安徽省宣城市1718学年高二上学期期末调研测试数学理试题附答案832821文档格式.docx

安徽省宣城市1718学年高二上学期期末调研测试数学理试题附答案832821文档格式.docx

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６．从装有２个红球和２个白球的口袋内任取２个球，那么互斥但不对立的两个事件是

至少有个白球，都是白球至少有一个白球，至少有一个红球Ｃ恰有１个白球，恰有２个白球Ｄ至少有一个白球，都是红球

宣城市高二数学（理）试卷第１页（共４页）

７将６００名学生编号为：

００１，００２，……６００，采用系统抽样方法抽取一个容量为６０的样本，且随

机抽得的号码为００３这６００名学生分成甲乙丙三组，从００１到３０２在甲组，从３０３到４９２在

乙组，从４９３到６００在丙组，则甲乙丙三组被抽中的人数依次为

Ａ３０，１８，１２Ｂ３０，１９，１１

Ｃ２９，２０，１１Ｄ２９，１９，１２

８一个书架上放有３本数学书和２本语文书，现从书架上取出一本书不放回，然后再取出一本

书，则取出的两本书是相同学科的概率是

Ａ１２Ｂ１５Ｃ１４Ｄ２５

９如图在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，点Ｏ为线段ＢＤ的中点，设点Ｐ

是线段ＣＣ１的中点，记直线ＯＰ与直线Ａ１Ｄ所成的角为α，则ｓｉｎα的值是

Ａ１Ｂ１２

槡２

槡３

Ｃ

Ｄ

第９题图

１０在下列结论中，正确的是

①“ｐ∧ｑ”为真是“ｐ∨ｑ”为真的充分不必要条件

②“ｐ∧ｑ”为假是“ｐ∨ｑ”为真的充分不必要条件

③“ｐ∨ｑ”为真是“ｐ”为假的必要不充分条件

④“ｐ”为真是“ｐ∧ｑ”为假的必要不充分条件

Ａ①②

Ｂ①③

Ｃ②④

Ｄ③④

ｘ

ｙ

１１若椭圆

＋

＝１上的任意一点

Ｐ（ｘ，ｙ）使ｘ＋２ｙ＋ｍ≥０恒成立，则实数ｍ的取值范围

４

３

是

Ａ（－∞，－４］

Ｂ［－４，＋∞）

Ｃ（－∞，４］

Ｄ［４，＋∞）

１２已知斜率为１的直线过双曲线

－

＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左焦点Ｆ，且与双曲线的两条

ａ

ｂ

渐近线分别交于Ａ，Ｂ两点，若Ａ是线段ＦＢ的中点，则双曲线的渐近线方程是

１

Ａｙ＝±

３ｘ

Ｂｙ＝±

Ｃｙ＝±

槡２ｘ

Ｄｙ＝±

宣城市高二数学（理）试卷第２页（共４页）

二、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分）

１３已知样本数据：

５，７，１０，１３，１５，则其方差是

９

１４某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则

５

正整数ｎ＝

→

１５已知Ａ１（－１，０），Ａ２（１，０），动点Ｐ满足｜ＰＡ１｜＝２｜ＰＡ２｜，

则点Ｐ的轨迹方程是

１６已知椭圆

＝１和双曲线

＝１（ｎ＞ｍ＞０）的

ｍ

ｎ

离心率分别为槡λ及１，则λ＝槡２λ

三、解答题（本大题共６小题，共７０分）

１７．（本题满分１０分）

已知ｐ：

２ｘ－

≤

，ｑ：

（ｘ－ａ）［ｘ－（ａ＋１）］≤０

（Ⅰ）若ａ＝

，且ｐ∧ｑ为真，求实数ｘ的取值范围；

第１４题图

（Ⅱ）若ｐ是ｑ的充分不必要条件，求实数ａ的取值范围．

１８（本小题满分１２分）

某班同学对［２５，５５］岁的人群随机抽取ｎ人进行关于手机日均使用时间情况的调查，分为“低头族”和“非低头族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组数

