《matlab程序设计》课程体系Word格式.docx
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④命令查询系统
help函数名；
demos->
search+函数名。
第二讲：
Matlab基本运算
一、数值类型
（1）变量
①命名规则
（a）:
变量名以英文字母开始，由字母、数字、下划线组成，不能有空格和标点符号；
（b）:
区分大小写；
（c）:
变量名长度不能超过31位，超过部分将被忽略；
（d）:
某些常量也可作变量名，如虚数单位i。
②变量的显示
format：
短格式（5位定点数）；
formatlong：
长格式（15位定点数）；
formate：
短格式e方式；
formatlonge：
长格式e方式；
formatbank：
2位十进制格式；
③变量存取
save：
存储
load：
读取
（2）常量
matlab中常见常量：
pi：
圆周率
i（j）：
虚数单位
inf：
无穷大
nan：
“notanumber”即不定值
自然对数的底e：
[exp（x）:
计算e的x次方]，故e=exp
（1）.
二、关系运算与逻辑运算
（1）关系运算符:
大于：
>
大于等于：
=
小于：
<
小于等于：
等于：
==不等于：
~=
（2）逻辑运算符：
逻辑与：
&
逻辑或：
|逻辑非：
~
三、数学运算符和基本数学函数
（1）数学运算符
加：
+减：
-乘：
*
右除：
/左除：
\乘方：
^
（2）常用数学函数
abs（x）:
sqrt（x）:
exp（x）:
log（x）:
log2（x）:
log10（x）:
sin（x）:
cos（x）:
tan（x）:
cot（x）:
sec（x）:
csc（x）:
asin（x）:
acos（x）:
atan（x）:
acot（x）:
real（z）:
imag（z）:
conj（z）:
取整函数：
round（x）:
4舍5入
fix（x）:
向零取整
floor（x）:
向小取整
ceil（x）:
向大取整
rem（x,y）:
x除以y的余数
gcd（x,y）:
求整数x与y的最大公因子
lcm（x,y）:
求正整数的最小公倍数
四、矩阵及其运算
（1）矩阵的创建
向量（横向量、列向量），矩阵
例如：
a=[1234]%建立一个4维行向量
b=[2;
4;
6;
8]%建立一个4维列向量
c=[1011;
0011;
0101;
1110]%建立4行4列的矩阵
d=[1234;
4356;
2213]%建立3行4列矩阵
（2）矩阵的访问
向量单个元素访问：
a（i）
矩阵单个元素访问：
c（i,j）
访问矩阵某一行：
d（i,:
）
访问矩阵某一列：
d（:
j）
访问矩阵某一块：
d（1:
2,2:
4）
（3）矩阵的基本运算
加（+）、减（-）、乘（*）、左除（/）、右除（\）、幂（^）、转置（‘）、求逆（inv（））
（4）常用矩阵函数
方阵的行列式：
det（A）
矩阵的秩：
rank（A）
矩阵的特征值和特征向量：
eig（A）
计算矩阵特征方程的根：
poly（A）（参考帮助系统）
diag（A）:
生成由矩阵A的主对角元素组成的列向量；
diag（X）:
生成由向量X的元素为主对角元素，其余元素为零的方阵；
triu（A）:
生成上三角矩阵；
tril（A）:
生成下三角矩阵；
（5）常见特殊矩阵
zeros（）:
产生元素全为0的矩阵
ones（）:
产生元素全为1的矩阵
eye（）:
产生单位矩阵
rand（）:
产生均匀分布的随机矩阵
randn（）:
产生正态分布的随机矩阵
五、符号运算
（1）创建符号对象
①sym函数：
一次定义一个符号；
格式：
符号变量=sym（‘符号字符串’）
②syms函数：
一次定义多个符号；
格式:
symsx1x2x3......
