数列专项突破Word文件下载.docx

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（2）前n项和公式：

等差数列{an}中，Sn=

等比数列{bn}中，Sn=

2.等差（比）数列的常用性质：

（m、n、p、q∈N*）

（1）若m+n=p+q，则am+an=ap+aq（am·

an=ap·

aq）;

（2）Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍成等差（比）数列；

（3）若{an}为等差数列，则S2n-1=（2n-1）an.

3.等差（比）数列的判定

（1）{an}是等差数列

an+1-an=d（常数）2an+1=an+an+2

an=kn+b（k、b为常数）Sn=An2+Bn（A、B为常数）；

（2）{an}是等比数列

（常数）≠0an+12=an·

an+2an=p·

qn（p、q为常数，且p、q≠0）Sn=m·

qn-m（m、q为常数，m、q≠0，且q≠1）.

4.易错点：

（1）对于等比数列的求和一定要注意对公比是否为1进行讨论；

（2）利用公式an=Sn-Sn-1（n≥2,n∈N*）求通项，注意验证n=1时结论是否成立；

（3）判定一个数列{an}是否为等差（比）数列，不能仅验证前几项；

给定了一个数列{an}是等差（比）数列，取前三项求相关元素非常方便.

二、考点练习

考点1等差数列与等比数列的基本运算

【评析】首项a1与公差d（或公比q）是支撑等差数列（或等比数列）的两大支柱，因此，将所求问题转化为这两个量的方程（组）是最基本的方法，也是常规法，须熟练掌握．

考点2等差数列与等比数列的性质应用

【评析】求数列的前n项和的最值是等差数列固有的一种独特题型，其解答时注意利用a1与d确定所求是最大值还是最小值，然后再求最值及相应的n值．

三、方法提炼：

1、重视基本概念及公式的应用：

主要涉及数列、等差和等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，在这些式子中有

“知三求二”成为等差（比）数列中的基本问题。

另外，注意利用“设而不求，整体代入”来简化运算；

2、重视利用等差、等比数列的常用性质解题，要善于抓住等差与等比数列的下标变化，巧妙运用相关性质（如下表和的性质），往往可使问题快速求解，达到化繁为简的目的。

3、熟练掌握求数列通项的常用方法：

观察猜想法、公式法、转化法等。

4、熟练掌握数列求和的常用方法：

公式法、分组求和法、并项法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等。

四、高考聚焦：

第二部分简单递推数列与数列求和

1.常见递推数列类型：

（1）已知an与Sn之间的关系，求通项.

利用

（2）已知项之间的关系，求通项.

①形如an+1-an=f（n）用迭加法；

②形如

用累乘法；

③形如aan+1+ban+c=0（a,b为常数）用待定系数法:

a（an+1+

）+b（an+

）=0

④形如an+1=pan+f（n）（p为常数）转化为an+1+g（n+1）=p［an+g（n）］或

2.常见数列求和方法：

（1）化为等差（比）数列求和.

（2）形如{an·

bn}的数列，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求和时用错位相减法.

（3）分式型数列求和用裂项相消法.

（4）拆项求和法.

二、典例精析

考点1简单递推数列通项公式的求法

【评析】迭加法、累乘法是利用递推式求数列通项的重要方法，也是历年高考命题热点所在．

考点2数列求和的常用方法

【评析】本题着重考查递推数列求通项及拆项求和、错位相减法求和这些基本技能技巧.

备选例题：

已知函数f（x）=logax（a>

0，且a≠1），若把数列2,f（a1）,f（a2）,…,f（an），2n+4（n∈N*）记为等差数列{cn}.

（1）求数列{cn}的公差；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）令bn=anf（an），且a>

1，试比较bn与bn-1的大小.

【评析】本题考查了用函数观点理解数列.通过对正项等比数列各项取对数可得等差数列；

用等差数列各项作某正数的指数时，可得等比数列.

1.化归思想

许多的递推数列，能通过对递推公式的适当变形，构造出等差数列或等比数列模型，再运用等差、等比数列的知识与方法进行求解，应强化这种转化意识.

2.分类讨论思想

（1）an=Sn-Sn-1中应附加条件n≥2;

（2）等比数列求和时，注意对q讨论：

q=1与q≠1.

3.方法与技能

（1）运用an+1=Sn+1-Sn进行和与项之间的转换；

（2）着眼于an+1-an与

的特征或规律将递推关系适当变形，构造新的等差、等比数列的技能.

（3）几种求和方法：

①倒序相加（用于等差数列，与二项式系数相关联的数列求和）;

②错位相消法（用于等比数列、等差数列与等比数列的积数列的求和）；

③分组求和（用于若干个等差数列+等比数列的和的数列的求和）；

④拆项相消。

四、高考聚焦

第三部分数列的应用、数学归纳法与极限

1．数列的应用

（1）数列与函数的联系：

联想特殊函数模型，类比其性质求解．

（2）数列与不等式的联系：

证不等式的方法（比较、综合、分析、放缩、数学归纳法等）．

（3）数列与解析几何的联系：

运用曲线的几何性质，借助坐标及方程思想，找出规律，转化数列通项，从而解决相关问题．

（4）数列在实际生活中的应用：

①审题（明确数列模型）；

②引入参数，将文字语言译成数学语言，变成数学问题；

③解此类问题要检验合理性．

2．数学归纳法

（1）数学归纳法需要完成两个步骤的证明，缺一不可．第一步有时要验证从n0开始的多个正整数命题成立．这主要取决于从k到k+1的奠基是什么数．如果假设当n=k时命题成立，并要求当k≥m时才能得出n=k+1时命题也成立，则第一步必须验证从n0到m的各个正整数命题都成立．另外，第二步的证明必须运用“归纳假设”．

（2）运用观察、归纳、猜想求数列的通项公式时，必须对猜想的结论进行推证，一般采用数学归纳法证明．

二、典例精析：

考点1数列与函数的综合项

（1）设a1=1,

=-f（an）,求an；

成立？

若存在，求出m的值；

若不存在，说明理由。

考点2数学归纳法求数列通项

【评析】本题主要考查等差数列、等比数列、数学归纳法、不等式等基础知识，综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.

考点3数列与其他知识混合

（1）试证：

bn≤

【评价】这是一道数列与解析几何结合的综合题，涉及到的知识较多，有椭圆的相关知识，列不等式与解不等式，构造函数，利用导数证明其单调性等．这也表明数列是一个特殊的函数，数列问题可利用函数思想方法求解．