分组

低头族的人数

占本组的比率

第一组

［２５，３０）

１２０

０．６

第二组

［３０，３５）

１９５

０．６５

第三组

［３５，４０）

１００

０．５

第四组

［４０，４５）

０．４

第五组

［４５，５０）

３０

０．３

第六组

［５０，５５］

１５

各年龄段人数频率分布直方图

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求ｎ、ａ的值；

（Ⅱ）从年龄段在［４０，５０）的“低头族”中采用分层抽样法抽取６人参加活动，其中选取２

獉獉獉

人作为领队，求选取的２名领队中恰有１人年龄在［４０，４５）岁的概率．

宣城市高二数学（理）试卷第３页（共４页）

１９（本小题满分１２分）

某地区２０１３年至２０１７年农村居民家庭人均存款ｙ（单位：

千元）的数据如下表：

年份

２０１３

２０１４

２０１５

２０１６

２０１７

年份代号ｘ

人均存款ｙ

３．８

４．４

４．８

（Ⅰ）已知变量ｙ与ｘ满足线性关系，求ｙ关于ｘ的线性回归直线方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归直线方程，预测该地区２０１８年农村居民家庭人均存款附：

用最小二乘法求线性回归直线方程系数公式

—

∧

∑

（ｘ－ｘ）·

（ｙ－ｙ）

ｉ

ｂ＝

ｉ＝１

—２

（ｘ－ｘ）

ｘｙ－ｎｘ·

∑ｉｉ

∧——

＝

，ａ＝ｙ－ｂｘ

ｎ２

—２

∑ｉ

ｘ－ｎｘ

ｉ＝１ｉ

２０（本小题满分１２分）

如图，ＡＢＣＤ是块矩形纸板，其中ＡＢ＝２槡２，ＡＢ＝２ＡＤ，Ｅ为ＤＣ的中点，将它沿ＡＥ折成直二面角Ｄ－ＡＥ－Ｂ

（Ⅰ）求三棱锥Ｄ－ＡＢＥ的体积；

（Ⅱ）求二面角Ｂ－ＡＤ－Ｅ的余弦值

第２０题图

２１（本小题满分１２分）

已知点Ａ（１，４），Ｂ（ｘ，ｙ），Ｃ（ｘ，ｙ）在抛物线ｙ＝２ｐｘ上，Ｆ为抛物线的焦点，Ｍ是ＢＣ的

１１２２

→→

中点，且．ＡＦ＝２ＦＭ

（Ⅰ）求抛物线方程及线段ＢＣ中点Ｍ的坐标；

（Ⅱ）求ＢＣ所在直线的方程．

２２（本小题满分１２分）

第２１题图

如图，已知Ａ（－５，－１）是椭圆

＝１（ａ＞ｂ＞０）上的一点，且短轴长与焦距相等

（）

；

Ⅰ求椭圆的标准方程

（Ⅱ）点Ｂ在椭圆上且线段ＡＢ的中点（非原点）在直线ｌ：

ｙ＝

ｘ上设动点Ｐ在椭圆上（异于点Ａ，Ｂ）且直线

ＰＡ，ＰＢ分别交直线ｌ于Ｍ，Ｎ两点，求Ｂ点的坐标及的值

２２

ＯＭ·

ＯＮ

第

题图

宣城市高二数学（理）试卷第４页（共４页）

高二数学试题参考答案（理科）

一、选择题（每小题５分，共６０分）

１Ｃ２Ｂ３Ｄ４Ｃ５Ｄ６Ｃ７Ｂ８Ｄ９Ａ１０Ｂ１１Ｄ１２Ａ

二、填空题（每小题５分，共２０分）

６８

１０

５－槡１７

１３．

１４．５

１５．ｘ＋ｙ－

ｘ＋１＝０

１６．

三、解答题（共７０分）

１７（本题１０分）

解析：

（Ⅰ）∵ｐ∧ｑ为真，∴ｐ真ｑ真

Ｐ真：

由

解得Ａ＝｛ｘ｜

≤ｘ≤１｝

ｑ真：

由（ｘ－ａ）［ｘ－（ａ＋１）］≤０解得Ｂ＝｛ｘ｜ａ≤ｘ≤ａ＋１｝……３分

∵ａ＝

∴Ｂ＝｛ｘ｜

≤ｘ≤

｝

∴Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜

∴实数ｘ的取值范围为：

｛ｘ｜

≤ｘ≤１｝………………………………５分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知Ａ＝｛ｘ｜

≤ｘ≤１｝，Ｂ＝｛ｘ｜ａ≤ｘ≤ａ＋１｝

∵ｐ是ｑ的充分不必要条件，

∴Ａ是Ｂ的真子集……………………………………………………………６分

ａ＜

ａ≤

∴

或

…………………………………………………５分

ａ＋１≥１

ａ＋１＞１

解得０≤ａ≤

，

∴实数ａ的取值范围为：

｛ａ｜０≤ａ≤

｝………………………………１０分

１８．（本题１２分）

（Ⅰ）第二组的频率为１－（０．０４＋０．０４＋０．０３＋０．０２＋０．０１）×

５＝０．３，

所以高为＝０．０６．频率直方图如下：

……………………………………………２分

宣城市高二数学（理）试卷答案第１页（共４页）

２００

第一组的人数为

＝２００，频率为０．０４×

５＝０．２，所以ｎ＝

＝１０００．

０．２

……………………………………………………………………………４分

第四组的频率为０．０３×

５＝０．１５，所以第四组的人数为１０００×

０．１５＝１５０，所以ａ＝１５０×

０．４＝６０．…………………………………………………６分

（Ⅱ）因为［４０，４５）岁年龄段的“低头族”与［４５，５０）岁年龄段的“低头族”人数的比值为３０∶１５＝２∶１，所以采用分层抽样法抽取６人，［４０，４５）岁中有４人，［４５，５０）岁中有２人．