u=sym（'
3*x^2+5*y^2+2*x*y+6'
symsxy
v=x^2-2*y^2+x*y
2*u-v+2
（2）符号表达式的四则运算
symsxy;
s1=2*x^2-x+5;
s2=x^2+3*x-2;
s1+s2
s1-s2
s1*s2
s1/s2
①因式分解：
s=sym（'
x^2-2*x-3'
）;
factor（s）
又如
s=sym（'
6*x^4+5*x^3+5*x-6'
factor（s）
再如
f=factor（123）
②多项式展开
（2*x+3）*（3*x-2）*（x^2+1）'
expand（s）
（3）符号微积分运算
①极限
命令：
limit（F,x,a）%计算函数F当x趋向于a时的极限；
例1：
求
symsx;
limit（（x^2-1）/（x-1）,x,1）
例2:
limit（（cos（x）-cos（3*x））/（x^2）,x,0）
例3求
limit（（x+sin（x））/x,x,inf）
②导数
一阶导数
diff（F）%计算函数F的导数
例1求
的导数
diff（3*x^2+2*x+1）
diff（F，x）%计算函数F关于x的导数
例2求
symsax;
diff（cos（a*x^2-1）,x）
例3求
关于a的导数
diff（cos（a*x^2-1）,a）
高阶导数：
diff（F,x,n）
例4：
的二阶导数
diff（3*x^2+2*x+1,2）
例5：
关于x的二阶导数
diff（cos（a*x^2-1）,x，2）
例6：
的二阶混合导数
dx=diff（cos（a*x^2-1）,x）;
dxa=diff（dx,a）
③积分
不定积分
int（F）%求F的不定积分
int（cos（2*x-1））
例2：
int（x/sqrt（x+1））
定积分
int（F,a,b）%求F在[a,b]上的定积分
例3：
int（x^3*atan（x）,0,1）
例4:
计算广义积分
int（1/（1+9*x^2）,-inf,inf）
二重积分：
计算二重积分
，D由
和
围成。
若先对y积分，则积分限为：
，
z=0.5*（2-x-y）;
z_y=int（z,y,x^2,x）;
z_y_x=int（z_y,x,0,1）
第三讲：
Matlab数值计算
一、解方程
（1）直接解法
①roots函数
roots（P）%计算多项式方程P=0的根
求方程
的根
P=[1-2-3];
%用向量表示多项式，即P是多项式的系数向量
roots（P）
P=[1-203-8];
X=roots（P）
②fsolve函数
fsolve（‘fun’,x0）%计算fun=0的根，x0为估计根的初始值
[x,fva]=fsolve（‘fun’,x0）%输出根x及x处的函数值
[x,fva，exi]=fsolve（‘fun’,x0）%输出根x及x处的函数值，exi为1表示正常退出
[x,fva]=fsolve（'
x*3^x-1'
0.8）
[x,fva,exi]=fsolve（'
x*exp（2*x）-8'
[x,fva,exi,out]=fsolve（'
③fzero函数
fzero（‘fun’,x0）%计算fun=0的根，x0为估计根的初始值，可是是常数，也可以是区间，若是常数则计算x0附近的根，若是区间，则计算区间里的根，无根则输出错误信息。
[x,fva]=fszero（‘fun’,x0）%输出根x及x处的函数值
[x,fva，exi]=fzero（‘fun’,x0）%输出根x及x处的函数值，exi为1表示正常退出
x=fzero（'
x^2+x-1'
0.5）
-2）
[12]）
[02]）
[x,fva,exi,out]=fzero（'
（2）其它迭代解法
如二分法、牛顿切线法、不动点迭代法、弦截法等，这些算法的实现将在第五讲应用举例中讲述。
二、求解方程组
（1）线性方程组
①矩阵求逆法
求解线性方程组
A=[123;
-137;
903];
b=[1;
7];
x=A\b
或者
x=inv（A）*b
②矩阵分解法
LU分解
[L,U]=lu（A）%对AX=B的系数矩阵A进行lu分解，使A=LU，则原方程变为LUX=B，则X=U\（L\B）或X=inv（U）*inv（L）*B.
利用LU分解求解线性方程组
A=[1.53-0.84;
20910;
-74.8-0.61;
1412.3-45];
B=[4;
0;
1;
-2];
[L,U]=lu（A）
X=U\（L\B）%或X=inv（U）*inv（L）*B
QR分解
[Q,R]=qr（A）%对AX=B的系数矩阵A进行qr分解，使A=QR，则原方程变为QRX=B，则X=R\（Q\B）或X=inv（R）*inv（Q）*B.
