有界磁场问题分类点拨.doc
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教师用有界磁场问题分类点拨
一、带电粒子在圆形磁场中的运动
M
N
O,
L
A
O
图1
P
例1、圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图１所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间．
M
N
O,
L
A
O
图2
R
θ/2
θ
θ/2
B
P
O//
解析：
电子所受重力不计。
它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O″，半径为R。
圆弧段轨迹AB所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动，如图２所示，连结OB，∵△OAO″≌△OBO″，又OA⊥O″A，故OB⊥O″B，由于原有BP⊥O″B，可见O、B、P在同一直线上，且∠O＇OP=∠AO″B=θ，在直角三角形ＯＯ＇P中，O＇P=（L+r）tanθ，而，,所以求得R后就可以求出O＇P了，电子经过磁场的时间可用t=来求得。
由得R=
，
，
图2
例2、如图2，半径为的匀强磁场区域边界跟轴相切于坐标原点O，磁感强度，方向垂直纸面向里．在O处有一放射源S，可向纸面各个方向射出速度为的粒子．已知粒子质量，电量，试画出粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出粒子通过磁场空间的最大偏角．
解析：
设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为，由得
图2
虽然粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此粒子作圆周运动的圆心必落在以O为圆心，半径的圆周上，如图２中虚线．
由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角．在半径一定的条件下，为使粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长．该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦．显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径．即粒子应从磁场圆直径的A端射出．
如图２，作出磁偏转角及对应轨道圆心，据几何关系得，得，即粒子穿过磁场空间的最大偏转角为．
图3
二、带电粒子在半无界磁场中的运动
例3、（1999年高考试题）如图3中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线,在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场．Ｏ是ＭＮ上的一点，从Ｏ点可以向磁场区域发射电荷量为＋q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的Ｐ点相遇，Ｐ到Ｏ点的距离为Ｌ，不计重力和粒子间的相互作用．
（1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径．
（2）求这两个粒子从Ｏ点射入磁场的时间间隔．
解析：
（1）粒子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运动.设圆半径为Ｒ,则据牛顿第二定律可得：
解得
（2）如图３所示，以OP为弦的可以画出两个半径相同的圆，分别表示在Ｐ点相遇的两个粒子的轨道，圆心分别为O1和O2，在O处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，它们之间的夹角为，由几何关系知
∠PO1Q1=∠PO2Q2=
从O点射入到相遇，粒子在１的路径为半个圆周加弧长等于R；粒子在２的路径为半个圆周减弧长等于R．
粒子１的运动时间t1=T＋
粒子２的运动时间t２=T－
两个粒子射入的时间间隔△t＝t1－t２＝2
由几何关系得Rcos==L，解得：
=2arccos
故△t＝．arccos
图4
例4、如图4所示，在真空中坐标平面的区域内，有磁感强度的匀强磁场，方向与平面垂直，在轴上的点，有一放射源，在平面内向各个方向发射速率的带正电的粒子，粒子的质量为，电量为，求带电粒子能打到轴上的范围．
图15
解析：
带电粒子在磁场中运动时有，则．
如图１５所示，当带电粒子打到轴上方的A点与P连线正好为其圆轨迹的直径时，A点既为粒子能打到轴上方的最高点．因，，则．
当带电粒子的圆轨迹正好与轴下方相切于Ｂ点时，Ｂ点既为粒子能打到轴下方的最低点，易得．
综上，带电粒子能打到轴上的范围为：
．
三、带电粒子在长方形磁场中的运动
图5
例5、如图5，长为间距为的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为，两板不带电，现有质量为，电量为的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率应满足什么条件．
解析：
如图４，设粒子以速率运动时，粒子正好打在左极板边缘（图４中轨图４
迹１），则其圆轨迹半径为，又由得，则粒子入射速率小于时可不打在板上．
设粒子以速率运动时，粒子正好打在右极板边缘（图４中轨迹２），由图可得，则其圆轨迹半径为，又由得，则粒子入射速率大于时可不打在板上．
综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：
或．
l
l
r1
O
V
+q
V
图6
例6、长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图４所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：
A．使粒子的速度VB．使粒子的速度V>5BqL/4m；
C．使粒子的速度V>BqL/m；
D．使粒子速度BqL/4m解析:
由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2，由几何知识得：
粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有：
r12＝L2+（r1-L/2）2得r1=5L/4，
又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m,∴V>5BqL/4m时粒子能从右边穿出。
粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O＇点，有r2＝L/4，又由r2＝mV2/Bq=L/4得V2＝BqL/4m
∴V2综上可得正确答案是A、B。
图7
四、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动
例7、在边长为的内存在垂直纸面向里的磁感强度为的匀强磁场，有一带正电，质量为的粒子从距Ａ点的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．
解析：
如图６所示，设粒子速率为时，其圆轨迹正好与ＡＣ边相切于Ｅ点．
图6
由图知，在中，，，由得，解得，则．
图7
又由得，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应大于．
如图７所示，设粒子速率为时，其圆轨迹正好与ＢＣ边相切于Ｆ点，与ＡＣ相交于Ｇ点．易知Ａ点即为粒子轨迹的圆心，则．
又由得，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应小于等于．
综上，要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足．
粒子从距Ａ点的间射出．
五、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动
图8
例8、如图11所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为，A板中央有一电子源P，在纸面内能向各个方向发射速度在范围内的电子，Ｑ为P点正上方B板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度，已知电子的质量，电子电量，不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地．求：
（1）沿PＱ方向射出的电子击中A、B两板上的范围．
（２）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中角表示）与电子速度的大小之间应满足的关系及各自相应的取值范围．
图12
解析：
如图１２所示，沿ＰＱ方向射出的电子最大轨迹半径由可得，代入数据解得．
该电子运动轨迹圆心在Ａ板上Ｈ处，恰能击中Ｂ板Ｍ处．随着电子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小．击中Ｂ板的电子与Ｑ点最远处相切于Ｎ点，此时电子的轨迹半径为，并恰能落在Ａ板上Ｈ处．所以电子能击中Ｂ板ＭＮ区域和Ａ板ＰＨ区域．
图13
在ＭＦＨ中，有，
，
，．
电子能击中Ｂ板Ｑ点右侧与Ｑ点相距的范围．电子能击中Ａ板Ｐ点右侧与Ｐ点相距的范围．
（２）如图１３所示，要使Ｐ点发出的电子能击中Ｑ点，则有，．
图14
解得．
取最大速度时，有，；取最小速度时有，．
所以电子速度与之间应满足，且，
B
B
E
L
d
O
图9
六、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动
例9、如图9所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程．求：
（1）中间磁场区域的宽度d;
（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t.
解析：
（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得：
带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：
由以上两式，可得．
O
O3
O1
O2
图11
600
可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图11所示，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R．所以中间磁场区域的宽度为
（2）在电场中
，
在中间磁场中运动时间
在右侧磁场中运动时间，
则粒子第一次回到O点的所用时间为
．
七、带电粒子在环形或有孔磁场中的运动
图10
例10、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。
如图５所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。
设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度．试计算
（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度．
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度．
解析：
（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图６所示．
由图中知，解得
由得
图７
O
O2
所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为．
（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图７所示．
由图中知
由得
所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度
a
b
c
d
S
o
图11
例11、如图８所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B．在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场．一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。
如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？
（不计重力，整个装置在真空中）
a
b
c
d
S
o
图９
解析：
如图９所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动．粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。
设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有
设粒子做
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