设［４０，４５）岁中的４人为ａ、ｂ、ｃ、ｄ，［４５，５０）岁中的２人为ｍ、ｎ，则选取２人作为

领队的有

（ａ，ｂ）、（ａ，ｃ）、（ａ，ｄ）、（ａ，ｍ）、（ａ，ｎ）、

（ｂ，ｃ）、（ｂ，ｄ）、（ｂ，ｍ）、（ｂ，ｎ）、

（ｃ，ｄ）、（ｃ，ｍ）、（ｃ，ｎ）、

（ｄ，ｍ）、（ｄ，ｎ）、

（ｍ，ｎ），

共１５种；

……………………………………………………………………………８分

其中恰有１人年龄在［４０，４５）岁的有（ａ，ｍ）、（ａ，ｎ）、（ｂ，ｍ）、（ｂ，ｎ）、（ｃ，ｍ）、

（ｃ，ｎ）、（ｄ，ｍ）、（ｄ，ｎ），共８种．……………………………………………………１０分

所以选取的２名领队中恰有１人年龄在［４０，４５）岁的概率为Ｐ＝

８

．………１２分

１９（本题１２分）

（Ⅰ）解ｘ＝３，ｙ＝４．２，…………………………………………………………２分

（３＋７．６＋１３．２＋１９．２＋２５）－５×

３×

４．２

，………………５分

（１＋４＋９＋１６＋２５）－５×

ａ＝４．２－

×

３＝２．７……………………………………………………７分

则ｙ＝

ｘ＋２．７……………………………………………………………８分

（Ⅱ）２０１８年，即ｘ＝６时，ｙ＝

６＋２．７＝５．７，即２０１８年农村的居民家庭人均存款为

５．７千元…………………………………………………………………………１２分

２０．（本题１２分）

（Ⅰ）由题设可知ＡＤ⊥ＤＥ，取ＡＥ中点Ｏ，连接ＯＤ，ＢＥ．由ＡＢ＝２槡２，ＡＢ＝２ＡＤ，得

ＡＤ＝ＤＥ＝槡２，

∴ＯＤ⊥ＡＥ．又二面角Ｄ－ＡＥ－Ｂ为直二面角，∴ＯＤ⊥平面ＡＢＣＥ，所以三棱锥Ｄ－ＡＢＥ的高ＤＯ＝１，…………………………………………………２分

又ＡＤ⊥ＤＥ，所以ＡＥ＝ＢＥ＝２，ＡＢ＝２槡２，∴∠ＡＥＢ＝９０°

三棱锥Ｄ－ＡＢＥ的底面积Ｓ△ＡＢＥ＝

ＡＥ·

ＢＥ＝２………………………４分

…………………………６分

所以ＶＤ＝ＡＢＥ＝

Ｓ△ＡＢＥ·

ＤＯ＝

２×

１＝

宣城市高二数学（理）试卷答案第２页（共４页）

ＡＢ中点Ｆ，连接

（Ⅱ）ＡＢ＝ＡＥ＋ＢＥ．∴ＡＥ⊥ＢＥ．取

ＯＦ，则ＯＦ∥ＥＢ∴ＯＦ⊥ＡＥ．以点Ｏ为原点，ＯＡ，

