又x2x10，所以x21.又tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2)(x1x2)a(ln x1ln x2)(a2)(x1x2)aa.设(x)x2ln x，x1.由第(1)问知，(x)在(1，)单调递减，且(1)0，从而当x(1，)时，(x)0.所以2ln x2x20.考 点 整 合1.导数的几何意义函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P

4、处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).易错提醒求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.2.四个易误导数公式(1)(sin x)cos x；(2)(cos x)sin x；(3)(ax)axln a(a0，且a1)；(4)(logax)(a0，且a1，x0).3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f

5、(x)为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.易错提醒若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件.热点一导数与定积分的几何意义【例1】 (1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点

6、(1，3)处的切线方程是_.(2)(2018邯郸调研)展开式的中间项系数为20，如图阴影部分是由曲线yx2和圆x2y2a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积S_.解析(1)令x0，则x0)，则f(x)3(x0).f(1)2，在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即2xy10.(2)因为展开式的中间项系数为20，中间项为第四项，系数为C20，解得a2，所以曲线yx2和圆x2y22在第一象限的交点为(1，1)，所以阴影部分的面积为(xx2)dx.答案(1)2xy10(2)探究提高1.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.2

7、.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点(1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值.(2)根据图形的特征，选择合适的积分变量.在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.【训练1】 (1)(2018武汉调研)设曲线y在点处的切线与直线xay10垂直，则a_.(2)(2018成都质检)在平面直角坐标系内任取一个点P(x，y)满足则点P落在曲线y与直线x2，y2围成的阴影区域(如图所示)内的概率为_.解析(1)y，则曲线y在点处的切线的斜率为k11.因为直线xay10的

8、斜率k2，又该切线与直线xay10垂直，所以k1k21，解得a1.(2)由解得所以阴影部分的面积为dx(2xln x)(22ln 2)32ln 2，因此所求概率为.答案(1)1(2)热点二利用导数研究函数的单调性考法1确定函数的单调性(区间)【例21】 (2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.若a0，则由f(x)0，得xln .当x时，f(x)0.故f(x)

9、在上单调递减，在区间上单调递增.综上所述，当a0时，f(x)在R上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递减；在上单调递增.(2)当a0时，f(x)e2x0恒成立.若aa2e时，f(x)0.综上，a的取值范围是2e，0.考法2根据函数的单调性求参数的取值范围【例22】 (2018广州质检)已知x1是f(x)2xln x的一个极值点.(1)求函数f(x)的单调递减区间.(2)设函数g(x)f(x)，若函数g(x)在区间1，2内单调递增，求a的取值范围.解(1)f(x)2xln x，定义域(0，).f(x)2.因为x1是f(x)2xln x的一个极值点，所以f(1)0，即2b10.解得b3，经检验，

10、适合题意，所以b3.所以f(x)2，令f(x)0，得0x0)，g(x)2(x0).因为函数g(x)在1，2上单调递增，所以g(x)0在1，2上恒成立，即20在1，2上恒成立，所以a2x2x在1，2上恒成立，所以a(2x2x)max，x1，2.因为在1，2上，(2x2x)max3，所以a3.所以a的取值范围是3，).探究提高1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f(x)0或f(x)0.2.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参

11、数的范围.(2)若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解.【训练2】 已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数).(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1，1)上单调递增，求a的取值范围.解(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x.所以函数f(x)的单调递增区间是(，).(2)因为函数f(x)在(1，1)上单调递增，所以f(x)0对x(1，1)都成立.因为f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0对x(1，1)都成立.因为ex0，所以x2(a2)xa0，则a(x1)对x(1，1)都成立.令g(x)(x1)，则g(x)10.所以g(x)(x1)在(1，1)上单调递增.所以g(x)g(1)(11).所以a的取值范围是.热点三利用导数研究函数的极值和最值考法1求函数的极值、最值【例31】 (2018北京卷)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围.解(1)因为f(x)ax2