利用QR分解求解线性方程组
A=[10.50.33330.25;
0.50.33330.250.2;
...
0.33330.250.20.1667;
0.250.20.16670.1429;
];
B=[1;
2;
1];
[Q,R]=qr（A）
x=R\（Q\B）或X=inv（R）*inv（Q）*B
Cholesky分解
[R,p]=chol（A）%对AX=B的系数矩阵A进行Cholesky分解，使A=R'
R，则原方程变为R'
RX=B，则X=R\（R'
\B）或X=inv（R）*inv（R'
）*B.若A正定对称，则p为0，否则p为一正整数。
A=[9-3630;
-36192-180;
30-180180];
[R,p]=chol（A）
x=R\（R'
\B）%或X=inv（R）*inv（R'
）*B
③迭代法
如Gauss-Seidel迭代法、Jacobi迭代法等，这些算法的实现将在第五讲应用举例中讲述。
④超定方程的近似解法
伪逆法：
X=pinv（A）*B
最小二乘法：
X=lsqnonneg（A,B）
利用伪逆法和最小二乘法求解超定方程组
A=[1-23;
410;
716;
958];
0];
X1=pinv（A）*B%利用伪逆法
X2=lsqnonneg（A,B）%利用最小二乘法
⑤欠定方程AX=B的通解
matlab在求解欠定方程组时，只给出其中一组解，不会给出方程组的通解，但是可以用rref命令<
化为行阶梯>
（查看增广矩阵的秩和系数矩阵的秩）来分析方程是否有通解。
求欠定方程的通解
A=[123-1;
321-1;
1-2-51];
B=[2;
X=A\B
X=
1.25
0
0.25
rref（[AB]）
ans=
1.000-1.0001.00
01.002.00-0.500.50
00000
显然有通解为：
当
就是系统给出的特解。
（2）非线性方程组
①直接解法
直接采用fsolve函数进行求解。
例7：
求方程组
的根，初始解为x=[2,2].
解：
首先建立函数的m文件，文件名为myfun.m：
functionF=myfun（x）
F=[x
（1）^2-x
（2）-2;
-2*x
（1）+x
（2）^2-4];
然后再命令窗口中输入：
x0=[22];
[r,val]=fsolve（@myfun,x0）
结果为：
r=
2.214319743378112.90321192591201
val=
1.0e-011*
0.20752288776293
0.152********251
也可以用fsolve函数求解矩阵方程；
例8：
求矩阵方程
的一个根，初始解为x0=[1,1;
1,1].
首先建立函数的m文件,文件名为matrixfun.m：
functionF=matrixfun（x）
F=[x*x-[-11,-8;
24,-3]];
x0=[1,1;
1,1];
[r,val]=fsolve（@matrixfun,x0）
0.99999999999957-1.99999999999959
6.000000000000102.99999999999989
0.140687461680500.27231550348006
-0.284217094304040.16089352072868
可以验证结果。
②迭代解法
非线性方程组的数值解法大多源于非线性方程的解法，区别是将数的计算换成了矩阵的计算。
常用的非线性方程组的迭代算法有不动点迭代法和牛顿迭代法等。
具体算法实现将在第5讲中讲述。
三、解微分方程
函数：
dsolve
（1）dsolve（‘equation’）%给出微分方程的解析解，表示为t的函数。
（2）dsolve（‘equation’,’v’）%给出微分方程的解析解，表示为v的函数。
（3）dsolve（‘equation’,’condition’）%给出微分方程初值问题的解，表示为t的函数。
（4）dsolve（‘equation’,’condition’,’v’）%给出微分方程初值问题的解，表示为v的函数。
计算
的通解。
dsolve（'
Dy=x^2'
ans=
x^2*t+C1
由于系统默认的自变量是t，故在求解时将x看作了常数。
'
x'
1/3*x^3+C1
此解才是我们想要的解。
计算
的通解
Dy+3*x*y=x*exp（-x^2）'
exp（-x^2）+exp（-3/2*x^2）*C1
求微分方程
在初始条件
下的特解。
x*Dy+2*y-exp（x）=0'
y
（1）=2*exp
（1）'
（exp（x）*x-exp（x）+2*exp
（1））/x^2