ＯＦ，ＯＤ分别为ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间直角坐标系（如

图），

则Ａ（１，０，０），Ｄ（０，０，１），Ｂ（－１，２，０），Ｅ（－１，０，０），

ＡＤ＝（－１，０，１），ＢＤ＝（１，－２，１），ＥＢ＝（０，２，０），

……………………………………………………７分

设ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ）是平面ＡＢＤ的一个法向量，

ｘ－２ｙ＋ｚ＝０→

ｍ·

ＢＤ＝０

则→→

∴

－ｘ＋ｚ＝０则ｍ＝（１，１，１）……………………………９分

ＡＤ＝０

平面ＡＤＥ的法向量ＯＦ＝（０，１，０）………………………………………………１０分

ＯＦ

∴ｃｏｓ〈ｍ，ＯＦ〉＝

．

｜ｍ｜｜ＯＦ｜

１×

∴二面角Ｂ－ＡＤ－Ｅ的余弦值为

．……………………………………………１２分

２１．（本题１２分）

（Ⅰ）由点Ａ（１，４）在抛物线ｙ＝２ｐｘ上，解得ｐ＝８．所以抛物线方程为ｙ＝１６ｘ

…………………………………………………………………………………………２分

焦点Ｆ的坐标为（４，０）．设点Ｍ的坐标为（ｘ，ｙ），

００

ＡＦ＝（４，０）－（１，４）＝（３，－４）

－４，ｙ０）……………………………………４分

ＦＭ＝（ｘ０，ｙ０）－（４，０）＝（ｘ０

３＝２（ｘ－４）

１１

０

由ＡＦ＝２ＦＭ，则

－４＝２ｙ０

，解得ｘ０

，ｙ０

＝－２，

所以点Ｍ的坐标为（，－２）………………………………………………６分

（Ⅱ）由于线段ＢＣ的中点Ｍ不在ｘ轴上，所以ＢＣ所在的直线不垂直于ｘ轴．………７分

设ＢＣ所在直线的方程为：

ｙ＋２＝ｋ（ｘ－

）（ｋ≠０）…………………………８分

）

由２

２消ｘ得ｋｙ－１６ｙ－８８ｋ－３２＝０

ｙ＝１６ｘ

ｙ＋ｙ

１６

所以ｙ１＋ｙ２＝

，由（Ⅱ）的结论得

＝－２，解得ｋ＝－４

……………１０分

ｋ

……………………………………１２分

因此ＢＣ所在直线的方程为：

ｙ＝－４ｘ＋２０

２２（本题１２分）

ｂ＝ｃ，

（Ⅰ）由已知，得

，及ａ＝ｂ＋ｃ

＝１

宣城市高二数学（理）试卷答案第３页（共４页）

ａ＝２７，