求二阶微分方程
D2y+2*Dy+exp（x）=0'
-1/3*exp（x）-1/2*exp（-2*x）*C1+C2
（2）微分方程（组）数值解法
请在学了数值计算方法后自学这部分内容。
主要方法有欧拉法、龙格-库塔法、预估-校正法等。
四、数理统计
（1）数据排序、最值、均值、查找
①排序
sort（x）%向量x按曾序排列；
[y,ind]=sort（x）%向量x增序排列为y向量，并输出下表向量；
已知某5个同学的数学、外语、计算机成绩分别为math=[8678829185];
english=[6248716966];
computer=[8879769496]，请将按各科分数增序排列，并分别找出各科的最差生和最优生。
②最大、小值
max（x）%求向量的x的最大元素值；
min（x）%求向量x的最小元素值；
max（A）%求矩阵A每一列中最大值组成的行向量；
min（A）%求矩阵A每一列中最小值组成的行向量；
max（A,B）%求矩阵A和B中对应元素最大值组成的矩阵；
找出数学最高分和英语最低分；
将各科成绩写成一个矩阵result=[math;
english;
computer]，利用相应命令寻找各科的最高最低分和每个同学的最高最低分。
③均值（期望）
mean（x）%求向量x的平均值；
mean（A）%计算矩阵A每一列的均值
计算每门课程的平均成绩和每个同学的平均成绩；
④查找
find（express）
找出数学成绩最高的是第几个学生、高于平均成绩的是那几个学生；
find（math==max（math））
find（math>
=mean（math））
（2）和与积
①和、累计和
sum（x）%求向量x所有元素之和
sum（A）%求矩阵A的各列元素和；
cumsum（x）%求向量x的累计和向量
求1+3+5+…+99;
x=1:
2:
99;
sum（x）
求每个学生的总成绩；
cs1=[342563];
cs2=cumsum（cs1）;
plot（cs1）;
holdon;
plot（cs2）;
cs3=ones（4）;
cs4=cumsum（cs3）;
②积、累计积
prod（x）%求向量x所有元素之积
prod（A）%求矩阵A的各列元素积；
cumprod（x）%求向量x的累计积向量
（3）方差、标准差
var（）%方差
std（）%标准差
a1=rand（1,200）;
%在0到1之间产生200个均匀分的随机数
mean（a1）%计算其期望
var（a1）%计算其方差
std（a1）%计算其标准差
（4）协方差、相关系数
cov（）%协方差
corrcoef（）%相关系数
例9：
cov（a1）%计算a1的协方差（方差）
cov（a1,a2）%计算a1和a2的协方差
corrcoef（a1,a2）%计算a1和a2的相关系数
b1=[1234567];
b2=[24.15.87.910.212.515];
corrcoef（b1,b2）%计算>
corrcoef（a1,a2）%计算b1和b2的相关系数
（5）随机数的产生
random%参考help
例10：
y=random（'
normal'
0,1,1,10000）;
%产生0均值1方差1行10000列的正太分布随机数；
mean（y）%检验均值
var（y）%检验方差
y1=random（'
poisson'
10,1,10000）;
%产生均值为10的1行10000列的泊松分布随机数；
mean（y1）%检验均值
var（y1）%检验方差
y2=random（'
exp'
2,1,10000）;
%产生均值为2的1行10000列的指数分布随机数；
mean（y2）%检验均值
var（y2）%检验方差
综合例：
某校60名学生的一次考试成绩如下:
937583939185848277767795948991888683968179977875676968848381756685709484838280787473767086769089716686738094797877635355
1）计算均值、标准差、极差，画出直方图；
2）检验分布的正态性；
3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数。
x=[93758393918584827776779594899188868396817997787567696884838175668570948483828078747376708676
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